Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

Здесь мы будем предполагать, что решение существует, и докажем, что решение однозначно определяется данными задачи, т. е. функциями Г'(х, г) и ф(х). Более того, в любой точке Р решение, если оно существует, определяется значениями у(х, г) и ф(х) только в части пространства Р. Такал зависимость решения и от данных задачи связана с конечной скоростью распространения возмущений в задачах, описываемых гиперболическими уравнениями.

1. Области зависимости, влияния и определенности. Решение (Р) К Р ординатами х, г(г ) О) зависит р только от значений данных задачи Рнс. 24. в конечной „области зависимости" Рр точки Р; эта область зависимости состоит из множества точек в верхней полуплоскости, ограниченного крайними характеристиками '), проходящими через точку Р (см.

рис. 24). Если дифференциальное уравнение однородно, т. е.г' = О, то и(Р) зависит только от начальных данных ф(х) иа отРезке Тр оси х, отсекаемом кРайними хаРактеристиками э). Этот факт можно выразить также следующим образом: ') Если крайняя характеристика пересекается с другой, то крайнюю характеристику надо продолжать как дугу этой другой характеристики.

') Для наглядности имеет смысл предполагать, что, как и на рис. 24, в рассматриваемой области плоскости х, 1 характеристики, проходящие через точку Р, образуют пучок из Л кривых, не пересекающих друг друга и соединяющих точку Р с некоторыми точками оси х. Рис. 25, относящийся к УРавнению ин — ккик„= О с хаРактеРистиками х — хь = оь Р/2, показывает, что две характеристики, проходящие через одну точку прн Г = О, касаются друг друга, так что крайние характеристики не состоят из одного аналитического куска. Однако такое пересечение характеристик не исключалось предыдущими рассуждениями. 436 Гп 'г'.

Гиперболические уравнения с дарма переменными и(Р) не зависит от начальных данных вне [р; илн, другими словамн, если ф(х) =ф'(х) на (р и /= /'* в Рр, то решения и(Р) и и" (Р) уравнений /.[и) = / и /.)и) = /', принимающие начальные значения ф(х) и ф'(х) соответственно, совпадают в точке Р. Иногда говорят также, что величина и (Р) „не замечает" данных задачи вне ь"р.

В дальнейшем мы будем рассматривать только однородные гиперболические уравнения /.[и) = О (как мы знаем, это не ограничивает общности), и будем называть отрезок ур оси х областью зависижосгпи для точки Р. Соответственно мы опрелелим область влияния множества Я, принадлежащего оси х, как такую область верхней полуплоскости, точки Р которой имеют области зависимости, содержащие точки Р и с. 25.

Область зависимости для (д/д/+ Г д/дх) (д/д/ — / д/дх) и = О. множества Я. Если Я вЂ” отрезок, то его область влияния ограничена внешними крайними характеристиками '), выходящими из концов отрезка Я в сторону верхней полуплоскости. Эта область влияния неограннчена, если мы можем продолжать характеристики для сколь угодно больших значений /. Наконец, обласльь определенносгпи отрезка Ж на оси х состоит ив тех точек Р, соответствующих / ) О, для которых области зависимости (р целиком лежат на Я. Очевидно, что эта область ограничена отрезком Я и внутренними крайними характеристиками, выходящими из концов ю в сторону верхней полуплоскости; отрезок Я является областью зависимости для точки пересечения этих характеристик. Значение этих тесно связанных между собой понятий становится полностью ясным в связи с доказательствами единственности, данными в следующих пунктах.

Заметим попутно, что эти понятия и доказанные ниже теоремы единственности указывают только на отрицательный факт, а именно на то, что и(Р) не зависит от начальных данных вне (р. Однако ') См, предыдущую сноску. 437 Э 4. Единственность. Область зависимости в случае двух независимых переменных можно показать, что 7р является областью зависимости в строгом смысле, а именно, что для каждой точки гг на 7р существуют такие начальные данные ф, что п(Р) действительно зависит от значений функции ф в ь,г н в окрестности Я. Как мы увидим в гл, й), для более чем двух независимых переменных соответствующий вопрос об области зависимости в строгом смысле представляет большие трудности.

Если бы допустимые начальные данные ф(х) для задачи Коши принадлежали только классу аналитических функций, то значения функции ф на сколь угодно малом открытом множестве на начальной прямой определяли бы значенвя ф на всей этой прямой. Следовательно, понятия области зависимости, влияния и определенности не имели бы смысла. Чтобы выяснить эти ваткные понятия, надо допустить более широкий класс начальных значений, Таким образом, для гиперболических задач естественно строить решения с помощью методов, пригодных для неаналитических начальных данных, а не опираться на доказанную в гл.

1, й 7 теорему существования Коши — Ковалевской, которая предполагает аналитичность дифференциального уравнения и начальных условий. 2. Доказательство единственности для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В этом пункте мы установим следующие факты. Для линейных гиперболических уравнений второго порядка область зависимости для точки Р заключена между двумя характеристическими кривыми, проходящими через точку Р в направлении убывания времени, и начальной кривой. Если уравнение однородное, то основание 7 получающегося прн этом „треугольника" является искомой областью зависимости для точки Р (этот вопрос уже рассматривался для волнового уравнения ии — и = О в гл.

П1, й 7). Областью определенности отрезка 7 является вся эта треугольная область, так как она содержит все точки, для которых области зависимости содержатся в 7, Две другие („внешние") характеристики, проходящие через концы отрезка Т, ограничивают область влияния этого отрезка, состоящую из точек, для которых области зависимости имеют общие точки с 7. Чтобы показать, что основание Т нашей треугольной области является областью зависимости для вершины Р, достаточно доказать единственность, т. е. установить, что решение однородного уравнения Е[и[ = О обращается в нуль в точке Р, если начальные значения равны нулю на Т; если начальные значения для двух решений уравнения Е[и[ = 7' отличаются только вне отрезка 7, то разность этих решений является решением однородного уравнения с начальными данными, равными нулю на 7.

Следующее ниже доказательство единственности опирается на некоторые интегралы энергии, связанные с дифференциальным 438 Гл. 1т. Гиперболические уравнения с двумя переменными уравнением. Мы уже встречали пример такого интеграла в связи с доказательством единственности для гиперболического уравнения теплопроводности (см. гл.

!11, Э 6). Для гиперболических уравнений аналогичная идея оказывается эффективной, если области интегрирования ограничены характеристиками !), Теорема единственности для линейных задач утвержлает следующее. Если на части е начальной кривой начальные данные равны нулю, то однородное уравнение имеет только тривиальное, т. е, тождественно равное нулю, решение в треугольной области, ограниченной внутренними характеристиками, проходнтцими через концы отрезна е. Идею доказательства можно проиллюстрировать на примере волнового уравнения и — и =О. лк и Пусть à — треугольная область на плоскости начальной кривой АВ, которая нигде не имеет направлений, ристическими !си. рис. 26).

х, Г, ограниченная характеристических и двумя характекривыми РЛ и РВ Рис. 26, Рнс. 27. — 2и,(и — и ) =(ит) +(и') — 2 (и и), ') Ссылки на литературу и изучение общего случая и+1 переменных ьюжно найти в гл. т'1, 8 8. Нашей целью является доказательство того, что если и и производная ио а следовательно, и производная и„, обращаются в нуль на АВ, то функция и тождественно равняется нулю во всей области Г. Для этого мы отсечем вершину нашего треугольника прямой г=сопз1, пересекающей кривые РЛ и РВ в точках С и Е), и рассмотрим оставшуюся область Г' с границей Т'.

По этой области мы проинтегрируем выражение 439 Единственность. Область зависимости которое имеет вид дивергенции. Принимая во внимание само дифференциальное уравнение, мы получим после интегрирования по Гт О = ~ Яи"'),+(изт),— 2 (и и)))с)х ттт'= = — ) [(из+ "ЭÄ— 2( "д~,! т' где через х„, 1, обозначены направляющие косинусы внешней нормали к кривой )' (т. е. АВ+ВЕ)+стС+СА), а з — длина дуги. На характеристических сторонах СА и ЙВ мы имеем х„=(„='/ю г т 1 Следовательно, соответствующую часть интеграла по границе можно записать в виде — (и „1„— итх,)я с(а, 1 лство откуда видно, что она неотрицательна. На АВ подинтегральная функ. ция равна нулю, так как начальные данные обращаются в нуль, а па С0 мы имеем ~„=1, х,=О, с(а=с(х.

Характеристики

Список файлов книги