Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Таким образом, мы получаем )Г ( и'„+ из) а'х = О, откуда следует, что и„'+ив=О всюду на СЕ). Так как расстояние прямой Сг) от оси х было произвольным, мы можем сделать вывод, что и и и, равны нулю во всех точках области Г, принадлежащих некоторой окрестности вершины Р. Но любую точку Р области Г можно рассматривать как вершину соответствующей меньшей треугольной области, содержащейся в Г и имеющей основание, лежащее на АВ; следовательно, и и и, равны нулю во всех точках области 1". Поэтому функция и постоянна всюду в Г и, так как на начальной кривой она обращается в нуль, то и тождественно равна нулю, что н утверждалось. Аналоги«ное рассуткление можно применить к линейному гипер.
болическому уравнению второго порядка У. (и) = ив — и„,— аи,— ри„— йи =О '), (1) где а, (), о — непрерывные функции х и ~. Для краткости мы ограничимся такой задачей Коши, когда начальные данные заданы на прямой г = О. В этом случае теорема единственности утверждает следующее. Если функции и и и, обращаются в нуль на основании АВ тлреугольнина Г (т. е. глреугольнииа АВР, сглороны ') Линейное гиперболическое уравнение второго порядка общего вида получается нз него с помощью преобразования координат, 440 Гл. К Гияерболические уравнения с двумя переменными которого являются отрезками характеристик х+1=сопзь х — Г=сопзй а основание АВ лежит на прямой 7=0, см.
рис. 27), то функция и равна нулю во всем треугольншсе. Сначала мы заметим, что для любой точки (х, Г) треугольника ь ° ( г)=~,(х,т)й', о следовательно, в силу неравенства Шварца, иг(х, 1) ( 1 ~ иг(х, т) ат. о Мы снова отсечем вершину нашего треугольника с помощью прямой 8 = сопя(, получая меньший треугольник, основание которого мы обозначим через Нр и трапецию Г, с параллельными сторонами АВ и Нг Тогда имеет место оценка ~ иг йх ( 1 ~ ) иг(х, т)с(х с(с для той части нашего треугольника, которая является трапецией (с основанием АВ). Интегрируя это выражение по 4 от 1 = 0 до 1 = й, получим ч*е<)(() )" ° а, о~ у ) е.
'ь о ь г ь <Х( Пе, *:1 ( о 1 г„ ( йг ~ ~ (иг+ иа) с(х с(т. ь Теперь мы опрелелим „интеграл энергии" Е(Ь)= ~ (иг+ иг)ах и проинтегрируем тождество 0 = 2и„(. (и] = ( и' + и',), — 2 (и и,)„— 2аиг — 2~)и, и, — 2оии, по области Рю Так как прямая Нь соответствует отрезку СО на рис. 27, мы получим с помощью таких же рассуждений, как з 4.
Единственность. Область зависимости раньше, что О < Х г (и 1„— итх,)гс)в+Е(!г) = 1 лс во = 2 ~ ~ (аиг+ ри и + оии,) с!х ~й =,гс, откуда следует неравенство Е(й) (й. Оценим правую часть, принимая во внимание, что 2 (и и1 и',+ иг, 2 ~!ии~ (и',+ иг. Если обозначить через М верхнюю грань непрерывных функция а, р, 3, то мы получим тт ( 4М ~ ~ (иг+ иг+из)т!хс!! гь н, следовательно, в силу доказанного выше неравенства ~ иг дх Л ( Дг ~ ~ ( иг + иг) с(х Ж, л имеем й ( 4М (1+ Угг) ) ) ~ иг + иг) с!х Л .-.
С ~ Е (а) гала. г о где С = 4М (! + )тг), а )г — высота трапеции Ггс Если ! — любое число, такое, что 1) й, то й Е()т) -. С ~ Е(а) с(а <С~ Е(а)с)а. Интегрируя зто неравенство по й в пределах от О до Е получим ~ Е (!т) тИ:" С! ~ Е (тт) с!!т. Если бы величина Е(й) была отлична от нуля где-нибудь на отрезке О <й < Е то мы имели бы 1 <С1, что, очевидно, невозможно при 1(1/С. Следовательно, на отрезке О (тт (! мы имеем Е= — О.
Повторяя зти рассуждения для начальных 442 Гд 'е", Гиперболические уравнения с двумя переменныни прямых (=К г= 2Е ..., после конечного числа шагов мы убелимся, что интеграл Е обращается в нуль во всем треугольнике 1', следовательно, функция и постоянна и равна нулю, что мы и хотели дока- вать. 3. Общая теорема единственности для линейных систем первого порядка. Метод интегралов энергии позволяет построить очень ясное доказательство единственности для гиперболических систем Р Ц,г) ечр р е Рис. 28. Рис. 29. первого порядка.
Мы запишем неоднородную систему в матричновекторной форме и, + Аие+ Ви+ с = О, (2) где и — вектор неизвестных функций, А(х, г) и В(х, г) — заданные матрицы, а с(х, г) — заданный вектор. Без ограничения общности мы можем предполагать, что А = =(ача(х, Г)) — симметричная матрица, вспоминая, что линейные гиперболические системы могут быть приведены к симметричной форме (т. е. к характеристической нормальной форме, см. 8 2, п. 2). Кроме того, мы предположим, что А имеет непрерывные производные, а В и с непрерывны. Через точку Р с координатами 1, т мы проведем характеристики С,, См ..., Са в обратном направлении и получим точки их пересечения Р,, Ра, ..., Ра с начальной прямой г' = 0 ') (см.
рис. 28), Теперь мы можем утверждать, что справедлива следующая теорема единственности. Если с=О и и(х, 0)=0 на некотором отрезке прямой с= О, включающем все точки Р„, то и($, т) =О. ') Некоторые из этих характеристик могут быть кратными в рассматри- ваемой области. 44о Э 4, Единственность. Область вовисилосггг Наименьший такой интервал, т. е. интервал, высекаемый крайними характеристиками, проходящими через точку Р, содержит область зависимости ') точки Р. Действительно, если и(х, 0) = 0 на отрезке Р,Р„, то и(х, 1) = О в треугольной области Рр, высекаемой крайними характеристиками, проходящими через точку Р, и имеющей в качестве основания отрезок Р,Рд прямой Г = О. Для доказательства мы воспользуемся тождеством Грина, которое имеет вид (и, Аи), =(ин, Аи)+(и, А .и)+(и, Аи,).
Так как матрица А симметричная, то (и, Аи„)=(Аи, и ), и это тождество сводится к 2(и, Аа,) =(и, Аи)„— (и, А и). Умножив дифференциальное уравнение (2) скалярно на и н применяя только что полученное соотношение, мы получим (для с=О) — (и, и),+ — (и, Аи) — —,(и, А„и)+(и, Ви) = О. 1 1 1 Полезным приемом является введение вместо и нензвестного вектора о = е-еггг, где р — постоянная; это приводит к дифференциальному уравнению о, + Ао, + В'тг = 0 (2') с начальным условием о(х, 0) = 0; здесь В' выражается через В и единичную матрицу 1: в =в+рай.
Предыдущее тождество для квадратичных форм, если снова пнсать и вместо о, примет внд 2 (и, и), + 2. (и, Аи)н = (и, Ви); квадратичная форма в правой части образована с помощью матрицы В= — В'.+ -- Ато полученне которой является целью нашего приема. Выбирая р достаточно большим, мы можем добиться того, чтобы матрица В была отрицательно определенной, т. е. чтобы было (и, Ви) (О. Теперь мы проинтегрируем это тождество по трапециевидной области Г„с границей рь=Р,Р„А„А, (см. рис, 29); обозначая компо') Отрезок Р, Рь действительно является областью зависимости дая Р; здес~ также применимы замечания, сделанные в и. 2, 444 Гя.
К Гиперболические уравнения с двумя неременньыш ненты единичного вектора внешней нормали через х„, Г„, получим формулу Грина О > —, ~ ~ [(и, и),+(и, Аи)я[и!хЛ= г>, [ [(и, и) Г,+(и, Аи) х,[~И= 1 "в — (и, и) с(х+ — [ х, (и, [А+-."-Г1 и) с!в. А лвервр с,!с„ Если воспользоваться обозначением А! Е(г!)= — ~ (и, и) с(х, 1 2 3 А, то мы получим Е(д) — Е(О) ( — — ~ х„(и, [А+--'-I~ и) с(з.
(3) Сг! С„ Мы покажем, что правая часть неравенства неположительна. Для этого мы напомним, что кривые С, и С» являются характеристическими и определяются уравнениями р!(х, Р)=О, !р (х, 1)=О. Следовательно, они удовлетворяют дифференциальным уравнениям „1 ,с! тя где тг, та — собственные значения матрицы А, т. е. такие числа, что матрица А — тУ вЂ” особая (см. и 2). Вдоль характеристики С,: р! = О внешняя нормаль имеет компоненты, пропорциональные производным са', р,'! следовательно, — г,/х„ = т!. Так как С, является крайней слева характеристикой, является наибольшим собственным значением матрицы А.
Аналогично, на характеристике С„: !р~ = О компоненты нормали пропорциональны производным ч», ф и — Г !х = тв — наименьшее собственное значение матрицы А. Мы напомним, что для симметрической матрицы А наибольшее и наименьшее собственные значения определяются как (и, Аи) е . (и, Аа) т!=шах „', т =пни З 4 Единственность. Область зависимости (см. т. 1, гл. 1. й 4, п. 1).
Следовательно, (и, а)т')~(и, Аи), (а, и)т» <(и, Аи) или (и, [ А — тЧ[ и) ( О, (и, [ А — т»1[ и) )~ О. Так как х„( 0 на С, н х„) 0 на С», мы имеем — — ~ х,[тд ~А+ — "-У~ п~аз 0 для (=1, Уг. 1 Это показывает, что правая часть формулы (3) неполоькительна и, следовательно, мы можем утверждать, что Е(й) < Е(0). (4) Так как по предположению Е(0)=0, мы имеем 0 <Е(й) <О; поэтому Е(И) =0 для тт ) 0 и, следовательно, и =0 для Г =л, 4. Единственность для нвазилинейных систем.
Только что доказанная теорема единственности справедлива также н для квазилннейных систем первого порядка: и,+А(х, Е а)и +В(х, Е и)=0, (5) несмотря на то, что характеристики системы (5) С„ зависят от решения и. Мы предположим, что матрицы А и В в рассматриваемой области имеют непрерывные производные по х, 4 и и. Пусть и и о — два решения системы (5), определенные в области й и удовлетворяющие на начальном отрезке одинаковым начальным условиям. Тогда функция а(х, ()=и — о имеет нулевые начальные значения. Вычитая дифференциальное уравнение, записанное для функции о, нз уравнения для а, мы получим г,+А(о)г,+[А(и) — А(о)]и,+В(и) — В(о)=0; (6) здесь не указано, что коэффициенты еще явно зависят от х и Е В силу непрерывности н дифференцируемости матриц А н В мы можем воспользоваться следующей теоремой о конечных приращениях: А(и) — А(о)=Н(и, о)г; В(и) — В(о)=К(и, о)а.
где Н, К вЂ” непрерывные функции. Рассмотрим теперь и, о, и„как известные функции х н У и подставим нх в Н и К, а также в А(о); 446 Гл. 14 Гинербвлинесние уравнения с двумя переменными тем самым уравнение (6) будет сделано линейным однородным дифференциальным уравнением относительно функции г вида г,+па +5~=0 с нулевыми начальными значениями. Тепрел~а из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
