Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 89
Текст из файла (страница 89)
31. моугольнике РАВВ (см. рнс. 3!); его стороны А0 н ЙВ являются характеристиками, в которые вырождается нашльная линия АВ. Тогда формула представления Римана (4) принимает вид и(Р) = —,, [и(А) й(А)+ и(В) й(В)]— 1 А в 1 г 1 — 2 3 (й,и — и,й — 2иий)г(у — 2 ] (й и — и„й — 25ий)тех. о О Применяя тождество й,и — и,й — 2дггй = (ий), — 2й (и, + ди) и производя интегрирование в первом члене, получаем и (Р) = и (О) й (с))+ / й (и + ии) г!у+ / й (и„+ Ьи) е(х.
(5) Теперь мы выберем в качестве и функцию Римана для сопряженного уравнения 5'[о] = — и», — ао — бо +г(о (где е(=с — ах — Ь ) и ддя точки В: и=й" (х, у; Р). ') Формула представления Римана была впервые обобщена нв линейныс уравнения высших порядков с двумя независимыми переменными Бургатти [1] н Реллихом [2]. Хольмгрен обобщил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя незавнснмымн переменными (см. Хольмгрен [2] ). См. также и. 4 и гл. РО 5 !5.
452 Гл. К Гиперболические уравнения с двумя переиенными Из свойств функции Римана (см. а), б), в) п. 2) следует, что (.**(й )=А(й"]=О, йт+ ай = О на РА. йк+бй =О на !)В, и й*(0, В) =.—.1. Поэтому формулз (5) дает й'(Р; ел) =й(тЭ; Р). Другими словами; функция Римана для оператора Е переходит в функшно Римана для сопряженного с ним оператора Л*, сслп поменять местами переменные 1, ч) н х, у ').
Из этого свойства „взаимности" функции Римана следует, что она как функция параметров с, т( удовлетворяет уравнению Еб, ч> !й (х, у; 1, т1)! = О. Хотя функция й сначала была определена как решение сопряженного уравнения, оказывается, что она дает также двупараметрическое семейство решений уравнения е'.(и! =О. 4. Функция Римана и излучение из точки.
Обобщение иа задачи более высокого порядка. Рассмотрим уравнение (1') (считая, что переменная у совпадает со временем г) Е.!и)= ни — и + пи,+ви,+си= г'. Г1усть (у"е) — последовательность функций, обладающих следующими свойствами: (1) функция у'я ) О отлична от нуля только в некоторой окрестности Мя фиксированной точки <',) = (а, р); (1!) ( ~ ~'ее(хе(Г = 1 при всех л; л (11!) окрестности бГе стягиваются в точке О при ее — ьоот). Обозначим через и решение уравнения т'.!и)= Р», равное нулю вместе со своими первыми производными на начальной кривой С.
Из представления Римана следует тогда, что 1ип ии — — и существует н что п(Р) =й(('11 Р). ') В частности, отсюда следует, что если оператор б самосопряженный, то функция й симметрична относительно я, у н и ж ") Предел 1пп Уи соответствует д-функции Лярзка. емс Э д. Представление решений в форме Римана 453 Решение и(х, 1) = й (а, 'Р; х, Г) можно, следовательно, физически истолковать как интенсивность в точке (х, Г) единичного излучения, исходящего из точки Я пространства-времени. Математически это кратко формулируется так: функция и(х, 1) при 1) О является решением уравнения А[а]=5(х — а, 1 — р), удовлетворяющим нулевым начальным условиям на С. Для произвольной функции г' формула Римана дает суперпозицию эффектов излучения, источниками которого являются все точки (а, р), расположенные над кривой С, лежащие в области зависимости точки (х, Г). Это подсказывает, каким образом следует обобщить понятие функции Римана для задач более высокого порядка и с большим числом пространственных переменных (см.
гл. 71, 9 15), Здесь можно дать только краткое указание, так как в гл. Я, 9 15, будет полностью изложена соответствующая теория. Рассмотрим для краткости оператор Ь [и[, применяемый к вектору и с й компонентами, и предположим, что 5 состоит из й линейных операторов первого порядка. Тогда тензор Римана определяется с помощью Ь-функции Дирака как решение сопряженного уравнения Ь" (й(Х, Г; Е, т)) =О, И <т) удовлетворяющее при Г =с условию й(х, т; С, с)=3(х — с)й где т' — единичная матрица. Построение тензора Римана и подробные объяснения даны в гл.
т[1, 9 15; это построение основано на интегрировании по характеристикам, исходящим из точки Р в сторону прямой Г = О, как показано в гл. Ч1, 9 4. 5. Примеры. 1) Для простейшего волнового уравнения и„= О ху функция Римана й (х, у; с, 4) тождественно равна 1, и, следовательно, решение дается формулой и(Р)= — [и(А)+а(В)[+ —, [ (а„с(х — и с(у). (9) лв Вводя новые координаты х + у =.- Х, х — у=Т, 454 Гл. 14 Гиперболические уравнения с двумя переменными мы получим вместо (8) уравнение итт "хх = О а вместо формулы (9) — формулу и(Р) = 2 [и(А)+ и (В)[+ + 2 [ '[(их+ ит) 2 (асХ + ссТ) — (их — ит) 2 (с(Х вЂ” ссТ) [ = АВ 2 и(А)+и(В)[+ 2 1(итссХ+ихс(Т)' АВ (8') (9') Если начальной кривой служит линия Т=О, т.
е. если А и  — это точки (Х вЂ” Т, 0), (Х+ Т, 0), то формула (9') дает и(Х, Т) = 2 [и(Х вЂ” Т, 0)+и(Х+ Т, 0)[+ 1 хгт + [ ит(Х, О)~. (10) х-т Общее решение уравнения (8') можно записать в различных видах, простейший из которых таков: и(Х, Т) =т" (Х вЂ” Т)+д(Х+ Т), удовлетворяет условиям, наложенным на функцию Римана (см. условия а), б), в) и, 2), то функции тр (х, у) = о (ссх, а гу) также удовлетворяет этим условиям. Ясно, что из условия С'[о(х, у)[=0 следует, что 1,'[ш[=0, так что условие а) выполняется.
Так как и = д = О, условие б) означает, что функция о = сс' постоянна на осях координат. Если о обладает этим свойством, то им обладает где т' и и — произвольные функции. Чтобы решить задачу Коши, надо определить г" и д из начальных условий. Это приводит к фор- муле (10), которая обычно так и получается. 2) Далее мы рассмотрим уравнение 1.[и[=и +си=у(х, у), где с — постоянная; оно эквивалентно телеграфному уравнению (см, гл. Н1, 9 4). Это уравнение является самосопряженным. Так как коэффициенты оператора С постоянные, функция й(Р, с',1) зависит только от относительного положения точек Р и сс.
Кроме того, счи- тая 1,"с началом координат, можно заметить, что если функция о(х, у) =Р(х, у; О, О) З Ю. Предсгавленае решенаа е форме Римана 433 и тв; наконец, из того, что о(0, 0)=1, следует, что чо(0, 0)=1, Так как зти условия определяют функцию Римана однозначно (см, й 6), то мы получаем, что та(х, у)=о(х, у) — функция только от ху.
Для более общего случая, когда ге=-(сй т)), функция Римана 1с(Р, Я) имеет вид )с(х, у; 1 г!) = г («) « = (х — 1) (у — '4). где Из уравнения Ь*[Я[ = 0 тогда следует, что функция г' удовлетворяет уравнению «Гн+ Г' + с)' = О1 если положить Л = [г4с«, оно переходит в уравнение Бесселя асу 1 аг' — + — — + У = О. аЛе Л дЛ (см. т. 1, гл.
Л111, й 2). Действительно, й(х, у; Б и)=/~(фг4с(х — 1)(у — т1)) есть искомая функция Римана, так как она удовлетворяет заданным условиям на прямых х=Б у=",; это легко проверить непосредственно. 3) В 3 3, п. 1 мы изучали одномерное изантропаческое «сечение жидкости; мы ввели инварианты Римана г и г и привели уравнения движения к виду ( дс -+ (а+ с) дх ) г = О, д д ( д д [ — +(и — с) — ! а =О.
дг дх ) Эту систему можно линеаризировать с помощью преобразования годо- графа (см. 3 2, п. 3), что приводит к системе х,— (и+с)1,=0, — х, + (и — с) Е, = О. Мы исключим х и получим уравнение второго порядка — 2сг„+ (и — с),1,+(и+ с), 1, = О. Для политропного газа были найдены инварианты Римана (см. Я 3, п. 1) и с а с г= — + з= — — + 2 1 — 1' 2 1 — 1 Решением, регулярным в,начале координат, является функция Бесселя 456 Гл. р Гиперболические уравнения с двумя переменными так что каше уравнение второго порядка имеет вид (г+я)1„+ 2т,+', ((,+(,) =О. Мы теперь изменим обозначения, приведя их в соответствие с обозначе- ниями етого пункта. Пусть г = х, в = у, у=и и (Т+ 1)(2(Т вЂ” 1) = — л, Тогда наше уравнение второго порядка переходит в уравнение Е [и[= — и — (и, + и ) = О.
(11) Согласно п. 2, его функция Римана должна удовлетворять уравнению 1. [й[=йл,+ х+ (й.+й,) —,,'" —,, й=о н условиям й,(х, 1;,с .,)= — " й(х,;, с,„,) х+и и (Е у Е т~)= — — й(Е, у; с, т) и й(;, тр Е, и) =!. Если проинтегрировать эти условия по характе- ристикам, то получатся соотношения й(х, тб Е, т)=~ ') й(Е, у; Е б)=[,+~) (13) (13') (х + у) 0"„" ' и„— п0я" и = О, (14) где через 0„и 0 обозначены д)дх и д(ду. Из свойства взаимности функции Римана следует, что й как функция Е, т) удовлетворяет уравнению ~-Н,„1[й[=йач —,~ (йа+йч) =О (12') (см. уравнение (7)), Следовательно, мы имеем также (Е+т) 0г ' 'йч — л0„:" й =- О, (15) для решения уравнения (12) (ср, уравнения (2), (3) и (3')). Уравнение (11) имеет решения особенно простого вида, если и — целое положительное число.
Умножая уравнение (11) на х+у и дифференцируя его п раз по х, мы получим, согласно формуле Лейбница, Э Б. Предегаеление решений е форме римана 457 Урзвнения (14) и (15) —.это обыкновенные дифференциальные уравлн! л !л пения относительно функций О» и и О; Й соответственно; они имеют решения О"„~ ' и = Л (х; Е, т)) (х + у)' и В~!''Й=В(Е х, у)(:, +й)". Применяя условие (13), мы убеждаемся, что при л1 = у Р, Й(х, у; Е т!)=О. Отсюда ВД; х, т))=0 и, следовательно, В(1; х, у)=0. Иа этого равенства и из соответствующего рассуждения для (и+1)-й производной по л) мы делаем вывод, что Й является полиномом степени не выше и по Е т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
