Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 57
Текст из файла (страница 57)
яя ч О (33) Это имеет место, например, в случае, когда Ь и тождественно обращается в нуль в О, начиная с некоторого т. Тогда разложение(33) обрывается при ч=т — 1 и мы можем сделать следующее утверждение. Любое решение дифференциального уравнения Ь и=О, регулярное в О, т. е. имеющее в О непрерывные производные до порядка 2т, удовлетворяет соотношению средних значений т-! 1 г~гч 4 х,) „( и "ы=~л (2, ( 1)! о иь Я .-0 для произвольной сферы, содержащейся а О.
Например, решения уравнения Ь Ьи = О удовлетворяют соотношению средних значений — з) з) и йй =- и + — Ьи . кт.К~.~ .~ =- а б (35) Другой пример дают решения уравнения Ли+си=О. Здесь йчпч-! ( 1)ть! ть! и так как остаточный член стремится к нулю при возрастании т, мы имеем Л4(й)= и э — ' Дг и — =., Ъ' ( — !)'сч, 5!Пгг)лс ' л г (2ч+ 1) ! ' Р У с ч=а Для любого решения уравнении Ли+си=О, регулярного в О, и произвольной сферы, лежащей в О, справедливо соотношение средних значений 4 (36) ') В связи с ьтии см. Пицетти [1). где апис надо понимать как ис.
Это тождество справедливо для любой (2т+2) раз непрерывно дифференцируемой функции и и любого шара К, содержащегося в О'), Если функция и бесконечно дифференцируема в О и если остаточный член стремится к нулю при возрастании т, то формула (32) дает разложение в бесконечный ряд 289 В 3. теорема о среднеи значении Аналогичные рассуждения можно провести на плоскости и, вообще, в п-мерном пространстве. Так, на плоскости мы получаем тождество М()7)=2р ~ ис(з= г Я ', + ~ ) и Ь 'идя', (37) Я ..о к где функции о определяются рекуррентными формулами я о,, = ~ ро, (р) 1ои — ', йр, л 1 17 'со= я 1ок,. 2я (37') (39) Здесь з,(х) есть ч-я функция Бесселя. В и-мерном пространстве мы имеем М (Я) = — ~ ~ и оИ = т Р(~-) ~' ( — ) ' +~ ~ ~о Ь и(ф, (38) 2 где функции о (г) задаются рекуррентными формулами ро (,) (рл-г гл-2) й 1 (и — 2)»л з Как и раньше, зтн формулы приводят к следующей теореме.
Любое решение дифференциального уравнения пи+си=О, регулярное в чз, для произвольной сфера, лежащей в О, удовлетворяет соотношению средних значений „" ( — 1)~Р',") — ) исИ= иоР(-~-) ~~1 я .-о ч1Г1ч+-~) г®з<„-г1п(р~' ) р.— ~ лзл зол Я1 (' ' )' ' Гл. г)г. Теория погенноели и зллилгические правления В частности, на плоскости мы имеем 4 „„~ ггдв= ио1е(К ЗГс) (40) Для нечетных и множитель р(В) при ие в формуле (39) может быть выражен через производные функции з1пге )г сЯ )гс. Действительно (см.
т. 1, гл. ЧИ, Ч 2, п. 7, стр. 413), 'ь-3) ' л — 2 ° 1 — ')'" " -'" "~2) й' -»' м.р)хг Р ( ) — )г; = 41р,е)Ы-З1г ргг-- 9 4, Краевая задача 1, Предварительные замечания. Непрерывная зависимость от граничных значений и от области. Мы возвращаемся к главной задаче нашей теории — к краевой задаче. Мы доказали уже единственность решения этой задачи, т. е. следующую теорему. Существует не более одной гармонической функции в О, принимающей на Г заданные непрерывные значения. Аналогично мы показали, что решение краевой задачи непрерывно зависит от граничных значений.
Если г", — последовательность непрерывных функций, равномерно сходящаяся к г" на Г, то последовательность гармонических функций п„принимающих на границе значения уо сходится внутри 6 к гармонической функции и, принимающей граничные значения Г'. Доказательство немедленно получается из теорем сходпмости ч 2, и. 3. Лозтому достаточно доказать разрешимость краевой задачи для специальных граничных значений на Г, например, для полпномов относительно х,, хг, ..., х„; затем решения этой задачи для произвольных непрерывных граничных значений можно получить с помощью предельного перехода.
В соответствии с соображениями, развитыми в 3 2, п. 1, достаточно построить функцию Грана К. Лрн построении функции Грина мы ограничимся случаями и = 2 и п 3 и получим следующий результат. В случае а=2 функцию Грина можно построить для любой области О, граница Г которой состоит из конечного числа непрерывных кривых, таких, что каждая точка Г является концом прямолинейного отрезка, остальнвье точки которого лежат вне 6. В случае и = 3 функцию Грина можно построить для любой области 6, граница Г которой состоит из конечного з ь. Краевая эадача 291 гисла непрерывных поверхностей. таких, что любая точка Р является першиной некоторого тетраздра, остальные точки которого лежат вне О.
В томе 1П мы снова рассмотрим краевую задачу, но при существенно более общих предположениях и с другой точки зрения. Следующее ниже рассуждение применимо к ограниченной об-. ласти О. Лля неограииченноп области 6, не совпадающей со всем пространством, мы получим. функцию Грина, преобразовав область О в ограниченную область 0' с помощью инверсии относительно некоторого круга пли сферы. На основании теоремы из ь 1, стр. 244, функция Грина для 6 сразу получается тогда из функции Грина для О'. Чтобы упростить построение функции Грина для более общих областеп, мы сначала докажем некоторые у~верждения о непрерывной зависимости функции Грина от области. Мы рассмотрим монотонную последовательность подобластей О,, сходящуюся к 0 и такую, что О„содержит О,, а качестве подобласти и, кроме того, любая фиксированная внутренняя точка области 0 содержится во всех 6,.
начиная с некоторого ж Тогда справедлива следующая теорема: а) Если суигествувт функция Грини К, для каждой области О, и существует функция Грина К для предельной' области О, то последовательность К„равномерно сходится к К в О+Г'). Однако большее значение имеет более общая теорема о сходичости для случая, когда заранее не известно, что существует функция Грина для предельной области О. Тогда функцию Грина К кожно построить с помощью соответствующего предельного перехода. Обоснование этого дает следующее уточнение теоремы а).
б) Если монотонная последовательность областей О„сходится к 6 и для каждой области О, существует функция Грина К„, то последовательность функций К„сходится в 6 к некоторой функции К=11ш К„; зта предельная функция являвпися функцией Грина для области О, если выполняются некоторые условия.
Эти условия таковы: в случае двух измерений для каждой граничной точгси Р области О должен существовать конечный прял<олинейный отрезок, лежащий вке 0 и имеющий один из концов ') В часгя области О, гге принадлежащей 0„, функция Кг продолжается, например, гождествои К„= — О. 292 Тл.
7Г Теория ногенциили и лллинтннесние уравнения в точке Р '); в случае трех измерений для каждой граничной точки Р должен существовать тетраэдр, лежащий вне 6 и ил~еющий вершину в точке Р. Чтобы доказать теоремы а) и б), мы сделаем сначала следующее замечание. Функции К,, а также функции ʄ— Т, которые получаются из них вычитанием фундаментального решения Т и являются в 6 регулярными гармоническими функциями, образуют монотонную последовательность. Действительно, если ч так велико, что особая точка 6 лежит в О,, то дли р ) ч граничные значения гармонической функции К„ — К,, регулярной н О,, неотрицательны на Г,.
Следовательно, эти функции неотрицательны всюду в О,. Кроме того, по той же причине в случае а) мы имеем К, ( К, а следовательно, и ʄ— Т ( К вЂ” Т. В случае б) существует по крайней мере один шар, лежащий целиком вне О. Если К вЂ” функция Грина для области, внешней по отношению к этому шару, то К„(К и ʄ— Т (К вЂ” Т. Итак, в обоих случаях монотонно возрастающая последовательность К, — Т ограничена и, следовательно, сходится в О. Предельная функция Н = !ип К„, конечно, неотрицательна в О и, согласно теоремам сходимости из 9 2, п.
3, функция Н вЂ” Т гармонична в О. Для теоремы а) мы из неравенства К„( К заключаем, что Н (К. Но так как функция К принимает на границе нулевые значения, то же справедливо и для предельной функции Н. Другими словами, Н = К есть функция Грина для предельной области О. Чтобы доказать теорему б), мы заранее воспользуемся фактом, который будет доказан з п. 2, а именно тем, что можно построить функцию Грина для внешности прямолинейного отрезка на плоскости и для внешности тетраэдра в пространстве. Пусть теперь К' — функция Грина для такого отрезка (или для такого тетраэдра), который соответствует некоторой граничной точке Р, области О, как это описано в условиях теоремы б).
Для любой точки 6 наши рассуждения сразу дают О.-..Н(Р) (К*(Р); так как К*(Р )=О, то отсюда так же, как и раньше, следует, что граничное значение функции Н в точке Р, равно нулю, Таким образом, согласно нашим предположениям, функция Н имеет всюду ') Заметим, что для и = 2 наши рассуждения без труда можно распространить на тот более общий случай, когда точки можно достичь не с помощью отрезка, а с помощью ломаной, состоящей из конечного или счетного числа отрезков. В этом случае граница может быть произвольной жордзновой кривой. Однако мы опускаем здесь это обобщение, тзн как краевая задача для такой общей границы будет решена прямым способом в т. Ш.
,ч 4. Кяаевал задача 293 пулевые граничные значения и, следовательно, является функцией Грина для предельной области О. Мы подчеркиваем тот факт, что эти рассуждения относятся не только к односвязным областям, но без всякого изменения могут быть применены к многосвязным областям. В следующем пункте мы покажем с помощью альтернируюн4его яетода Шварца, как можно, умея строить функцию Грина К для довольно специальных областей О, = 6, распространить это построение па более общие области О, монотонно приближая их областями 6,.
2. Решение краевой задачи с помощью альтериирующего метода Шварца. Простой сходящийся процесс позволяет нам решить краевую задачу для области В, если она является объединением двух пересекающихся областей О и 6' (или любого конечного числа Рис. 15. Рнс. 14. таких областей), для которых краевая задача предполагается разрешимой при любых непрерывных граничных значениях. Предположим, что границы Г и Г' областей О и О' состоят из конечного числа частей, обладзющих непрерывно изменяющимися касательными или касательными плоскостями. Далее мы предположим, что границы областей О и О' пересекаются под углом, отличным от нулевого, и в таких точках Г и Р', которые не являются угловыми или коническими точками и не лежат на ребрах. Например, так как краевая задача для круга и полуплоскости или для шара и полупространстза может быть решена с помощью интеграла Пуассона, то альтернирующий метод сразу позволяет решить задачу для областей, которые являются обьединением конечного числа пересекающихся кругов и полуплоскостей на плоскости, нли шаров и полупространств в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
