Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 45
Текст из файла (страница 45)
гл. 1, 3 3, п. 2 и т. 1, гл. !!!1, стр. 433). В гл. !гУ этого точа и в томе П! мл построим и изучим решения для произвольных областей. В других краевых зздачах для уравнении Лапласа на границе задаются значения некоторой линейной комбинации функции и ее нормальной производной. Задачи такого типа обсуждались в т. 1, гл. И с точки зрения вариационного исчисления. Они будут решены в т. !1!. Теория потенциала дает хороший пример того, что „общее" решение может быть бесполезным при решении краевых задач. Например, хорошо известное общее решение уравнения Лапласа для и = 2 имеет вид и=у!х+!у)+д!х — гу), где ! и кг — произвольные аналитические функции комплексного переменного, Однако этот вид решения не имеет большой ценности при решении общей краевой задачи').
') Отметим, что в ряде работ решение весьма обгцих краевых задач для эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными получено, исходя из общего представления решений, См., например, Векуа [2,!].— Прим. рад. 226 Гл. П>'. Дифферениаольные уравнения выо>ш>х поолдхоо Затем мы упомянем нелинейную краевую задачу, возникающую в теории минимальных поверхностей. Предположим, что в пространстве х, у, и задана замкнутая пространственная кривая Р, проекция С которой ограничивает некоторую область О на плоскости х, у.
Чтобы найти минимальную поверчцос>ь и(х, у), ограниченную контуром Р, мы ставим следующую краевую задачу для уравнения минимальных аоеерхноелге>! (1 + и') и, — 2и„и и„+ (! + и') и = О. (1) Найти решение и(х, у) дифференциального уравнения (1), дважды непрерывно дифференцируемое в 6 и принимающее заданные аначения на С (задача Плато в несимметричной форме). Далее, следует указать на важный класс „смешанных задач".
Мы рассматриваем в пространстве переменных х,, хю ..., хо фиксир>ванную область О с границей Г, которая предполагается достаточно гладкой. В области О для Г ) 0 мы ищем функцию и (х,, хю..., х„, Г), или и (х, Г), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению Л (и] = О, принимающую на Г заданные граничные значения, которые могут зависеть также и от 1, и уловлетворяющую при!=О в 0 заданным начальным условням. Такая задача ставится лля струны, навянутой между точками х=О и х=1, с граничными условиямн а(0, () =и(1, Г) =0 и начальными условиями и(х, 0) = — >о(х), и (х, 0) = ф(х). Во многих смешанных задачах граничные условия для дифференциальных уравнений неоднородны.
Если оператор ь (и),чинейный н однородный, то различают два типа краевых задач. 1. Граничные условия однородны; например. фушгция обращается в нуль на границе. Такие условия возникают в задачах о колебаниях ограниченных тел; предпочагается, что лвиженио начинается прн Г = 0 с заданного начального состояния. В т. 1 эти залачи о колебаниях были подробно исследованы, в частности, на основе теор ~и собственных функций 2. Начальные условия однородны; например, функция и и, может быть, некоторые ее производные обращаются в нуль при Г = О.
Однако краевые условия неоднородны. Задачи такого рода, как, например, задачи о переходном режиме, играют важную роль во многих приложениях. В принципе задачи с неоднородными краевыми условиями можно свести к задачам первого типа, Нало только вычесть из функции, которая является неизвестной в дифференциальном уравнении, функцию, которая удовлетворяет заданным начальным и граничным условиям, а в остальном выбирается произвольно.
Тогда лчя разност>ч мы получаем задачу типа зад"чи о колебаниях, но с неоднородныч б б. Типичные задачи 227 уравнением; поэтому к ней можно непосредственно применить метод собственных функций в соответствии с т. 1, гл. Н. Несмотря на возможность такого сведения, желательно и с теоретической и с практической точки зрения провести независимое исследование задач с неоднородными краевыми условиями, которые мы в дальнейшем будем называть неегиационарнылги.
Методы, специально приспособленные для приложений, будут рассмотрены в приложении 2 к гл. Н. Проблемы излучения, которые в $ 4, п. б рассматривались как предельные случаи задачи Коши для неоднородных уравнений, можно рассматривать также как предельные случаи нестационарных задач; поэтому их также можно причислять к классу смешанных задач.
Наконец, упомянем несколько типичных примеров, которые не входят в описанные выше классы. Задача Римана об отображении состоит в том. чтобы конформно отобразить заданную область 0 плоскости х, у на круг из+ от < 1. Аналитически это приводит к следующей краевой задаче: найти л.чя системы Коши — Римана и,=п„, ит= — о„ решение — пару функций и(х, у), о(х, у), определенных в области 0 с границей Г, непрерывных в 0 вместе с первыми производными; кроме того, функции и и о должны иметь непрерывные граничные апаченпя, удовлетворяющие граничному условию из+о'=1, и отобрагкепие Г на единичную окружность должно быть взаимно однозначным.
В этом случае, очевидно, перед нами уже не простая граничная залача теории потенциала, хотя ее решение можно свести к решению такой задачи (как было показано в т. 1, стр. 319 и булет показано с другой точки зрения в следующей главе). Более общей является задача Плато в параметрической форме: построить минимальную поверхность, ограниченную заданной пространственной кривой Г. В соответствии с э 1, п. 4, эту задачу можно сформулировать как следующую задачу для дифференциальных уравнений: в единичном круге и'+ та ( 1 найти три функции х, у, з переменных а, о, удовлетворяющие уравнениям Ьх=бу=Ьг=О и дополнительным условиям х'„' + у„'+ з', = х', + у, + з',.
х„х„+ уиу„+ з = б, (З) причем их граничные значения х(з), у(з), з(з) должны быть непрерывными функциями длины луги з на единичной окружности и должны задавать параметрическое представление пространственной кривой Г. Хотя задача Плато в несимметричной форме ]ем. уравнение (1)] не всегла имеет решение, в такой форме она всегда разрешима ').
') См, Курант 12], Гн ?П. Днфференииальньье уравнения вмстнн нарядное Друтой типичный пример, относящийся к уравнению Лапласа, — это „задачз о струе" в плоской гидродинамике. Она существенно отьтичается от классических краевых задач, так как значения задаются на „свободных" (т. е. не заданных а рпог) границах. Мы рассмотрим задачу о двумерном безвихревом истечении несжимаемой жидкости иа симметричного сопла. Предполагается, что течение симметричное; ось симметрии, например ось х, является линией тока, и ее можно заменить твердой стенкой.
Предположим, что 6 — бесконечная область на плоскости х, у, ограниченная снизу осью х, а сверху некоторой кривой, состоящей из двух частей: границы сопла 0 и границы струи $ (см. рис. 7). Заданная граница сопла 0 простирается от точки А назад, асимптотически приближаясь к горизонтатьной пря- Т А мой у = Ь. Неизвестная граница -е струи 5 продолжается вперед от точки А, асимптотически приближаясь к горизонтальной линии у = 1, Рис.
7. Мы хотим найти „функцию тока" ф (х, у), описывающую искомое течение, удовлетворяющую дифференциальному уравнению аф =- О. Так как границы области 0 являются линиями тока, функция ф на них постоянна; мы можем потребовать, чтобы было ф = О на оси х и ф = 1 на 0 + 5. На границе 5 давление постоянно; поэтому, согласно теореме Бернулли, на ней ду[дч = сопэ1 (ч обозначает внешнюю нормаль).
Кроме того, мы требуем, чтобы величина дф(ду стремилась к 1 при х †>оо и к 1/Ь при х †> — со. Эта задача является задачей со „свободной" границей, Граница Я и величина Ь, фигурирующие в условиях, наложенных на функцию и, не заданы заранее, а должны быть найдены в процессе решения задачи. В соответствии с этим задается дополнительное граничное условие, кроме обычного условия краевой задачи, а именно требуется, чтобы на 3 нормальная производная была постоянной ').
Наконец, следует упомянуть задачу еще одного типа, задачу рассеяния; нужно изменить „входящую" волну, заданную а рпоп, например плоскую волну; требуется найти еще одно решение волнового уравнения, „рассеянную волну", так чтобы сумма удовлетворяла некоторым условиям, определяемым препятствиями. Мы будем рассматривать такие задачи в гл.
1т?, 9 5. 2. Основные принципы. Типы дифференциальных уравнений, перечисленные в п. 1, возникают из задач физики, механики нли ') Задачу о свободной струе рассматривал Гельмгольц в 1868 г. Он н его последователи получили решения для ряда специальных форм сопла. Существование решения для сопла произвольной формы было установлено Вайнштейном в 19?9 г. Исторический очерк н библиографию по теории следов и струй з случае двух измерений см. в работе Вайнштейна [1). б 6. Титтпые задами 229 геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
