Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Примеры. Телеграфное уравнение. Ненскажающнеся волны 1 в кабелях. Лля волнового уравнения —, ин= Ьи возможны расе' пространяющиеся в произвольном направлении со скоростью с плоские бегущие неискажаюшиеся волны / и в р~ ~~'., арх — е1), ~~.'е ат = 1. 1=! е-г Более общий пример дает телеграфное уравнение ии — сти + (а+ 9) и,+ арп = 0; (19) этому уравнению удовлетворяет напряжение илн сила тока и, если их рассматривать как функции времени 1 и координаты х вдоль провода; х есть длина провода от некоторой начзльной точки э).
За исключением случая, когда а = Р = О, это уравнение описы- 1 2 вает явление дисперсии. Если ввести фуи<цию о=ее и, то мы получим для нее более простое уравнение пн — сзп — ( ) о=О. Это уравнение описывает случай отсутствия дисперсии тогдз н только тогда, когда а = р. (20) ') Поучительное упражнение — проследить, как первый случай пере- холит во второй, когда коэффициенты Р; для у < Л стремятся к нулю в зависимости от некоторого параметра.
') Это дифференциальное уравнение получается с помощью исключения одной из неизвестных функций нз следующей системы двух дифференциальных уравнений первого порядка для силы тока т и напряжения и как функций л и й Си,+6и+1,=0, Ы, + йй+ и» = О. Здесь й — самоиндукция кабеля, Л вЂ” его сопротивление, С в емкость, и, наконец, 6 — утечка (потеря тока, деленная на напряжение). Константы в уравнении (19), возникавшие в процессе исключения, имеют следующий смысл: 1 6 й — йС, а — —, )=в е' ' С' где с — скорость света, и — емкостный, а р — индуктивный коэффициенты затухания.
З 3. Пинейные уравнения с постояннымн коэффициентами 197 В этом случае исходное телеграфное уравнение, конечно, не имеет совершенно неискажающихся волн произвольно заданной формы. Однако наш результат можно сформулировать следующим образом. Если выполняется условие (20), то телеграфное уравнение имеет решения в виде затухающих, однако „относительно" неискахсающихся бегущих волн вида ! — — !эьй ! и=е г у(х ~- с() (21) с произвольной функцией Г; волны могут расаространяться ао кабелю в обе стороны. Этот результат важен для телеграфного дела; он показывает, что если подобраны подходящие знзчения емкости и самоиндукции кабеля, то сигналы могут передаваться хотя и с затуханием по времени, но в относительно неискаженном виде (см.
гл. Ч, приложение 2). 6. Цилиндрические и сферические волны. Принцип суперпозиции позволяет найти другие важные формы решений наших дифференциальных уравнений, в частности, цилиндрические и сферические волны. (а) Цилиндрические волны. Вояновое уравнение в случае двух измерений ия„+ и — ан — — О прк любом О имеет решение (22) ехр )ср(х соз О+ у з1п О) ехр )гр(), где р — число, которое можно выбирать произвольным образом. Интегрирование этой „плоской волны" по углу О дает новое решение и(х, у, 1)=ет' ~ ехр )грг сов(Π— у)) йб=2яесЮ (рг), о где полярная координата г вводится равенствами х = г соя!7, у =— =-гз1п!р.
Это решение представляет стоячую волну. Таким образом, инвариантное относительно врасцения решение волнового уравнения (22), так называемая цилиндрическая волна, задаетси фУнкцией БесселЯ Уа, Это Решение РегУлЯРно в начале координат г = О. С помощью суперпозиции плоских волн мы можем также построить решение, имеющее особенность в начале координат и соответствующее процессу излучения (см.
Э 4) с источкаком в начале координат, Для этого построения мы используем несобственные волны. Рассмотрим комплексный контур интегрирования ь на пло- 198 Гл. Ш. 11ифференчиальные уравнения высших порядное скости 0, изображенный на рис. б (см. т. 1, гл. Н11), и составим комплексный интеграл и = Е М / ЕСгс се' а С1 В = яЕ Г На (рГ). с где Не — функции Гаккеля.
Тогда и является решением рассматри! ваемого волнового уравнения. Обе цилиндрические волны, конечно, периодичны по 1 и являются колеблющимися, но не периодическими функциями цространственной переменной г. Рнс. 5. Рнс. 6. (б) Сферические волна. В трехмерном пространстве положение несколько иное.
Из решения ехр (1о1) ехр119(ах+ру+Тх)) =ехр1(р1] в, интегрируя то по единичной сфере пространства а, р, Т, мы получим новую функцию О = О Е" ~ Зат+тх2 С12, где Ю вЂ” элемент поверхности единичной сферы. Так как зта функция, очевидно, инвариантна относительно вращения осей координат, мы можем для простоты вычислений положить х = у = О, х = г. Вводя в пространстве а, Р, Т сферические координаты 5, у, мы получим 2н О= ) Сгу ) Ем'сеьав1ПВИ о о или ча Мп сг У= р г Э 8, Линейные уравнение с настоенными коэффициентами 199 е'т' в1ттеоео з(п 0,20 Е !уе (23) В действительной области мы одновременно построили две сферические волны вида (спарт)!т и (з(прт)/т; вторая из них и есть только что построенная выше регулярная волна. Заметим, что сферическая волна вида (23) момсет быть получена с помощью суперпозиции плоских волн ехр (10(зх+ Ру+ тз)) для произвольной точки (х, у, г), где л ) О.
Независимо от положения этой точки справедливо соотношение е. еы' 2я, = — ~ сЬ | е'е' еаээте~з1н 0е)0, фе о с (24) где хт+ уо+ га = гт. Простой вывод формулы (24) можно опустить '). Так как волновое уравнение не содержит дисперсионных членов, мы можем построить волну, инвариантную относительно вращения, и = ~ ~ у (Š— ах — ру — Тз) з! и 0 с10 Фр о о с произвольной функцией у(Л), Это выражение инвариантно относительно вращения; поэтому мы можем вычислить этот интеграл в предполоэкенни, что х = у = О.
В полярных координатах мы получаем Ое и= 2тт / у(у — гсоз0)з1п0 е(0 == (гт(1+т) — те(у — г)) о ') Установление равенства двух интегралов (23) н (24) связано с интегральной теоремой Коши для двух комплексных переменных, так как переход от р + О к о =О означает только перемещение контура интегрирования на комплексной плоскости 0 (см. Вейль [1), где лается важное применение формулы (24) к задаче распространения радиоволн).
Таким образом, функция ехр (191) (з!ирг)1г является стоячей сферической волной, инвариантной относительно вращения и регулярной в начале координат; она получается с помощью суперпозиции регулярных бегущих плоских волн. Волны с особенностью в начале координат, соответствующие явлениям излучения, снова могут быть получены с помощью несобственных плоских воли.
Контур интегрирования 1. (рис. 6) приводит к функцви 2ОП Гл. 10. Лифференциальные уравнения высших варяднав где Р— неопределенный интеграл функции г' — является произвольной функцией. Таким образом, для любой (дважды дифференцируемой) функш.и Р функция Р(Г+ г) — Р(à — г) является решением'). Аналогично, каждая из функций Р (Г+ г) Р (à — г) г г также является решением.
Это легко показать с помощью соответствующих замен в функции у или Р или с помощью непосредственной проверки. Эти решения, которые, очевидно, имеют особенность в начале координат, представляют собой „бегу!лис сферические волны, затухающие в пространстве". Кроме того, эти функции — единственные решения волнового уравнения в трехмерном пространстве, которые как функции пространственных переменных зависят только от г, так как для функции и(г, !) выражение Ли=иле+и +и„превращается в выраэх жение Ьи = и„+ — и, = — (ги)„ 2 ! г ' г (см.
т. !, стр. 200). Поэтому волновое уравнение ци — ни=О переходит в уравнение — ((ти)„— (ги)сс) = 0; 1 общее решение этого уравнения, согласно гл. (, Э 6, равно ти = Р (г+ т ).+ 6 (! — г) с произвольными функциями Р и 6. З 4. Задача Коши. Задача излучения для волнового уравнения Линейные задачи теории распространения волн часто могут быть решены с помощью суперпозиции известных частных решений дифференциального уравнения. Задача всегда состоит в том, чтобы найти ') В двумерном случае аналогичное упрощение интеграла г.. и = / у(à — г сов а) сИ в невозможно.
Это одно из проявлений существенного различия между задачами а четио- и иечетнонерном пространствах, на которое мы уже указывали; это различие станет яснее в $ 4 и в гл. Ъ'!. З 4. Задача Каачи 201 решения и, зависящие от пространственных переменных х и от времени для г )~ О в некоторой области 0 пространства, удовлетворяющие заданным начальным условиям при 1=0 и некоторым краевым условиям на границе области 11 (смешанные задачи).
Если область 6 совпадает со всем пространством х и не задается никаких краевых условий, то мы имеем более простой случай задачи с одними начальными условиями, или „задачи Коши". Если и не зависит от Г, н, соответственно, не задается никаких начальных условий, а область 0 ограничена, то мы имеем краевую задачу. В этом параграфе мы рассмотрим несколько отдельных примеров; более общая теория будет систематически изложена позднее (см. также э 6).
1. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Преобразование тета-функции. Для уравнения теплопроводности их — и,=О мы рассмотрим следующую задачу Коши: для всех значений переменной х и для 1) О найти ограниченное решение и(х, С), обладающее непрерывными производнымн до второго порядка включительно и принимающее заданные значения и(х, О) =ф(х) при 1= О; предполагается, что функция ф(х) всюду непрерывна и ограничена, 1Р(х)/ ( М. Решение этой задачи Коши определяется формулой и(х, 1)= = / у(1)е-< -'->Ччгс(6, 2 Р"тГ (2) которая получается с помощью суперпозиции из найденного ранее (гл. 1, Э 3) „фундаментального решения".
Эта формула описывает распространение тепла как суперпозицию отдельных процессов. в каждом из которых начальная температура равна нулю всюду, за исключением точки х = Е где в начальный момент имеется локальная концентрация тепла, пропорциональная значению ф(1). Мы докажем этот результат с помощью непосредственной проверки. Дифференцирование под знаком интеграла сразу показывает, что при Г ) О функция (2) удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Чтобы проверить выполнение начального условия (при С = О), 202 Гл. !П. Дифференлиалвнюе уравнения выеюиих нарядное мы вводим вместо е новую переменную интегрирования а = (~ — х)/2 "р' г и получаем и=.— = ~ ф(х+2а "у'г')е "<й. (3) 1'-- Мы разделяем этот интеграл на три части у,+уз+у,=- —,' ~ + — ' ~ -+-' -ж -г г и выбираем Т= )1(-Чч Если 1 достаточно мало, то для произвольно малого заданного е на отрезке — Т ( а ( Т выполняется неравенство )ф~х + 2а у'г) — ф(х)) ( е, так как очевидно, что ~а))/гУ (~Г)'и, а функция ф непрерывна по предположению. Из сяодимости интеграла ~ е На = у'я мы сразу заключаем, что для достаточно малых 1 разность между интегралом в' и функцией ф(х) сколь угодно мала. Интегралы в1 и Уз можно оценить так: в', = ~ е'"сй М у' а ва (= ~ е 'л'а.
Так как несобственный интеграл ~ е "с~а сходится, то эти ннтегрзлы можно сделать сколь угодно малыми, если ~ выбрать достаточно малым. Таким образом, заданная функция действительно является решением нашей задачи Коши. Аналогичная явная формула дает решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае двух или более измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
