Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Канонический вид (31) гиперболического уравнения второго порядка не зависит от а, б, с. Мы должны снова заметить, что всюду в наше дифференциальное уравнение надо вместо р и д подставить выражения (30). Система (1О'), (31) трех дифференциальных уравнений с частными производными для компонент радиус-вектора х и дает искомый общий канонический вид для гиперболического случая. Если на поверхности и (а следовательно, и в некоторой ее окрестности) уравнение является эллиптическим, т. е, йг — ас к. О, то получается другой канонический вид. Мы находим соответствующее преобразование или непосредственно из уравнений (29'), или применяя формально только что полученный результат и вводя переменные Е+ч Š— х — =р — '=в 2 ' 2ч аут — 26у,х,+схг=-ау~ — 2оу х +схг, ау,у,— й(у х,-г-у,х )+сх х,=О.
(34) Мы делаем следующий вывод. В эллиптическом случае дифференциальное уравнение (28) 1. (и) = 0 эквивалентно следующей системе гпрех дифференциальных уравнений для величин х, у, и (или для радиус-вектора х как функции параметров р и в): й 1. Канонический вид дифференциальных операторов 171 которая в векторных обозначениях может быть записана в виде Ьх Ьу Ьи =(х у, — х,у )' --, (34а) 1 ас — ь' ' Ьх(хр Х х,)= х, у, и, х, у, и, где вектор Ьх обозначает оператор Лапласа от вектора х.
В частности, если д=О, то дифференциальное уравнение второго порядка не зависит опг а, Ь, с; оно имеет вид бх (Хр Х Хп) О где знак Х обозначает векторное произведение. 4. Пример. Минимальные поверхности '). Рассмотрим дифференциальное уравнение минимальных поверхностей (1+ Р)г) г — 2рцв+ (1+ рг) 1 = О; (35) х х — х х и х,х = — х,х,; РР Р Р" и Р Р следовательно, хбх — О и х Ьх — О.
С другой стороны, из уравнения (37) следует, что ах есть линейная комбинация векторов х, и хы Ах=ах,+рх,. Поэтому и='р=О и, следовательно, Ах=О. Таким образом, минимальная поверхность в параметрическом представлении с соответствующими параметрами р и и характеризуется следующими условиями: каждая из трех координат х, у, и удовлетворяет уравнению Лапласа, т, е. Ах=О, Ьу=б, Ьи= О. (38) Кроме того, они удовлетворяют условиям А=хг — ха=О, и (39) В=2хгх,=О.
') Ср, Курант [2[. так как ас — Ьг = — 1+ р'+Р)г ) О, это дифференциальное уравнение всюду эллиптическое и его можно привести к каноническому виду (34). действительно, Простой подсчет дает следующие уравнения: хи+ уг+ иг = х'+ уг+ иг, или х' = х'", (Зб) х,х,+у у,+и,и,=О, илн х х,=О, Ьх(х„Х х,)=О, где Ьх=х„+х„. (37) Эту систему можно упростить: дифференцируя уравнения (Зб), мы получаем 172 Пь 111, Дигйференциальные уравнения вьншн» порядков В обычных обозначениях дифференциальной геометрии Е=х', Е=хх, О=х' р' р е' формулы (39) дают условия на первую квадратичную форму минимальной поверхности: Š— 0=0, Г=О.
Казалось бы этн дополнительные условия добавляют еще два дифференциальных уравнения к трем уравнениям (38); однако они представляют собой просто граничное условие. Нам нет необходимости налагать дополнительные условия(39) во асей двумерной области р, о, достаточно наложить их на некоторой замкнутой кривой в плоскости р, о.
Из уравнений (38) немедленно следуют соотношения А =В„А = — В. р ' а р' Из этих соотношений видно, что функция А+1В явлается аналитической функцией комплексной переменной р+ (а; следовательно, А + (В тождественно обращается в нуль, если действительная часть А обращается в нуль на некоторой замкнутой кривой (например, на границе) и если В равно нулю в некоторой точке.
Для теории минимальных поверхностей важны следующие два вывода. (1) Отображение плоскости р, о на минимальную поверхность конформно. (2) Представление минимальной поверхности с помощью гармонических функций эквивалентно классическому представлению Вейерштрасса с помощью аналитических функций комплексного переменного р+1о=а. Чтобы получить формулы Вейврштрасса, рассмотрим гармонические функции х, у, и аргументов р, о как действительные части аналитических функций у',(а), уа(а), уз(а).
Если х, у, и — сопряженные гармонические функции, то мы имеем х+1х=у",(а), у+ау=)" (а), и+1и=у' (а). Так как, согласно дифференциальным уравнениям Коши — Римана, х,= — х,, у,= — у,, и,= — и,, то мы имеем р — 1х.=тр(") У вЂ” 1У,=Уз(~) и,— ги =уз'(а), так что условия (39) принимают вид з 9(а) = Š— Π— 21Е = ~ ~У'(а)1з = О. Э К Канонический вид дифференциальных операторов 173 Таким образом, все минимальные поверхности могут быть представлены формулами х = Ке у, (ы), у = )се уз (ы), и = Ке Л (ы), где аналитические функции г',(ш), в остальном произвольные, должны удовлетворять условию з ч',1Г'(ы)] =О. Вместо ы мы можем взять в качестве независимого переменного одну из функций у,, например, уз. Поэтому совокупность минимальных поверхностей существенно зависит только от одной произвольной аналитической функции комплексного переменного. б.
Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Здесь будет сделано несколько дополнительных замечаний относительно снстем двух дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями и н о, так как они встречаются в важных приложениях, в частности, в гидродинамике. (В гл. Ч будет развита полная теория.) В линейном случае, по аналогии с изложенным в $ 1, п. 2, гиперболическую систему ') можно привести к каноническому виду с характеристическими координатами 1, т) в качестве независимых переменных: аль+доз+ ...
=О, а'и„+д'о + ... =О, где а, д, а', Ь' — заданные функции 1, ьь. Вводя новые неизвестные функции У=ад+до, й =а'и+1'о, мы получаем, наконец, канонический вид СУе+ ... =О. )т+ ... =О, где точки заменяют известные функции от Сг, Ъ', 1, и. В случае, когда два семейства характеристик совпадают, т. е. 1 = т), приведение к виду (),+ ... =О. Р,+... =О ') Определение гиперболической системы см. в $ 2, ч. 2 настоящей главы.
— Гтри.и. ред. 174 Гл. ПА Дифференциальные уравнения высших порядков может оказаться воаможным со второй независимой переменной ", отличной от ',. Тогда рассматриваемая система эквивалентна системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с паоаметром ".. С помощью метода, аналогичного данному в и. 1, в эллиптическом случае получается канонический вид Р,+Я,+ ... =О, 9,— Р,+ ... =-О, где Р, Я вЂ” неизвестные функции, р, о — независимые переменные. р 2. Общая классаЯакацая а характеристики Теперь мы перейдем к более общему и глубокому изучению затронутых вопросов. 1. Обозначения. Понятие характеристик наиболее ясно для систем уравнений первого порядка. Для краткости мы в основном ограничимся линейными уравнениями, хотя включение квазилинейных или общих систем не влечет за собой существенных трудностей (см.
гл. Ч и гл. Ч1, й 3). Иногда, как ниже в уравнении (1), мы будем применять хорошо известное и удобное обозначение р,,д, для ~ р„д„, чтобы не писать знак суммы там, где это не приводит к двусмысленности. Кроме того, удобно будет применять векторные и матричные обозначения. Мы напомним также понятие внутренней производной функции у(х, у) иа кривой р(х, у)=0, такой, что та+та+0 (можно, например, считать, что р чь 0). Производная иГ',+ ру внутренняя, если ар + ~Т =- 0; в частности, т'уух рву у является внутренней производной функции у'.
Аналогично, производная функции у(х,, ..., х„) от и переменных хн ..., х„(или вектора х), внутренняя на многообразии т(хп ..., х„)=0, таком, что рабц~ ф О, определяется как линейная комбинация ",у'л =",у', удовлетворяющая условию ифт =ар =0 Здесь и ниже мы пользуемся сокращенными обозначениями у,, ~р„, и, вместо у,, ~„, и, (иногда также пишется 0,г', 1л,я и т. д.). Такие внутренние производные известны на поверхности т = О, если известны вначения самой функции у' (см.
гл. !1, приложение 1). З 2. Общая классас]си«акая и «аракгерастака 175 2. Системы первого порядка с двумя иезависимыми переменными. Характеристики. В случае двух независимых переменных х и у мы записываем систему Се уравнений для вектор-функции и с компоиентами и', и'...., и" в виде 10[и]=а~~сс«+6~си +с[~=0 Ц=1, 2, ..., к), (1) сде а", о" — элементы матриц А и В соответственно. Предположим, что по крайней мере одна из этих матриц, ссапричер В, неособая, т. е.
что ]]ЬО]]-р О. Коэффициеиты системы предполагаются непрерывно диффсреицируемыми. Члены йс могут зависеть от неизвестных функций линейным или нелинейным образом; в этом последнем случае мы назовем нашу систему почти линейной. В матричных обозначениях мы можем написать Ь[и]=Аи +Ви +й, где 1., й и и — векторы. Теперь рассмотрим уравнение с'.[и]=0 и поставим вопрос, имею- щий отношение к задаче Коши: по начальным значениям вектора и па некоторой кривой С:ср(х, у) = О, срт + ~з -.к О, определить первые производиые и иа С так, чтобы для полученной полосы удовлетво- рялось уравнение С[и[ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
