Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. интегрированию характеристических дифференциальных уравнений, другим путем выведенных для Р в гл, 11, 9 7. Далее, мы покажем, что некоторая специальная задача Коши для системы (6) эквивалентна задаче Коши для дифференциального уравнения (5); это даст новую основу для решения задачи Коши, которая в гл, П, 9 7 была решена с помощью характеристических дифференциальных уравнений (7). Прежде всего, ясио, что для любого решения дифференциального уравнения (5) функции и и р, = ди~дх! являются решением системы (6). Обратно, рассмотрим теперь систему и, р, решений диффереициальиых уравнений (6), удовлетворяющую следующим начальным условиям. Пусть С представляет собой (и — 1)-мериое начальное многообрааие в пространстве х, и, которое иигде ие является характеристическим.
Пусть иа С заданы такие начальные значения ри что Г = О всюду иа С и, кроме того, иа С выполняется равенство При.гонение !' и гл. П Кроме того, мы имеем ~~К г~(ы~ Р и + г + е е! «» дх! =1 е ! (9) С другой стороны, последнее уравнение системы (6) можно записать в виде О=Х Р Р,. .=! (10) Таким образом, мы получаем нли, применяя сокращенные обозначения Р = — ан где функции а,(х,, ха, ..., х„) надо рассматривать как известные коэффициенты, и Д, 'а,й„,=О. ! -"! (10') На интегральной поверхности о мы теперь рассмотрим кривые, определенные уравнениями (7), порождающие эту поверхность. Уравнение (10') показывает, что на каждой из этих кривых так как гс обращается в нуль в начальной точке на С, мы имеем (11) на 8.
Кроме того, из уравнения (9) получаем дР! дР, .-! ° .=! (12) и, следовательно, на основании первых а уравнений системы (6) и уравнения (8) получаем 15! д 3. Тлорлжл едылсгленлесгл Хаара з то же время уравнение (10),~, а,Р„=О после дифференцирования л ! по х; дает соотношение (13) Здесь бы=да,/дх! — снова известная функция переменных хз хл" Сложив равенства (12) н (13), получим уравнения вида л л ч=1 ! где величины сы — также известные функции хн х,, ..., хл. На каждой характеристической кривой дхг7дз= а, эти уравнения переходят в уравнения дР! ! !.
е. в систему обыкновенных линейных однородных уравнений относительно функций Р,. Однако, из формулы (10) и из начальных условий для системы (7) мы получаем следующий результат. Так как многообразие С не характеристическое, то определитель Ь, введенный на стр. 106, не обращается в нуль. Начальные значения для Р, равны нулю на С, и, следовательно, эти функции обращаются з нуль тождественно. Таким образом, доказательство эквивалентности поставленной задачи Коши для системы (6) и уравнения (5) закончено. Ф 3.
Доказательство теоремы единственности Хаара Решение одного нелинейного уравнения первого порядка, рассмотренное в э 7 этой главы, основано на понятии характеристических полос; прн этом необходимо было предполагать, что первые производные решения р и д днфференцируемы. Однако определение Решения дифференциального уравнения предполагает только непреРыююсть первых производных. Данное ранее доказательство существования решения не проходит при этих более слабых, но естественных предположениях. Поэтому представляет интерес результат )(зара [1], установившего, что для двух независимых переменных ниесг место по крайней мере единственност!н задача Коша амеегл 152 Приссолсение 1 к ал.
0 не более одного решения, если предполагается только непрерывность его первых производных. В частности, рассмотрим уравнение и =0(х, у, и, и„) и предположим, что функция 0 удовлетворяет условию Липшица по и и р. Пусть и и о — два решения, принимающие одинаковые значения на отрезке у = О, х, ( х «(х,; тогда они совпадают во всем треугольнике Т:у)~0, у«((х — хс)сп, у«((хг — х)ссй, тле и — постоянная Липшица функции 0 по переменной р. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обоаначим разность между сс н о через ш; и и о — решения заданного дифференциального уравнения. Вычитая друг из друга уравнения, записанные для и и о, и учитывая, что 0 удовлетворяет условию Липшипа, мы получаем следующее лифференцнальное неравенство Лля вю (те„! «(а(те(+д(шк), где а и сг — постоянные Липшица функции О. Заметим, что в тех точках, где функция ш положительна. это неравенство можно записать в виде 1 те „( -с, ~те+ й ~ и„(. Если мы заменим постоянную а несколько большей постоянной р, то получим строгое неравенство )ис ! ( Ош+Ф )ш„).
(1) Положим (Р'=е-ггш; мы утверждаем, что )сс, а следовательно, и ш тождественно обращаются в нуль в Т. Действительно, если бы функция йс не была тождественно равна нулю, то она принимала бы положительные или отрицательные значения. Предположим, что она принимает положительные значения. Пусть она достигает максимума в точке Р треугольника Т. Эта точка не может находиться на основании Т, так как там йт равно нулю.
Следовательно, направления ( — и, — !) и (и, — 1) в точке Р ведут енупсрь Т, и производные по этим направлениям неположительны: — йю'х — ж, (О, й)Є— )Рм~(ос отсюда Ф',)~А((р,! и точке Р. Если мы пврепишем неравенство для исходной переменной тв, мы получим пс„)~ рте+ й ( ш„), что противоречит неравенству (1). Предполагая, что функция гв' принимает в Т отрицательные значения, мы аналогичным образом приходим к противоречию. Следовательно, доказано, что и = о в Т.
153 Теория законов сохранения Кроме того, Плись показал, что для двух независимых переменных любое решение, имеющее только непрерывные первые производные, порождается характеристическими полосами '). ПРИЛОЖЕНИЕ 2 И ГЛАВЕ 11 ТЕОРИЯ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯэ) В гл. !! мы решали нехарактеристическую аадачу Коши для одного квазилинейного уравнения первого порядка. Полученная теорема существования является локальной; было показано только, что решение существует в некоторой окрестности начальной кривой. Далее, в 9 1, мы строили интегральные поверхности с ребром возврата; это показывает, что гладкие решения не обязательно существуют в целом. В этом приложении мы проведем дальнейшее исследование встречающихся разрывов, ограничивающих области существования.
Затем мы покажем, каким образом решения можно все-таки продолжить за эти особенности, интерпретируя дифференциальное уравнение как „закон сохранения". Рассмотрим квазилинейные уравнения вида и,=аи„, (1) где а = а (и) есть функция и. Особенности решений таких уравнений могут возникать из начальных данных, заданных на прямой ! = О, следующим образом. Согласно теории характеристик, всякое решение и постоянно на каждой характеристической кривой. Наклон характеристической кривой равен — 11а (и), и так как и постоянно на характеристической кривой, то этот наклон также постоянен, и все характеристические кривые являются прямыми линиями.
Из каждой точки х, на начальной прямой 1 = О выходит харакзеристическая кривая, наклон которой определяется значением и в точке хн Предположим, что на начальной прямой имеется пара точек х, и х, скажем х,к,х,, где заданные значения и, и из функции и удовлетворяют неравенству а(и,) ( а(иа). Тогда харантеристические кривые, выходящие из точек х, и хз, пересекутся в момент времени (х, — хз)1[а (и,) — а (и,)[.
') См. Плись [2). ') Более общие рассмотрения по этому важному вопросу см. в гл. Ч, $9 и гл. 71, 5 4, п. 9. 154 )трилоксение к к гл. !1 Так как и имеет различные значения на этих харакгернстпческих кривых, то это показывает, что решение и не может быть непрерывно продолжено для бдльших значений времени. Наличие особенностей можно также увидеть из следующей неявной формулы для решения уравнения (1) с начальным значением и(х, 0)= = о(х): и — ~р(х-+1а(и))= О.
Согласно теореме о неявной функции, и является гладкой функцией х и Г до тех пор, пока производная выражения и — р (х + га (и)) по и не обращается в нуль, т. е. га'<у' Ф 1, Это условие выполняется для достаточно малых Г. но нарушается, если 1 становится больше (если а' н е' имеют одинаковый знак, такое значение 1 положительно, в противном случае 1 отрицательно). Можно ожидать, что в той точке, где нарушается это условие, и имеет особенности. Приведенные выше примеры показывают, что решения квазили- нейных уравнений, вообще говоря, не существуют в целом. Но существует теория решений в целом для законов сохранения.
Закон сохранения для одной функции и есть уравнение вида — л1 иФх=у'(и(х,), хю() — Г(и(х,), х,,(), (2) г к, где у — заданная функция и, х и 1. Это уравнение выражает тот факт, что величина, описываемая функцией и н содержащаяся в отрезке (х,, хт), изменяется со скоростью. равной „потоку" функции г' от и через концы этого интервала. Такую форму имеют те законы физики, которые не принимают во внимание диссипативных процессов и таким образом выражают „свойство сохранения". Если и есть дифференцируемое решение закона сохранения (2), то этот закон сохранения выражается квазнлинейным дифференциальным уравнением (2') которое получается из (2) дифференцированием по х,, если положить затем х, = хт = х.
Однако, как мы увидим, уравнение (2) имеет также н разрывные решения. Допустив разрывные решении, мы покажем, что в классе разрывных решений закон сохранения (2) имеет решение в целом, тогда как мы видели, что дифференциальное уравнение (2') его не имеет. Теория законов сохранения 155 всюду, где оиа диффереицируема. Заставляя точки х, и х стремиться к точке разрыва с противоположных сторон, мы выводим (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
