Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если два решения системы (14) р, ч и рн ч, определены в достаточно малой окрестности и если В' с О, то р, +та, является комплексной аналитической функцией р + Ю; действительно, простые выкладки показывают, что удовлетворяются условия Коши — Римана. Поэтому преобразование, определяемое локальнымн параметрамн, приводящими к каноническому виду в любых двух окрестностях, конформно в пересечении этих окрестностей, Следовательно, область 6 вместе с параметрами, приводящими к каноническому виду в системе окрестностей, покрывающих 6, образует риманову поверхность (понятие римановой поверхности дано в работе Вейля (2), см.
также Курант (2)), на которой аналитические функции определяются как функции, аналитические по параметрам, приводящим к каноническому виду. Задача нахождения единой системы параметров Г, ч, приводящей к каноническому виду во всей областп 6, таким образом, эквивалентна задаче отыскания комплексной функции р + !ч, однозначно отображающей 6 в некоторую область плоскости р, ь н аналитической в только что описанном смысле.
Это как раз та задача, которую решает общая теорема об униформнзацин для плоских областей (см. данные выше ссылки), и, следовательно, существование такого отображения обеспечено. (глобальное приведение к каноническому виду уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя независимыми переменнымн нчеется в книге Векуа (1), гл. 11, й 7. — Прим. ред,) 166 Гл. ПД Дифференциальные уравнения выешик порядков Из принадлежности уравнения к определенному типу мы выведем вагнные свойства, которые не только подсказывают методы решения, но и дают критерии, позволяющие судить, разумно ли поставлены те или иные задачи.
Рис. 3. (1 б) кх„+уи =О является эллиптическим при у ) О и гиперболическим при у й О, так как ас — де=у. В области у < О уравнение (8), т. е. уравнение ),з+ур =О имеет два действительных корня я/(ь = '- 1ее — у; таким образом. функции у и ф удовлетворяют дифференциальным уравнениям ~„+ 1/ — у о,=о, ф„— У" — уф,=о. (17) Они имеют решения р = х + 2 )ее — у, ф = х — 2 1/ — у, С помощью преобразования ( = х+2 1/ — у, т,=х — 21/ — у (18) уравнение (1б) приводится к гиперболическому каноническому виду 2 и„„+уи „=4иг,+ ~ -(и,— аз) О (19) для у к.
О. Характеристическими кривыми являются параболы 1 у = — — (х — с)зг 4 Иногда заданное дифференциальное уравнение может быть различного типа в различных областях (смешанныи тип); например, уравцензе 6 А Канонический вид дифференциальных ооераторов 167 в частности, кривые р = сопз1 — это ветви парабол, имеющие поло- жительный наклон, кривые ф=сопз( — ветви, имеющие отрицатель- ный наклон (см. рис. 3), Для у ) 0 мы берем с=х, 9 = 2'у'у' (20) с помощью этого преобразования уравнение (16) приводится к эллиптическому каноническому виду и „+уи =им+и — — и =О. (21) 1 Аналогично, дифференциальное уравнение (22) Рнс. 4 и„к+хи =О, с=о(х, у)= — у+ф — х), ч) = ф (х, у) = — у — [ 1 — х) 3 — з 2 (23.
приводит уравнение (22) к каноническому виду и +хи „=9х[иг — 6 . (ие — и,)~ ([).о). (24) 1 'ч 6 (с — Ч) Характеристическими кривыми являются полукубические параболы у — с= + — (р' — х); 3 ветви, направленные вниз, дают кривые ~с=сопз1, ветви, направленные вверх,— кривые ф=сопз( (см. Рис. 4).
Для х 0 мы берем 3 2 ч)= 3 у+1 [сох ') Это уравнение представляет особый интерес для газовой динамики. Важная работа Трикоми [1[ в настоящее время привела к обширной литературе. См., например, Беро [5) и Жермен [1[. [См. также книгу Б ипз дзе А. В., Уравнения смешанного тина, Изд. АН СССР, М., 1959, где чмеется подробная библиография.— Прим. ред.] известное как „уравнение Трикоми" '), является эллиптическим при х ) 0 и гиперболическим при х ( О, так как ас — Ьт = х.' В полуплоскости х ( 0 преобразование 1б8 Гл.
Г!А Дифференииильные уравнения высших порядков и полагаем 2 2У' .+ч з (25) а= ' = — )гхз; 2! с помощью этого преобразования мы получаем канонический вид ".+ „,= 4 х1(и„+ и.,)+ —,и.~. 9 Г 1 (26) функции (25) удовлетворяют дифференциальным уравнениям Бельтрами в„= — (г хр, 1 а =- — рх, (27) 3. Канонический внд квазилннейных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Обобщим приведение к каноническому виду таким обрззом, чтобы охватить нелинейные, в частности, квазилинейные, дифференциальные уравнения'.
Если ввести сокращенные обозначения э=и,„, (=и,, Р=их, г)=и, У' г=и то квазилинейные дифференциальные операторы будут иметь внд Ь(и) = аг+ 2ба+ с(+ гг, (28) где а, Ь, с, г( — заданные функции величин х, у, и, р, д. Такой оператор снова называется эллипгпически.и, если ас — бг ) О, гиперболическим, если ис — Ьг < О, и параболическим, если иг — Ьз=О. Однако, так как и, Ь, с зависят от функции и(х, у), то тип оператора й в некоторой точке (х, у) также зависит от и н ее производных р н д как функций х и у. Например, дифференциальный оператор ии +и„является эллиптическим в области, где и(х, у) ) О, н гиперболическим там, где и(х, у) ( О. Аналогично, дифференциальные уравнения для двух семейств характеристик также зависят от и, и, следовательно, невозможно а рпог1 ввести два семейства характеристик в качестве координатных кривых для всех функций и одновременно.
После подстановки в г. конкретной функции и(х, у) и ее производных р и д мы можем обращаться с Л как с линейным оператором второго порядка. Бели оператор Ь гиперболический для этой функции и, то можно ввести характеристические переменные 8 =у(х, у), т)=ф(х, у), удовлетворяющие уравнениям (10)г р,— Хр,=о, ф„— )тф„=о, Э К Канонический вид дифференциальных операторов 169 Аналогично, в эллиптическом случае условие, заключающееся в том, что переменные р и а — характеристические параметры, выражается уравнениями ар~~+2Ьр р +срт= аа~~+ 2Ьо о +саз ар а +Ь(р„а„+р а )+ср а =О. Важнейшим шагом, позволяющим исключить зависимость от конкретной функции и в уравнениях (!0) и (29), является одновременное рассмотрение и, х, у как функций 1 и т1, вместо и как функции х и у. Если мы введем в качестве новых независимых переменных ь и т), то уравнение т'.(и)=0 и уравнения (10) или (29) перейдут в дифференциальные уравнения относительно и, х, у как функций ', н т!.
Чтобы получить эти уравнения, мы применим формулы дифференцирования обратных функций, выражая производные по х, у через производные по Е тр !)хг — — 9„, 0х = — с, р=и =с)(и,у — и ут), (30) Оуа = — т1, Ру„=(, р =и Г)(и Ха — и Х,), где есть якобиан нашего преобразования. Уравнения (10) и (29) тогда преобразуются в уравнения (10') у,+рсха=О, у,+К,х,=О аут — 2Ьу х + схе = аут — 2Ьу х + сха р р р т ау,у. — Ь (х,у, + у,х,)+ сх,х, = О. (29') В гиперболическом случае, когда надо рассматривать уравнения (10'), функции )т и ), зависят от и, р, с) и от х и у.
Если с помощью формул (30) заменить р и д их выражениями через производные по т и т1, то уравнения (10') дадут два соотношения между величинами х, у, и и их частными производными первого порядка по 1 и т). Как было сказано раньше, в отличие от линейного случая, этих двух уравнений недостаточно, чтобы независимо от и(х, у) определить кривые с = сопя!, т) = сопя!.
Они образуют теперь систему двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно трех функций и(с, 9), х(Е т)). у(В ц), т. е. недоопределенную систему, Это соображение подсказывает, что мы должны присоединить исходное дифференциальное уравнение второго порядка ).
(и) = О к нашим двум „характеристическим" уравнениям и получить таким образом систему трех дифференциальных уравнений для трех функций и, х, у переменных Е т). Геометрически это означает, что мы ч70 Гя ВД Дифференциальньче уравнения высших порядков ищем интегральную поверхность не в асимметрической форме и (х, у), а в параметрическом виде, через характеристические параметры Е, ч). С помощью преобразования дифференциального выражения (28) в гиперболическом случае легко получить из уравнения В[и) = 0 следующие уравнения, в которых присутствуют только смешанные вторые производные по Е и тб х„(у,,и, — - и;у,)+ у.„(и;х — и,х;)+ й + и.„(х;У вЂ” х,УЕ) = (хер — х У,)г, (31) 2Р Ел — ас или ич еч х.-, Уч й (хгу хчуч)г ч (32) х„ у, или, если мы будем считать числа х, у, и компонентами радиус- вектора х, хы(хг Х х,) =(хеу„— х уе)' 2 )ГЬ' — ас (33) В частности, если й=О, то мы получаем следующий замечательный результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
