Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Дальнейшие примеры см. в следующих параграфах и в гл, Ч и ЪЧ. Э 3. Линейные уривнснил с лосколнньыш коэффициентами 185 или дифференциальное уравнение !. [и[ = О, где коэффициенты а;» = а», — непрерывно дифференцируемые функц '!и независимых переменных х,, хг, ..., хл в некоторой области О, а точками заменены операторы ниже второго порядка относительно и. Оператор второго порядка снова называется главной частью дифференциального оиератора. Классификация дифференциальных операторов вида (1) определяется тем, как действует преобразование переменных [!=1с(х!, хг, ..., х ) (1=1, 2, ..., и) (2) на форму дифференциального оператора в некоторой точке Р; (хв) = =[хин хи, ..., х~). ОбозначаЯ д1!!дх» чеРез 1ы, полУчаем л л с! и = ~г 1»!и! и и, „= .«~г 1»!1!ли!.! + к!»~1 !» ! Ф»1 с!"» где точки снова заменяют члены, содержащие производные функции и не выпге первого порядка.
Преобразование (2) приводит оператор (1) к виду Л [и[ = ~ а!»и! ! + ..., (3) ;»! !» где коэффициенты ии» определяются формулами л и!» Х ~»!"!!а!к' (4) Таким образом, коэффициенты главной части Е [и) в точке (хе) преобразуются так же, как коэффициенты квадратичной формы л с!= ~ ас»у;у» (характеристической формы), если перемен!, »=! ные у, подвергаются аффинному линейному преобразованию л у! = Х г!гч)!. !=! Квадратичную форму такого типа всегда можно с помощью аффин- ного преобразования привести к каноническому виду л (~ = ~я~~ ~х т[г !=! где коэффициенты х! принимзют только значения +1, — 1 или О.
'[исло отрицательных коэффициентов, называемое индексом инерции, а тзкже число коэффициентов, обращающихся в нуль, являются аффинными инвариантами формы. Поэтому эти числа характеризуют дифференциальный оператор в точке Ре, 1йб Гл. !1А Дилйференциальные !!равнения выаиах порядков хлифферекциалькмй оператор называется эллиптическая! в точке Рэ, если все значения х„ равны либо только +1, либо только — 1. Он называется „собственно гиперболическим", или просто гиперболическим, если все значения х, имеют один знак, например, положительны, за исключением одного, например х„, которое отрицательно, Если несколько значений х, положительны и несколько отрицательны, то оператор называется ультрпгиперболическим. Если форма Я сингулярная, т.
е. один или несколько коэффициентов х! обращаются в нуль, то дифференциальное уравнение называется параболическим. Если дифференциальный оператор в точке Рэ эллиптический, то с помощью соответствующего линейного преобразования дифференциальное уравнение в этой точке может быть приведено к виду и, х + их» + ... + и» х + ... = О. Аналогично, если уравнение !э лн гиперболическое, то его можно преобразовать к виду их,х, + их л + + их„,х„, — ил„» + В общем случае, однако, невозможно нзйтн преобразование, приводящее уравнение к одному из этих канонических видов ао всей области '). Однако, если коэффициенты ага уравнения (1) постоянны, то канонический вид для всей области можно получить с помощью одного аффинного преобразования, переводящего переменные х! в (р 1! = ~л г! х .
л=! Это преобразование, в соответствии с формулой (5), приводит характеристическую форму к каноническому виду. Если мы опять обо- ') Если, как а 4 1, мы хотин, чтобы э преобраэованнов! операторе я Л (и) = ~~~„ а! и, ! + ... л!'я отсутствовали внедиагоиальные элементы матрицы (а,э), то на и функций г! 1 мы должны наложить — п(п — !) условий (см. формулу (4) ) 2 л а!а!я!!!» = О (! чь а). 1,л=! 1 Если — п(п — !) > п, т. е. и > 3, то эта система уравнений — переопреде- 2 ленная, и поэтому, вообще говоря, ие разрешима, В случае и = 3 все еще можно исключить внедизгональные члены, но иа элементы главной диагонали нельзя уже наложить условие равенства вх между собой. б 3. Линейные уравнения е лоетояняыэш яоэффлцлелтаел 187 значим новые независимые переменные через х,, ха, ..., х„и если уравнение (1) однородное, то оио примет вид л ~~~ х;и„„+,', Ь!ил + си = О, чл т! ' ' е! где х„равны 1, — 1 или О.
В случзе постоянных коэффициентов б! и с также постоянны н уравнение можно привести к еще более простому виду посредством преобразования функции и; при этом исключаются первые производные и по тем переменным хи для которых хе+к О. )йы исключим параболический случай и введем функцию о, отличающуюся от и экспоненциальным множителем: ! \л б! и=оехр — -- т.— 'х 2 лл! ч! т=! (7) Тогда дифференциальный оператоо примет вид л л )т л Ци)=ЕХр — — т — Х, т тнОяя + С вЂ” — 1 — и . (8) !=! т=! с=! Следовательно, непараболические линейные дифференциальные уравнения с постоянными тсоэффициентами можно свести к дифференциальным ураэнениям вида л 'л ~г х,о,, +ро=Дх!, х, ..., хл), !=1 где эе — заданная функция независимых переменных, а р — некоторая постоянная. Таким образом, асе эллиптические линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут был!а приведены н виду до+ ро= 7(хэ, х,, ..., хл), а есе гиперболические линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть ,приведены к аиду йо — он+ ро= 7(хо хэ, ....
хл, б). (Мы здесь рассматриваем п+ ! независимых переменных хо, х,, ..., х„ и полагаем х„= б, а оператор Лапласа а строится только по переменным х: (хо . " хл) ) 2. Фундаментальные решения уравнений второго порядка. .1(ля всех линейных дифференциальных уравнений, эллиптических 188 Гя. 111. Диф4еренниавьные уравнения высьиих наряднав или гиперболических, независимо от их порядка и от того, постоянны ли их коэффициенты, важную роль играют „фундаментальные решения", имеющие определенные особенности; это будет видно в следующих главах ').
Здесь мы только коротко остановимся на случае эллиптического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. рассмотрим уравнение Л[и[=йи+ри=О н будем искать фундаментальные решения, зависящие только от расстояния г = У ~ [хе †,',)я от точки х до точки-параметра Приводя оператор Лапласа к полярным координатам, получаем [см. т. 1, стр.
200) [10) и„+ и,+ри=О. Как легко проверить, функция св(г) = — ' и, удовлетворяет такому же уравнению, где и — 1 заменено на и+1: тв„+ — тв, + рш = О. и+1 [11) Таким обрззом, обозначая неизвестную функцию снова через и, мы получаем фундаментальные решения и для любого и с помощью рекуррентной формулы, если только известны фундаментальные решения и для и = 2 и и = 3; они определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений ии + — и' + ри = 0 г ие+ — и'+ ри = 0 г соответственно. Для р = О, т. е. для уравнения Лапласа, решения с точностью до произвольного постоянного множителя равны и = !оя'!1г и и = !1г. Таким образом, мы получаем для всех и )~ 3 фундаментальные решения и = сопя! гз-в.
При р~О, например при р=ые, мы получаем для и=1 в комплексных обозначениях и в!ве ') См„в частности, гл. Ч!, !) 15, а 3. Линейные уравнения с аосголннвеча коэффицаснгама 189 Отсюда для и — 3 Е(вс и = г'в— г для п=б 2 (1 1 1! и= — в ~ — — —.— ]е ( ( се св се ) и т. д. Таким образом, все решения для нечетных и выражаются через тригонометрические функции (или гиперболические, если ше с,. 0).
Для четных и мы имеем при и = 2 и = а/с(вг)+ ~~Ис(вг)+ регулярная функция, где Уо и Ыс = (2(я).Ус(шг) 1оц г+ ... — соответственно функции Г>есселя и Неймана порядка нуль, а а, р — постоянные. Если в качестве а выбран нуль, то для и = 4 мы находим сингулярное решение и=, + — ес(шг)1одг+ .... е'с (вг) и г' г (функция ос(вг)ге регулярна при с =0.) Это решение мы нззываем фундаментальным решением.
Легко получить следующее общее утверждение: для нечетных и ) 1 мы имеем сингулярное („фундаментальное") решение У и= — + гв-' а для четных— и = —, + ]е' Шо е + У сс -2 где точками заменены регулярные члены, а У и Ф' — регулярные решения уравнений !. ](2] = и ]Ф'] = О. Соответствующие соотношения справедливы тзкже для р 'О, т. е. для мнимых в. В случае гиперболического дифференциального уравнения 1.]и]=им — Ьи — ри=О (х=хо ..., х„) (12) совершенно аналогичные рассуждения приводят к следующему результату. Мы отыскиваем „фундаментальные решения" уравнения (!2), зависящие только от „гиперболического расстояния' в (1 — т)2 — ~. (х„— 1„)2 1 от точки 1, х до точки-параметра с, ", в пространстве т=л+1 измерений.
Для функции и(г) иы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение л — 1 ин + -- — — и' — ри = О. г 190 Гл !П, Даффвренчаальныв уравнения высша» порядков Как и прежде, фундаментальные решения, обладающие особенностью на нонусе с =О, имеют вид, описанный выше при изучении эллиптического случая. Главное отличие состоит в том, что особенность тенер~ сосредоточена на целом конусе и что вне конуса функция и не определена, или может быть доопределена тождественным нулем, тогда как в эллиптическом случае особенность имеется только в точке х = ";. Значение таких фундаментальных решений (которые можно изменять с помощью умножения на константу и добавления любо~о "регулврпого решения уравнения Е (и) = О) станет понятно в гл.
Ъ'1. В т. 1 мы уже встречались с такими решениями, а именно, с функцией Грина (см. т. 1, гл. Ъ', 9 14). Здесь мы отметим, что эти фундаиентальные решения и(х; ';) как функции точки х и точки-параметра ! обладают следующим основным свойством. В эллиптическом случае интеграл о(х)= ) ) г" ((о ..,, в„)и(х, с)Л, ... ~Уса, о взятый по области О, содержащей точку х, удовлетворяет с некоторой константой с уравнению 11уассона Е (о)= сГ(х).
В частности, для и = 3 интеграл со=) ) ) у(г) —.— Фх, ... с(х„ удовлетворяет неоднородному „приведенному волновому уравнению" Ло+ изо У. В гиперболическом случае можно доказать, что функция о(х) также удовлетворяет дифференциальному уравнению, если область интегрирования 0 заполняет характеристический конус, исходящий из точки х в пространстве '. (см, гл. 71, 9 15). 3.
Плоские волны. Возвращаясь к уравнениям произвольного порядка и, мы снова запишем дифференциальное уравнение с и независимыми переменными хп ..., х„в символическом виде (Р О,.+Рл,О,.+ ... +Р ) и+„г =О, где Р— однородный полипом с постоянными коэффициентами сте( пени / относительно символов О, = д1дх, (1= 1, ..., л), а у' — заданная функция этих независимых переменных, Нам достато шо З 8. Линейные ураененпя с ностонннлппп ноэффннпентанп 191 рассмотреть однородное уравнение '), т. е, считать, что у =-- О. Неоднородное уравнение тогда уже исследуется просто (см., например, й 4). Имеет место следующее основное свойство. При любом числе независимых переменных однородное у.разнение (13) обладает решениями в виде показательных функций е'аю, где (ах)=а,х,+азха+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
