Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Например, рассмотрим такую задачу: для ~ ) О найти ограниченное решение и(х, у. л; 8) уравнения и „+и +н„— и,=О, которое при 1 = О совпадает с заданной непрерывной функцией фтх, у, 3), э 4. Задача Каиса Решение, как легко видеть, определяется формулой 1 и(х у з. 1) 1 ~ ~ ф(1 ч1 г) е-пионе-е1'~-гч-чи~ ы-га1с(о,4ч)Д вЂ” й(у.;,7)з Ц 1 (4) Другая задача с начальными условиями для уравнения теплопроводности относится к замкнутому одномерному теплопроводящему телу (например, проволочному кольцу) длины 1. В этом случае задача с начальными условиями для уравнения и — иг = О ставится так же, как и раньше. но вводится дополнптельное требование, чтобы и функция ф(х), и решение и (х, г) были периодическими функциями х с периодом 1.
С помощью суперпозиции решений ехр ( — 4яачЧ'1 (а„соз 2кчх+ д, гйп 2ячх) мы находим решение вида и(х, 4) = — '+ ~ч", (а,соз 2ичх+д„з(п 2пчх) е-""' 2 в предположении, что начальная функция ф(х) разлагается в равно- мерно сходящийся ряд Фурье ф(х) = — + ~~, (и„соя 2ичх+Ь, з(п 2кчх). 2 Выражая коэффициенты Фурье через интегралы и меняя порядок суммирования и интегрирования (что безусловно допустимо при 4 ) 0), мы полччаем 1 и ( , о= 1 ч(о 1.ь2 а -'""' 2 ~ — о(м.
о =1 С другой стороны, мы можем получить явное решение нашей зада ич совсем другим способом, если вспомним, что функция (6) является периодическим решением уравнения теплопроводности с периодом 1. Рассуждение, аналогичное приведенному выше, показывает, что решение рассматриваемой задачи с начальными условиями определяется формулой (7) 204 Гл.
П/. Дифференциальные уравнения высших порядков Сравнивая зти два решения и применяя „основную лемму" ') вариационного исчисления, мы в силу произвольности функции ф(1) получаем тождество .э 1 ш е "ч сов 2птх == ~'„е "Ы йт. — а УГ е -св (8) Это тождество было получено раньше (т. 1, стр. 70) для частного случая х=О и называлось формулой преобразования эллиптической тета-функции; здесь оно снова получено в связи с уравнением теплопроводности. Вывод формулы (8) опирается на тот факт, что два решения (5) и (7) тождественно совпадают. Чтобы доказать единственность решения задачи с начальными условиями, мы покажем, что решение, соответствующее начальной функции, равной нулю, т.
е. разность между двумя решениями, соответствующими одинаковым начальным значениям, тождественно равно нулю. Действительно, умножая уравнение и „. — и, = 0 на и, интегрируя яо нашему интервалу и учитывая периодичность, мы получаем 1 1 — — ~ иЧх+ ~ и~йх = 0 и, следовательно, — ~ и'йх ..О.
а г аг 3 е Так как при 1=0 тождественно выполняется равенство и=О, то функция и тождественно равна нулю и при 1) Ое). 2. Задача Коши для волнового уравнения. Мы уже получили решение задачи Коши для волнового уравнения в одномерном случае (см. гл. 1, 8 7, п. 1), Теперь мы найдем имеющее важное значение решение задачи Коши для волнового уравнения и, +и +и„=ии (9) с, т1, ч — координаты точки-параметра. ') См.
т. 1, стр. 164. ') Этот метод токазательства единственности в значительно более общем виде будет играть важную роль а дальнейшем (гл. т', й 4 и гл. т'1, б 8). в трехмерном пространстве, исходя из ранее найденных решений вида г'(г — Г)/г (с произвольной функцией Р). Здесь г определяется равенством ' = (х —:)'+ (у — )'+ (е — ()' В 4. Задача Коши 20б Пусть Р,(ь) — неотрицательная функция параметра Х, обращающаяся в пучь вне интервала — е ч. ), ( е и такая, что Ясно, что полученнгя суперпозицией сферических волн функция где да — элемент поверхности сферы й: а'+ р'+ (з = 1, а М, )ф)— среднее значение функции ф на поверхности сферы радиуса г с центром в точке (х, у, г). Однако легче непосредственно проверить, что функция и, заданная формулой (10), является решением волнового уравнения, чем обосновать этот предельный переход.
Здесь мы опускаем эту проверку, так как она будет подробно проделана в более общем случае в гл. Ч1, Э 12. Очевидно, что функция и удовлетворяет начальным условиям и(х, у, г; 0)=0, и,(х, у, г; 0)=4 (х, у, г). Учитывая, что и, так же, как и и, есть решение волнового уравне- ния, мы легко получаем, что фунниия . =рм,)ср)+,', гм,)ф) (11) является решением задачи Коши с заданными начальными зна- чениями и(х, у, г; 0)=ф(х, у, г), и,(х, у, г; 0)=р(х, у, г). 3.
Принцип Дюамеля. Неоднородные уравнения. Запаздывающие потенциалы. Если решена задача Коши для однородного линейного дифференциального уравнения, такого, как волновое уравнение, то все решения соответствующего неоднородного дифференциального уравнения можно найти с помощью простого и общего „принципа Дюамеля', который является аналогом хорошо известного метода вариации постоянных или метода импульсов для обыкновенных где ф(Е ч), г) — произвольная функция, является решением этого волнового уравнения.
Переходя к пределу под знаком интеграла при е — >О, мы получим выражение 4в 1 1'р (х+ а' ~ + Ф' г+ ГТ) с(ь1 = ГМ~ )ср), (10) Юб Гл. Г!Е Дифференциальные сравнения высших лоулдлое дифференциальных уравнений, Мы сначала сформулируем этот принцип (который будет встречаться н дальше в этом томе) и затем применим его к волновому уравнению. Рассмотрим дифференциальное уравнение для некоторой функции и(х,, х,...,, х„; 1), или, короче, и(х, (): ин — Е[и[=д (х, 1). (12) Здесь Š— произвольный линейный дифференциальный оператор, который может содержать производную ио но не содержит производных по Г более высокого порядка.
В приложениях правая часть д(х, 1) представляет внешние силы, действующие на систему. Нужно решить следующую задачу Коши: найти решение и дифференциального уравнения (12), которое при 1 = 0 удовлетворяет начальным условиям и (х, 0) = О, и, (х, 0) = О. (12') ин — Е [и[ = 0, (13) такое, что для 1=-. и(х, ч)=0, и,(х, т)=д(х, г). (13') Это решение мы продолжаем тождественным нулем прн ( (ч; оно соответствует действию на покоящуюся при Г (ч систему мгновенного импульса силы д(х, т), Мы обозначим это решение задачи (13), (13'), зависящее от параметра -., через с:(х, г; т); его можно определить независимо от эвристических соображений.
Мы утверждаем теперь, что функция и(х, () = ~ р(х, (; т) дч, о (14) полученная с иомогцью суаериоэиции импульсов и, являелгся решением задачи Коши для неоднородного ди44еренцггального уравнения (12) с начальными условиями (12'). К решению этой задачи приводит следующее рассуждение. Мы предполагаем, что для некоторого фиксированного ч правая часть уравнения (12) есть функция д„обращающаяся в нуль всюду.
кроме малого интервала ч — г. г (т, для которого 1 д,(х, 1)г(г'=д(х, ч). Мы формально перейдем к пределу нри а — >О, предварительно проинтегрировав дифференциальное уравнение по 1 в пределах от ч — е до т. Таким образом мы придем к следующей задаче Коши для соответствующего однородного дифференциального уравнения; для заданного значения параметра -. найти прн 1 )~ .
решение и(х, 1) уравнения 2от я 4. Задача Кои!и Это утверждение можно легко проверить, Так как и,= ) !р,(х, 4; т) гй, о ! иа=р,(х, (; ()+Хри(х, г; т)дт, о т, ) и) = ) У. ) р) г( ! и так как и!(х, г; 4)=д(х, г), функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению (12) и начальным условиям (12'), Теперь мы применим этот обшип результат к волновому уравнешно в трехмерном пространстве. Согласно п. 2, мы имеем ср(х, у. г, 4; т)=(( — т) М!, )д(х, у, г; т)).
Очеш!дно, что решением задачи Коши для волнового уравнения ин — Ьи =д(х, у, е; () с начальными условиями а(х, у, г; 0)=0, а,(х, у, г; 0)=0 является функция (-, у,; 4)= Х(! — т) М!, )4г(х, у, е; т)) !1 = о ! =.Г '" ) а(х, у г; ( — )) рт= о ! =чв 1т( 3'а(х+т.,у+ ~ +тТ 4 — т)"-. глс а, р, Т вЂ” компоненты вектора единичной длины. Вводя снова вместо полярных координат прямоугольные координаты с = х+ та, '! = У+Ф ( = г+тТ, мы имеем ав Х.l Х и а!'о(т) !!ч (1б) га! где и = )/(х — е)т+(у — т))о+(г — ч)т. Это выражение и называется запаздывающи.и потенииаловц действительно, оно образовано так же, как потенциал масс, распределенных в пространстве с плот- 208 Рл. ВА Дифференциальные уравненил вне~них порядков пастью К, изменяющейся со временем (см. гл. 1Ч, 0 1).
Однако эту плотность надо брать не в момент Г, а в более ранний момент à — г; разность г — это интервал времени, за который сигнал, распространяющийся со скоростью 1, проходит расстояние от центра сферы х, у, л до точки ('„ь), ч). За. Принцип Дюамеля для систем первого порядка. Переход от решения задачи Коши для однородного уравнения к решению неоднородного уравнения является особенно простым и полезным, котла он применяется к системам первого порядка, записанным в матричном виде (см. э 2, п. 3, уравнение (4а)). Предположим, что система записана в векторной форме и ь(и) = и,+ ~~'., А'и,+Ви=д(х, Г), (13 а) где и — вектор с и компонентами, А',  — заданные матрицы АХ А, а д — заданный вектор. Предположим, что функция и==у(х, П т), зависящая от параметра т, является при Г ) т решением однородного уравнения 1.[и)=-0, удовлетворяющим начальным условиям и(х, Г)=д(х, е) при г=".; тогда и(х, Г)= ~ ~р(х, П т) Й о есть решение уравнения Е(и]=К(х, Г) с начальным условием и(х, 0) =О.
Доказательство очевидно и может быть опущено. и,„+ и„ = ии (16) можно сразу получить из решения соответствующей задачи в трехмерном пространстве с помощью следующего общего метода, который Адамар назвал методом слусна. (См. также гл. Ч1, Э 12.) Мы будем рассматривать уравнение (16) как частный случай волнового уравнения в трехмерном пространстве, когда ни начальные данные, ни само решение не зависят от третьей пространственной переменной з. Таким образом мы „спускеемся" от трех к двум переменным. Это рассуждение сразу лает искомое решение, если мы в формуле (10) из п. 2 предположим, что функция ьр(х, у, г)=ср(х, у) 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
