Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Чтобы доказать это, можно ввести новые независимые переменные. В качестве таких переменных выоираются о и Л,, ..., Л„, — внутренние координаты на поверхностях т=сопз1. Тогда все производные функции и порядка ш легко выражаются как комбинации т-й „выводящей" производной (д~/ду") и и членов, содергкащих не более и — 1 дифференцирований по тч которые поэтому могут быть определены из начальных данных. Легко видеть, что тогда уравнение принимает вид где точками заменены члены, которые на С выражаются через начзльные данные.
Это уравнение относительно и,,„ имеет едвнственпое решение тогда и только тогда, когда Я не обращается в нуль. Если (;1 = О на С, то уравнение дает некоторое условие на начальные данные. Что же касается определения гнперболичности, то оно использует характеристическую форму (;1 н остается таким же, как в п.З. 1об Гд /П. Дифференциальные уравнения выеищх вор»днов 6, Дополнительные замечания. Чтобы получить правильное обобщение на случай многих независимых иеремениых, мы ие можем просто повторить определение гиперболичности из п. 2. Однако достаточно потребовать, чтобы существовало 1е линейно независимых комбинаций уравнений системы, таких, что каждая из этих комбинаций содержит только внутренние производные неизвестных функций и на 1и — 1)-мерной поверхности С.
Эта важная форма опрег деления будет подробно рассмотрена позже. в гл. У1, й 3. Второе замечание касается нвазнлинейных систем уравнений. Все основные утверждения настоящего параграфа остаются справедливыми для квазилинейных уравнений. Условие на характеристики зависит тогда от значений самого вектора и на С, и поэтому нельзя определить характеристики независимо от значений рассматриваемого вектора и.
Возникающее отсюда усложнение не существенно для опрелеления характеристик, но оно становится существенным дальше, в гл. ьг и Н1, где строится решение задачи Коши. Наконец, надо подчеркнуть, что между указанными выше эллиптическим и гиперболическим типами возможны промежуточные типы. Например, для двух независимых переменных мы можем иметь д действительных характеристик и р пар сопряженных комплексных характеристик, тзк что д+2р=я. До сих пор не много сделано для исследования этих промежуточных типов; по-видимому, они не встречаются в задачах математической физики.
Для многих независимых переменных примером такого промежуточного типа является „ультрагиперболическое" уравнение и, +. +и,» =и т+ ...+и относительно функции 2л переменных х и у 1см. гл. У1, й 16), 6. Примеры. Уравнения Максвелла и Дирака. Читатель легко может убедиться, что волновое уравнение — гиперболическое, уравнение Лапласа — эллиптическое, уравнения Коши — Римана и — о = О, х е и + о = О составляют эллиптическую систему, уравнения и — о = О, х у и — ох = О дают гиперболическую систему, а система их = о, и =и — параболическая. у х Мы приведем следующие дополнительные примеры эллиптических уравнений. Во-первых, уравнение е д'и Ьби=О, или уз,— =О, дхе дхе имеющее характеристическую форму Э 2.
Общая класситрикаяия и «арактеристики 181 н, во-вторых, дифференциальное уравнение '~'„д' =О. ,, дх,. имеющее характеристическую форму к ,4 с=у ' Примером параболического уравнения может служить уравнение ит=бби для функции а+1 независимых переменных с выделенной временнбй т л у пеРеменной ха — 1. Здесь хаРактеРистическаЯ фоРма ~ ~ ~т~ вы!=! рожденная, так как она не содержит переменной ра.
Оператор ~ -')~ дт ут де у Ь вЂ” — т) ~Ь вЂ” 2 дст~ и=ЬЬи — 3 стаут+2иин является гиперболическим, так как его характеристическая форма, содержащая переменные ун ..., р„, ста=кл — ~„р тт очевидно, удовлетворяет соответствующим требованиям.
С другой стороны, оператор представляет собой оператор промежуточного типа; он не эллипти- ческий, не параболический и не гиперболический, так как форма = Хр', имеет два, а не четыре действительных корня к при фиксированных значениях чуы ..., сея. Следующий пример системы первого порядка дает система диф- ференциальных уравнений Бельтрами: 1ьти — Ьо — со =О, х х у Ви +ао„+до =О, где матрица Гл.
IП. Дззфференизза,зьньзе ировнення вышних порядков предполагается положительно определенной. Здесь соответствующая характеристическая форма имеет вид )з зуз дрз+ с9з гз(зр) = ~ = — )р(а)з",+2дзРРг+сР~~) ау+~уз В частном случае, когда 1з'=1, а =с= 1, Ь=О (система Коши— Римана), мы имеем 9(зз) = — (ргз+зузг). Система дифференциальных уравнений Максвелла гиперболическая. В простейшем случае (для взкуума) зти уравнения имеют аид 6,— го1зз=О, зйз+го16=0, если скорость света принята за единицу; здесь 6=(сгп иг, из)— вектор электрического поля, а ьт = (из, ив, ив) — вектор магнитного поля; вместо четвертой независимой переменной (временнбй перемен- ной) мы пишем С.
Записанные в координатной форме, уравнения имеют вид ди, ди, диз ди, диз диз дг дг ду ' дг дг ду ди, диь ди, дн, диз ди, дг дх дг ' дг дх дг ' диз ди, диз ди, ди, ди, дг ду дх ' дг ду дх ' (8) Читатель может ле~ко убедиться в том, что характеристическая форма имеет вид ') Эта теорема имеет аналог для характеристических форм систем высших порядков. с.г г гтг Уравнение Я=О представляет собой, по существу, характеристическое соотношение для волнового уравнения.
Это отражает тот факт, что если выделить любую компоненту и, то она будет удовлетворять волновому уравненао, и что справедливз следующая теорема. Предположим, что иэ данной системы дифференциальных уравнений с характеристической формой зг с помоигью исключения неизвестных получено одно уравнение; тогда характеристическая форма этого одного уравнения есть множитель формы г,"з').
Доказательство предоставляется читателю. Строго говоря, уравнения Максвелла, имеющие кратные характеристики, не удовлетворяют данному выше узкому определению гиперполич1зости. Дальнейшее обобщение понятия гнперболичности устранит этот недостаток. З 2. Общая класси4икация и характеристики 183 Характеристическое уравнение, соответствующее длфференлиальны.и уравнениям Дирака, аналогично характеристическому уравнению для уравнениИ Максвелла. Уравнения Дирака относятся к системе четырех комплекснозначпых функций и=(и,, ию из, ик) четырех переменных хп хю хз, хя (где хя — — Е). Чтобы просто записать пх, мы введем следующие матрицы 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Е 0 О 1 О 0 з Π— К О 0 Е 0 0 0 1 0 0 О, 0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 1 0 — 1 0 0 О О О ' ' ΠΠ— 1 О 0 0 0 — 1 0 — 1 0 О. 1 0 0 0 0,0' 0 0 0 0 — 1 0 О 0 0 — 1 Уравнения тогда примут вид а» ~ — — ая) сс — рди = 0; «~ дх„ здесь вектор (а,, а,, аз) пропорционален магнитному потенциалу, — ая — электрическому потенциалу, а б — массе покоя.
Очевидно, характеристический определитель имеет вид 4 Юй)= Хаар =(~ +4+~. т4)~, т. е. представляет собой форму четвертой степени относительно переменных ры сиз, оз, кя. Таким образом, снова характеристические многообразия те же, что и у волнового уравнения. Наконец, с помощью простых вычислений мы установим эквивалентность определений характеристик для одного уравнения высшего порядка и для системы первого порядка, полученноИ из этого урав- 184 Гл. Пб Дифференциальные иравнения вы!шик нарядное пения. Если мы заменим дифференциальное уравнение второго по- рядка а!»и,к + ... =0 !»-! !» системой дифференциальных уравнений первого порядка Х др а,» — + ... =О.
! дх» г, »=1 др др„ дх„дх! (1=1, 2, ..., и — 1), то для этой системы мы получим характеристическое уравнение ~~'.;а,»р» ~ а!»Р» ... ~~~~ а„ , »!~» ~~'.;а„»р» рн о ... о 0 т О р2 0 о ... ~„— р„, т. е. ( — 1)" ~„ ~ а!»р!!р» = О, !, »=! ~ 3. Линейные ди48деренциильные уравнения с постоянными ноэ4фициентими Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (и другие, которые сводятся к этому классу) допускают более полное исследование, чем в об!цем случае. Кроме того, так как классификация уравнений в некоторой точке Р определяется только локальными значениями коэффициентов, то для того, чтобы выделять различные типы уравнений, достаточно рассмотреть случай постоянных коэффициентов.
Действительно, в окрестности точки Р линейную или квззилинейную систему можно локально аппроксимировать линейной системой с постоянными коэффициентами, если заменить значения коэффициентов в окрестности точки Р их значениями в точке Р. 1. Канонический ввд и классификация уравнений второго порядка, Рассмотрим оператор второго порядка !! )-)а)= Х !....„+" (1) которое совпадает с характеристическим уравнением для одного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
