Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 33
Текст из файла (страница 33)
к простому каноническому виду, вводя новые независимые переменные [=ф(х, у), й=ф(х, у). (4) Обозначив через и(1, я) функцию, в которую перейдет при этом и(х, у), мы получим соотношения и =иаф„+и ф„, и =иру +и ф, 2 2 и„н = иц9в+ 2и! вг,фн+ и ф +..., иву = иггфн9г+ иг, Инф, + 9,ф.) + иччфнфг+ и„„= ицфг+ 2и! ф ф + и, фг+ (Здесь опять точки заменяют члены, не содержащие вторых произ- водных функции и.) Таким образом, дифференциальный оператор (1) принимает вид А [и] = иип+ 2риз + [и,, (б) где и аф„+ 2Ьфвф + сфг, р=аф ф„+Ь(э„ф„-]-э ф„)+сф ф, Т= афн+2Ьф„ф +сфг.
Кроме того, а, Ь, с и а, р, Т связаны соотношением аТ вЂ” ра = (ас — ЬЯ) (ф„ф — э„ф„)а (6) 1. Эллиптический, гиперболический и параболический канонические виды. Смешанные типы. Линейный дифференциальный оператор второго порядка для функции и(х, у) задается формулой Е [и] = пи + 2Ьи„+ си (1) предполагается, что коэффициенты а, Ь, с — непрерывно дифференцируемые функции х и у, не обращающиеся одновременно в нуль в некоторой области 6. Рассмотрим оператор Е[и]+и(х, у, и, и„, ия)=Е[и]+..., (2) где дифференциальное выражение д(х, у, и, и, и ), не обязательно линейное, не содержит вторых производных.
Наша цель — привести дифференциальный оператор (2) или соответствующее дифференциальное уравнение Е[и]+ ... =0 з !. Квнонннеехнд вид дифференциальных онерагоров 161 и тождеством для „характеристической квадратичной формы" (;> (1, т) = иР+ 2Ит -+ слет = а>Р+ 2рЛ[ь+ Пха, где переменные 1, ле и Л, ]х в фиксированной точке х, у получаются друг из друга с помощью линейного преобразования 1=)р +[нее, ле=Лбх+рф . Функции у, у, определяющие преобразование (4), находятся в нашем распоряжении, так что мы можем наложить два условия на преоб- разованные коэффициенты а, р, [, стремясь к тому, чтобы преобра- зованное уравнение (5) имело простой канонический вид.
Мы рассмотрим следующие системы условий: (!) а=[, р = О, (П) а= — [, р=О (или а=[=0), (РП) Р=.(=О. Какие из этих условий могут выполняться (конечно, всегда предпо- лагается, что преобразования действительны), зависит от алгебраи- ческого характера формы Я(1, и), или, говоря геометрически, от характера кривой второго порядка (,!(1, лг) = 1 на плоскости 1, иг при фиксированных х, у. Эта кривая может быть эллипсом, гипер- болой или параболой.
Соответственно этому в точке х, у мы назы- ваем оператор Ь (1) эллиптическим, если ис — дз ) О, (П) гиперболическим, если ис — Ьз ( О, (1П) параболическим, если ас — Ьз = О. Соответствующие канонические формы для дифференциального оператора имеют вид (1) х [и] — (иц+ и )+ Л[и! =а(иц — и,)+ или (П) Л[и]=2ри,,+ А[.] = ..ц+ (П!) а канонические формы дифференциальных уравнений таковы (!) им+и + ... =О, иц — и,„+ ...
=0 или (П) иеч+ ... =0 и -[-... (! П) 162 Гж Пй Дифференциальные уравнения высших порядков При финсированных х, у такой канонический вид всегда может быть получен просто с помощью линейного преобразования, которое приводит Я к соответствующей канонической форме. Однако, предполагая, что оператор ь имеет один и тот же тип во всех точках некоторой области О, мы хотим найти функции э и ф, которые приводили бы т'. (и) к каноническому виду в каждой шавке О. Возможность такого приведения зависит от того, разрешимы ли некоторые системы линейных дифференциальных уразнениИ с частными произволными первого порядка. Ьез ограничения общности мы можем предполагать, что а -ь О всюду в области ') О; в противном случае либо вь|полняется эквивалентное предположение, что с Л О, либо это~о можно добиться заменой переменных х = х'+ у', у = х' — у'.
Чтобы определить функции р и ф, задающие преобразование, во всей области О, мы предположим сначала, что Л(и) — оператор гиперболического типа в О, и будем считать, что новые коэффзциенты должны удовлетворять условию и=-Т=О. Тогла уравнения (6) приводят к квадратному уравнению (',~ = а)у+ 2дйр+ срт = О (8) для отношения й й производных рх/рт и ф Ъ . Если оператор Л(и) — гиперболический з О, то ас — Ьт(О, и тогда уравнение (8) имеет два различных действительных корня )ч(р, и )тГрм Так как а Ф О, мы можем предположить, что Р1= рз= ( тогда уравнение (8) определяет величины ),, н )т в области О как непрерывно дифференцируемь1е функции х и у.
Таким образом, в гиперболическом случае мы получаем канонический вид Риал+ ... = О, (9) причем функции ., и ф определяются из дифференциальных уравнениИ ф,— )тф,=о. () о) Действительно, эти два линейных олнородных дифференциальных уравнения с частными производными первого порядка дают два семейства кривых у= сопя! и ф = сопзо которые можно также ~) Здесь предполагается, что Π— достаточно малан окрестность некоторой фиксированной точки, — Прим. ред. С Е Канонический вид дифференциальных операторов определить как семейства решений обыкновенных дифференциальных уравнений у+Л,=О, у+Л,=О, пли ау' — 2ду'+ с = О, ~де у рассматривается как функция х на кривой этого семейства.
Соотношение Л, — ) г = — ')с дг — ас показывает, что кривые этих двух семейств пе могут касаться друг друга ни в какой точке области 6 и что у„ф„— к ф„+ О. Если г = ( = О, то из уравнения (7) следует, что )3 ть О. Кривые ( = сь(х, у) = сопз1 н тс = ф(х, у) = сопз1 называются харагстеристическимсг кривыми линейного гиперболического дифференциального оператора Е(и).
Так как можно разделить уравнение (9) на р, справедливо следующее утверждение. Если оператор Е(и) гиперболичесссии, т. е. ас — дг ч. О, то дифференциальное уравнение второго порядка (3) можно привести к каноническому виду иы+ ... =О. (1 1) вводя в качестве координатных кривых два семейства хариктеристических кривых С =сопз1 и т)=сопз1. Если ас — дг) О, то оператор (2) — эллиптический в 6.
В этом случае квадратное уравнение (8) не имеет действительных корней, но оно имеет два комплексно сопряженных корня Л, и Лг которые являются непрерывными комплекснозначными функциями действительных переменных х н у. Никакое семейство действительных кривых не удовлетворяет уравнениям и="(=О, т. е. не существует характеристических кривых. Однако, если и, д, с — аналитические функции х, у н если мы предположим, что р и ф — аналитические функции, то мы можем рассмотреть дифференциальные уравнения (1О) для комплексных х и у и, так же как и раньше, привести их к новым переменным 1 и т), которые становятся тогда комплексно сопряженными. Вводя действительные независимые переменные р и в с помощью уравнений — =о, —.= а, 1+ч (12) 21 мы получим 4иг — и„+ игр Таким образом, в эллиптическом случае уравнение приводится к каноническому виду Ьи+ ...
=и„+и„+ ... = О. (13) 164 Гл. 1Гй Дифференциальные уравнения высших нарядное Чтобы произвести описанные выше преобразования, включающие комплексные величины, мы должны были наложить условие аналитичности коэффициентов — очень сильное условие, по существу чуждое задаче. Чтобы избавиться от этого ограничения, мы можем воспользоваться следуюШим методом приведения эллиптического уравнения к каноническому виду (при котором не используются комплексные величины).
Написав р и в вместо '; и 4 в уравнениях (3) и (4), мы потребуем выполнения условий а=т, р=О, нли, в явном виде, ар~~+2бр„р + ср~~=аа"-+2Ьв„в +со~~, ар.о„+Ь(р в + р о )+ср в = О. Эти дифференциальные уравнения с помощью элементарных алгебраических преобразований можно свести к следующей системе линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка: Ьр + ср„ вх = (Гг арх+ Ьрг о =— В' (14) В"' ас — Ь', причем В' можно взять с любым знаком.
Из этих так называемых дифферениыальных уравнений Бельтрами мы сразу получаем с помощью исключения одной из неизвестных функций (например, в) следующее дифференциальное уравнение второго порядка для второй неизвестной функции: д арх+ Ьру д Ьрх+ срр дх Ф' + ду В' о,о„— о ох= — (арне+ 2др р +ср'). 1 Такие функции можно найти, если только нам известно решение уравнения (15) с отличным от нуля градиентом. Мы увидим в гл. (т7, й 7, что при некоторых предположениях относительно гладкости коэффициентов (например, когда а, Ь, с имеют непрерывные производные до второго порядка) такое решение всегда существует в по крайней мере в малом — и, следовательно.
в окрестности любой Приведение этого дифференциального уравнения к каноническому виду (13) в окрестности некоторой точки осуществляется парой функциЯ р, а, удовлетворяющих системе (14) и имеющих отличный от нуля якобиан 165 З К Канонический вид дифференциильньт операторов точки можно ввести параметры р, о, приводящие к каноническому виду '). Третий случай — параболический: ас — дз=О. Квадратное уравнение (8) имеет тогда один действительный корень, и мы можем соответственно ввести одно семейство кривых 1= у(х, у) так, чтобы выполнялось равенство и = 0; тогда, в силу соотношения (7), мы получим также Р=О, тогда как, например, для ф=л в 6 имеем -( = а Ф О.
В параболическом случае мы получаем канонический вид а +...=О. ч Таким образом, теорема, сформулированная в начале, доказана. Заметим, что преобразование к каноническому виду никоим образом не определено однозначно. Например, в эллиптическом случае канонический вид не меняется при любом конформном преобразовании параметров р, а. 2. Примеры. Несколько примеров различных типов дифференциальных уравнений мы уже рассматривали в гл.
1, э" 1. Простейшее гиперболическое уравнение(уравнение колебаний струны) и„„ — ии = 0 было решено полностью. Представителем эллиптических дифференциальных уравнений является уравнение Лапласа Ьи = и „+ и = 0 УУ (см„например, гл. 1, й 1). Параболическое уравнение теплопроводности и, — и„= 0 было рассмотрено в гл. 1, Э 3. ') Как следствие свойств р, а мы можем теперь вывести существование ег)иной системы параметров р (и, у), ч (х, у), приводящей к киноническому виду в целом, т. е. во всей области 6. Мы будем пользоваться следующим свойством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
