Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 30
Текст из файла (страница 30)
к! р! (12) ') Эта альтернатива напоминает соответствующую альтернативу для систем линейных уравнений (см, т. 1, гл, !). ') Такие процессы лииеаризации часто будут играть важную роль. В точках многообразия В мы снова определяем характеристическое дифференцирование формулой Приложение ( к гл. П др, гх. Рг дг кг г и' Если Т = 0 всюду на В и если выполнены дополнклгельные характеристические условии (10) и ускговие полосы (3'), то многообразае В называется характеристическим многообразием для многообразия полос, возникающего, когда на В заданы ве.гичины и, рн р, ..., р„. Легко видеть, что это новое определение эквивалентно определению, данному в 3 7.
Заметим, что характеристическое соотношение можно было бы формально получить и доугим способом. Например, мы можем исходить из того, что выражения ргкр — р„г7 = А,. (( = 1, 2.. ., п — 1) (13) г и, если е 0 всюду на В, и известны значения и. Таким значения р, на В цз и — ! дают внутренние производные функции и поэтому они известны, если только образом, можно попытаться вычислить выражений (13) и уравнения Р(хг и р;) 0 Условием, при котором это возможно не единственным способом, является обращение в нуль якобиана этих п уравнений по переменным р,, рг...., р„: р ...
р о ... о 'кп ,о;.. о рр х 1 ргкгг х (14) Рх Если выполняется соотношение (11), то дифференцирование дгдз выводит нз В н формулы (10) дают производные функций р,, выволяшие из В, так как правые части иавестны в силу начальных условиИ, Таким образом, все вторые производные функции и однозначно определены на В начальными условиями н дифференциальным уравнением. Если в точках многообразия В выполняется характеристическое соотногаение (12), то д,'дз есть внутреннее дифференцирование. Так как в этом случае левые части соотношений (10) также известны из начальных условий, то нз формул (10) следует, что начальные данные на В, кроме уравнения (3'), удовлетворяют еше дополнительным условиям 5 д Характеристические многообразия 145 Таким образом, требование, чтобы величины р, не определялись однозначно, эквивалентно характеристическому соотношению (12).
Сделаем последнее замечание, касающееся характеристического соотношения. В нелинейном случае это уравнение приобретает смысл только после того, как мы подставим соответствующие функции вместо и н ро например, если мы рассматриваем характеристические многообразия на заданной интегралы<ой поверхности У: и = = и (х,, хю ..., х„). Если мы выразим и и величины рг = ди/дх; как функции независимых переменных хн то соотношение (12) Дар=о, и~ к, если оно выполняется (не обязательно тождественно по лп лю ..., хи, а только при условии у=О), показывает, что заланное на У многообразие является характеристическим.
Если это соотношение выполняется не только для О=О, а тождественно по хы мг, ..., хк, то оно является линейным однородным дифференциальным уравнением относительно функции ~р(лм х,, ..., лк). Тогда оно определяет однопараметрическое семейство характеристических многообрааий ~р=с=сопзг, порождающее l (см. гл. 1, Э 5). Если мы хотим записать соотношение (12) как дифференциальное уравнение в частных производных, считая, что оно выполняется только на одном многообразии 1и = О, то мы будем рассматривать следующее выражение для этого многообразия: ф(хн х,, ..., х„,) — л„=О, где х,, ха, ..., х„, — неаависимые переменные. Испи в формулу (12) мы подставим ф вместо ха и запишем, что то мы получим дифференциальное уравнение и — 1 (15) для функции ф только в — 1 независимых переменных.
Заметим, наконец, что характеристические кривые дифференциальных уравнений (12), (!5) н (7) совпадают с характеристическими кривыми исходного уравнения. Приложение ! к гл. Н й 2. Системы квазилинейных дисйференциальных уравнений с одинаковой главной частью. Новое настроение пгеории Исследование системы квааилинейных дифференциальных уравнений в ,«~а д =да (р=1, 2, ..., т) (1) подсказывает новый подход к теории характеристик, несколько отличающийся от использованного в гл, 11, й 7. Коэффициенты а,, а, ..., и„, которые так же, как и д, могут аависеть от переменных х,, х, ..., х„, и,, и .
.. иеи одинаковы во всех уравнениях (1). Мы будем говорить, что дифференциальные уравнения такой системы имеют одинаковые главные части. Сначала мы докажем следующую теорему (см. гл. 1, й б, п. 2). Система (вида (1)) т квазиликейкых дифференциальных уравнений г а нвэависимы.яи переменными и с одинаковыми главными частями эквивалентна однородному линейному дифференциальному уравнению для функции т+и переменных. Пусть некоторая система решений и,, и,, ..., и уравнений (1), зависящая от параметров с,, сз, ..., с, неявно задана в виде сч!(х!. х,, ..., Хв, ин и„..., и ) =сн (2) «г«в (х!, хз, ..., Хт и!, иг, ..., иг«) = св!.
Чтобы обеспечить воэможность определения функций и,, и,, ..., и, предположим, что якобиан д(т т тв) д (и„иг. ° „ит) всюду отличен от нуля. Дифференцируя уравнения (2), мы получаем а !.= ! Умножая на а„и суммируя по «, получаем й «=1 ! —.1 «=! Следовательно, в силу (1) и и! (3) л=! у 2.
Сисгемь! хвазихинеаных ииивнений !47 Мы видим, что функции е=лу системы (2) удовлетворяют уравнению (3) тождественно по х,, х,, ..., х„, сн сю ..., с, т. е, все они тождественно по хн хз, ..., х„, и,, из, ..., а удовлетворяют одному линейному дифференциальному уравнению н м ,=! ' л=! (3') Ес.ти мы введем обозначения и„=хв,л, г=ш+и, дл= и„ то уравнение (3') перейдет, наконец, в дифференциальное уравнение Г Ха" д — — 0 хх (Зн) к=! нигде не обращается в нуль. Сейчас мы покажем, что функции и,, и, , и , найденные из уравнений ~у (х,, х, ..., х„, ин и, ..., и ) =-с, удовлетворяют системе (1). Сначала с помощью дифференцирования иы получим уравнения дт жн дй дил дх„~ н ди, дх, Снова умножаем на а„и суммируем по х; применяя (3), получаем ~н н ~н Х =гг дуя ьт ч;н дй„дил д,— =,т таа— ' ди! .мв и'в дил дх„' !.-! ' .=! !.=1 и.ли е Н хй~ -);"й)=' для функции лв(хл, х,...,, х,); таким образом, первая часть нашей теоремы доказана.
Обратно, пусть даны лл решений 4лл, !уз, ..., лв дифференциального уравнения (Зн), и пусть якобиан д(т т т) д (хн„„хне!...,, х,) 148 Лрилокение ! к гл. Л Так как определитель, состоящий из величин д~у„/ди, не обращается в нуль, справедливы уравнения кэ ди„ л,а,а "дх, т. е. и„удовлетворяют системе (1). Согласно гл. !1, Э 2, интегрирование линейного дифференциального уравнения (Зв) эквивалентно интегрированию характеристической системы дифференциальных уравнений йх„ — "=а„(х=!. 2, ..., г). йе Таким образом, мы видим, что система (1) дифференииальных уравнений с частными производными с одинаковыми главными частями эквивалентна системе т+и обыкновенных дифференИиальных уравнений, а именно системе их„ —" = а„(х = 1, 2, ..., и) йе — "" =Ь„().=1, 2, ..., т).
йв Мы воспользуемся этими результатами, чтобы снова построить теорию характеристик для общих дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение р(хн хг, ..., х„, и, и,, и,, ..., и, )= 0 (б) и заменим его следующей системой и + 1 квазилннейных уравнений с одинаковыми главными частями относительно и, р,, ..., р„, полученных с помощью функции р(х,.
ха, ..., х„, и, рн рг, ..., р„): (1=!, 2,..., п), (6) Первые и из этих уравкений формально следуют из уравнения (5), если его продифференцировать по х; и заменить и, на рн а д и(дхгдх„на др,(дх,. Если сделать такую замену, то последнее г хг уравнение становится тривиальным. Исходя из системы квазивинейнык дифференциальных уравнений с одинаковыми главными частями (6), мы можем теперь построить теорию дифференциального уравнения (5) с п+ 1 неизвестными д 3.
Сисгены квавилинейных уравнений 149 функциями и, р!. Сначала из сделанных ранее замечаний мы выводим, что интегрирование системы (6) зквивалеитио иитегрироваиию системы обыкновенных дифференциальных уравнениИ йх. др ди л — — '= — Рх.— р.р, — = ~', р Р, — Р! де — к! «и' дв х, «Р„' «=! а'и —,~, р„а!х„= О. =1 (7а) Далее, пусть решения системы дифференциальных уравиеиий (7), проходящие через каждую точку С, с соответствующими начальными значениями для рд, образуют и-мериую поверхность 5, заданную уравнением и = и(х,, хэ...,, х„) и содержащую С. Эта функция и вместе с соответствующими функциями р, является тогда решением соответствующей задачи Коши для системы (6) Теперь мы должны показать, что оиа является также решением задачи Коши для уравнения Р = О.
Для этого иам нужно только доказать, что соотношения Г(х,, х, ..., х„, и, р,, р,, ..., р )=)7(х!, х, ..., х ]=О, Р (Х! ХЕ, ..., Хл) и.«(Х!' ХЮ ..., Хл) = Рд(Хд, ХЕ, ..., Х„) =О выполняются всюду иа поверхиости о. Мы принимаем во внимание, что для функций Ре(х,, хе..... х„) выполняются соотношения дР! дРд др! д,ад дхд дх! дхд дх! ' (а) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
