Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть 1Ей й ~ыа, (4) где / Р ° ' обозначает определитель порялка и с элементами тт,й«! дар?ди„ди . Система уравнений Гй =-о, ?, =-й, (б) Р(и„ит, з)+?.(от, ит, з) = ~ и„о„ =! ') Определен!!я и обозначен«я см. в т. 1, гл, 1«', й 3. обращается в нуль. Здесь и,(е), а,(е), ..., им(з) — функции параметра е, точка обозначает дифференцирование по е, а Р(ио ис, г)— дважды непрерывно дифференцируемая функция своих 2п+1 аргументов в рассматриваемой области '). Теперь мы коротко объясним эту связь н тем самым снова получим результаты, изложенные в 9 8. и достигнем более глубоко~о пх понимания. 122 1'л.
11. Обитая теория уравнений первого нарядна Дифференциальные уравнения Эйлера переходят в каноническую систему о = — 1и, (7) и, = 1в с функцией Лежандра 1.(ио ., ит о,, ..., ов, в), соответствующей рассматриваемой вариационной задаче. Эти канонические дифференциальные уравнения являются системой уравнений Эйлера для некоторой вариационной задачи — канонической формы данной вариационной' задачи (см. т, 1, гл.
1ч', ч 9). эта задача зквнвалентна исходной и имеет вид или где 2п аргументов и,, ог являются функциями параметра з. Переменные иг и о, называются канонически сопряженными. Заметим, что канонического ггреобразования ие существует, если функция Р— однородггая') степени единица относительно перемен/ ных ир например, если 1'= ~гг ~в и' (см., однако, и. 3), Следует заметить, что если выполнено условие (4), то формула (5) дает возможность обратить построения, которые привели от представления вкстремвлей в форме Эйлера к каноническому представлению; янымн словами, в вариационной задаче любой подинтвграяьной функ; ции Р(ио аг в) соответствует функции Лежандра Е(о„ио в), и наоборот.
Каноническая система дифференциальных уравнений Эйлера (7) совпадает с характеристической системой дифференциальных уравнений для дифференциального уравнения с частными проиаводными первого порядка юг+1.(/н, ио в) О (8) ') Определитель в формуле (4) тогда тождественно равен нулю.
задает тогда преобразование Лежандра и обратное вму преобразование, где и,. и в остаючся непреобразованными параметрами (см. гл. 1, 9 6); мы сразу получаем дальнейшее соотношение 1.в +Рв =О. (6) б 9. Теория Гамильтона — Якоби о аариацнонное исчисленне 123 с неизвестной функцией У(ио иа, ..., и„, з).
В п. 2 я 4 мы увидим, что уравнение (8) имеет непосредственное значение лля вариационной задачи. 2. Геодезическое расстояние, или зйконал, и его производные. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби. Теперь мы сделаем дополнительное предположение о том, что в некоторой области (п + 1)-мерного пространства переменных ип а каждую пару Ра "'Р, УУ' А(я„ма ", „Гу Рнс. 2. ТОЧЕК А(Х,, Х,, ..., Х„, Х) И В(ьу,, у,, ...„дн, Г) МОЖНО Едниетеспным образом соединить зкстремалью (см. рнс. 2). Такую экстремаль и соответствующие моменты можно представить через параметры хо т, сус, г в виде (10) (1! ) здесь точка обозначает дифференпированне по первому аргументу з (лнфференцирование по экстремали), Величины (11), а также так называемые сууницсси поля (т. е.
моменты о„в конечных точках) (12) и, = у„(з, х,, с, ди Г), о„=Я,(з, хь, с, сУр Г). В частности, мы имеем для точек А и В соотношения х„= у„(х, х . т. суп Г), су„=у„(у, х, т, ри Г). Направление зкстремали в этих точках дается формулами х„= — сс,(А) = Ут„(т, хр -., сус, У), су, = =и,(В) = у„(Г, х, с, сус, у); - = л' (т, х, с, сус Г) = Р (хи х, т), р =я (У, хи х, суи Г)=В ° (су,, су, Г), являются функциями 2а+2 величин хп х, дп Г. (9) (9') 124 Гл.
П. Общая теория Краененид первого порядка Если мы введем функции (9) и (9') в интеграл вариациоииой задачи П лг= — 1 (рг, гу,, () = Г (д!, а!, 1) — ~ д,ря', .—. 1 У =р х В ° (я=1, 2, ..., и) е е (1 3) у,=Е(х,, х,, )= — р(.! х, т)+ Х .у„, =! У = — гг= — Р ° (я=1, 2,..., и), (14) которые вместе дают соотношение я к йу = — В(рг, !т!, 1) М+ ~л~л~ р„6гт,+ ~(хо х, т) 3т — ~~ к йх =! =! здесь !тг, х!, рг, х! определяются форл!узами (11) и (12). (15) то этот интеграл станет функцией 2п+2 переменных хо т, !)!, ~: у(хг, т, Чг, (), Эта функция пазызается геодезичеснил! расстоянием лгежду точналги А и В; это иазваиие связано с тем, что вариациоииую задачу можно рассматривать как обобшеиие задачи об отыскании кратчайшего пути между двумя точками в пространстве, Функция у(хо т, !)!, () допускает также оптическую интерпретацию. Будем рассматривать з как время и положим ~~ из Р= М(иь иь з) где фУнкциЯ )л — скоРость РаспРостРанениЯ света в пРостРанстве ио зависяшая от положеиия, направления и времени.
Если мы предположим, е соответствии с принципом Ферлга о наименьшем времени распросигранения света (см. т. 1, гл, 1гг, з 1), что лучи света являются зкстремалями нашей вариационной задачи, то функция л даст время, необходимое для того, чтобы свет прошел расстояние от А до В. В оптических задачах функцию л иазывают зйноналом. Основная задача данной теории состоит в том, чтобы выразить производные эйкоиала л' по его 2п+2 аргументам через функцию Г.
Часл!ные производные закопала определяются форлгугалги й 9. Теория Гамильтона — Якоби и еириичионное исчисление 123 Эти формулы проще всего получить непосредственно нз канонического представленпч вариационной задачи. Рассмотрим 2и+ 2 координат начальной точки А и конечной точки В как непрерывно дифференцируемые, но в остальном произвольные функции параметра е; дифференцирование по этому параметру будем обозначать символом Ь. Учитывая, что для экстремалей выполняются канонические дифференциальные уравнения (7), мы получим Г" 1 ьэ'= ~~ д,р„— В(рс, !7о 1)~ Ы вЂ” ~~~, хчн,— 1.(х! сг, т) 3т+ н=! ч=! и + ~~ Яо,йс! + сс,,йо,) -- (!'.„6 и, + (., Ьо,)1 аз = =! н н 1 Г" =~Хя,р,— 7-(р я! Г)~Ы вЂ” ~Х,-,— 7(ч .;.
) Ы+ я=! =1 и + ~ ~ (о„ьи,)сЬ. =!я Из формул (!О) непосредственно следует, что ох„= х„йт+ еи, ~, йо„=!7,Ы+Зи,1, ! Так как Г" и 6э'= ~~; о,р,— Е(ро !)г, 1) ~Ы вЂ” ~~, х н,— г.(х! хо т) Ы+ .=! =1 + ~ ~~'„о,ои 1 мы имеем н л йу= — 7 (р,, су, ()Ы+ 7.(хс, хс, т)6-.+ „~~ р,817,— ~ е„йх,, т.
е. как раз требуемое соотношение (15). Мы можем сразу исключить моменты р, из уравнений (13). Таким образом мы получим дифференииильное уравнение Гамильтона — Якоби Л+7.Р,Т д,, ()=0 (16) для геодезического расстояния з' как функснии конечной точки В; это уравнение называется также уравнениелс эйконола. Оно совпадает с уравнением (8) из п. 1. Как было отмечено в и. 1, характеристические уравнения для уравнения (16) совпадаюг с на- 126 Гп. Гь Общие теория Еровиеиий первого порядка шими каноническими дифференциальными уравнениями, т. е, характеристики уравнения Га.иилыпока — Якоби (16) лвллвтея вкетремалями канонической вариационной задачи. 3.
Однородные подинтегральные функции. В том исключительном случае, когда Р есть однородная функция степени единица относительно величии и„, можно также провести соответствующие рассуждения. В этом случае мы имеем )Г „~=О, а также /.= — Р+~,ирд =О, и переход к канонической форме с помощью преобразования Лежандра не может быть осуществлен. Однако, в этом случае, как и в п.
2, уравнения ./ = — — /.=-О../ = Г сохраняют силу, и, в кроме того, выра>кения Г; однородны степени нуль относительно й„. Следовательно, отношения чисел т/, могут быть выражены через производные ./и, а соотношение однородности заменяет дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби. В качестве примера рассмотрим случаи геодезических линий, соответствуюший равенствам Г=ф'(,), (,1= я~и а, и„и, ,,„=т где коэффициенты а, квадратичной формы О являются функциями от ии и.„..., ип.
Мы получим и жт опят/и ./=О, / =Г и=1 или л где числа А„„составляют матрицу, обратную по отношению к матрице и . В силу соотношения однородности, умножение на Р ° =/ к и„ и суммирование дают уравнение б 9. Теорие! Га,нщмтона — Якоби и вариоиионное исчисление 127 в качестве дифференциально~о уравнения Гамильтона — Якоби для геодезического расстояния й! отсюда получается дифференциальное Уравнение и 2 А„р,г, =йр (17') тля величины Г=й!. Например, в случае евклидова расстояния, когда г.
Р = ~/ ~р~ а',, мы получаем дифференциальное уравнение =1 Так как в не входит явно в Р, тот же общий результат, т. е. Уравнение (17), можно получить для задачи о геодезических кривых, выбирая параметр в таким образом, чтобы было Я=-Го=1. Из диф. ференциальных уравнений Эйлера с! ив Р и --;Гй — 7:о =О, р =),'(), илн (18) !!й лв )ГГ2 мы тогда получаем (18') оа Эта система линейных дифференциальных уравнений всегда имеет (2 в качестве интеграла'); таким образом, мы можем, не вызывая противоречий, наложить дополнительное ограничение (,1=1, Теперь мы можем привести новые дифференциальные уравнения (18') к каноническому виду, так как они относятся к квадратичной подинтегральной функции Я, а не к функции )! Я, которая является однородной ') До к аз атал ь с тво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
