Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 44
Текст из файла (страница 44)
также Джон !4), гл. !1, 220 Гл. !П. Дафференинаяьнь!е уравнения высшах порядков Однако это условие не является достаточным '). В качестве примера мы рассмотрим параболическое уравнение (23) соответствующее й = 2, и = 1. Уравнение (21) сводится к уравнению з)з=О, и, следовательно, имеет только действительные корни. Одно из решений уравнения (23) определяется формулой и=у-~ 'еь!х» +хч!, у! если т!з+ ьу, = О.
Решение а, соответствующее корню т)=(1 — 1)(у!/2)Ь, стремится к бесконечности вместе с у,, хотя его начальные значения и их производные порядка, не превосходящего )ч', стремятся к нулю. В соответствии с этим задача Коши для уравнения (23) поставлена некорректно, хотя корни уравнения (21) действительны. Теперь мы дадим достаточное условие: задача Коши поставлена корректно, если все корни уравнения (21) действительны и различны при любых действительных не равных нулю одновременно значениях уп ..., у„. Для доказательства мы построим решение методом, по существу не отличающимся от метода Коши 11).
Сначала мы заметим, что задачу Коши для уравнения (17) с начальными значениями (19) можно свести к задаче для того же уравнения с начальными значениями частного вида уо=!е! —— ... =уь !=О и с произвольной функцией рь !. Искомое решение и общей задачи Коши (19) можно тогда записать в виде в-! дх' где функции и, — решения уравнения (17) с начальными условиями специального вида дхие 0 для,/= О, 1, ..., /е — 2, дхо! ~ в,(хз, х, ..., х„) для у=й — 1. функции д, надо подобрать так, чтобы функция а удовлетворяла условиям (19); поэтому мы должны потребовать, чтобы выполнялись соотношения йь — ! =то ь-! / д" !и, 'ь в-) х,=о хо ') Для уравнений с постоянными коэффициентами Гардинг (2) дал условия, необходимыс и достаточные для корректности постановки задачи Коши. 4 5.
Реигение задачи Коши с оомощью интеграла Фурье 221 Для /=О, 1, ..., й — 1 мы последовательно получаем соотношения, из которых определяются сначала л», и, следовательно, и» затем д» г и, следовательно, и» а и т. д. Таким образом, достаточно решить уравнение (17) с начальными значениями дти ~ 0 для /=О, 1, ..., /г — 2, (24) дхот 1 ср(хн ..., х„) для /=й — ! на поверхности хо = О. Чтобы завершить построение решения, мы рассмотрим сначала решение, соответствующее функции о вида ехр (!(х,уь+ ... +х„уа)); согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, это решение определяется формулоИ ехр (т'(х,у,+ ...
+х,у„)! е. (ум ..., у„, хо), (25) где Величина р здесь задается формулой (20), а контур интегрирования на комплексной плоскости т) должен охватывать все корни знаменателя. Если у изменяется в ограниченной области пространства, то корни знаменателя также ограничены, так что можно выбрать контур интегрирования, не зависящий от у. Отсюда следует, что л есть целая аналитическая функция своих аргументов.
Положим у, = гяю где а',+я,'+ ... +аз = 1, !»1ы покажем, что величины о дх г д~х д" о дхо равномерно ограничены для действительных значениИ уп уз, ..., у„, хо, таких, что г ) 1, (хо! ч. М. С этой целью мы сначала запишем уравнение Р(!у„..., !у„, !п)=О (28) в виде Р» (гь ° . л ° )+ Р»-ь(л1 ° ха )-)- ° ° =0 (29) '!'ак как корни ч уравнения (30) по предположению простые и так как простые корни многочлена с фиксированным старшим коэффициентом являются непрерывными и дифференцируемыми функциями остальных коэффициентов, то для любого корня т) уравнения (28) существует такой корень ч уравнения (30), что для больших г величина !а)/г — ч! имеет порядок 1/г. Корни Г действительны и различны; следовательно, корни и различны 222 Гл.!П.
Дифференчиаяьные уравнения высших порядное и имеют ограниченную мнимую часть при больших г. Применяя теорию вычетов, мы можем для больших г написать Л в виде » есч Е= р / 1 Р'(гу, ..., сун, 1Ч.) ' где «)г, «1,, ..., «)» — корни уравнения (28), а Р' — производная функции Р по последнему аргументу. Так как Р (!Ус »У 1'сг)— =(Гг)» ' Р;(гь ..., г„, Г)+ 0(г»-') и так как величины ехр (1«)1хо) и «~;)г ограничены, отсюда следует, что выражения (27) ограничены для г > 1 и )хо! ( М. Теперь мы в состоянии решить задачу Коши с начальными условиями (24). Как и раньше, мы пользуемся сокращенными обозначениями х, у.
1 для векторов х,, ..., х„и т, д., а с7х=дх, ... с(хн н т. д, Предположим, что функция р обращается в нуль вне некоторой ограниченной области н принадлежит классу С„, Тогда Функция Т допускает представление в виде интеграла фурье (см. т. 1, стр. 73): р(х)= ~ ... ~ ф(у) е"»пасу, где ОЭ (2 )'Ф(у)=~ ... ~е(с)е-' с(е. (31) сходится.
Тогда функция и (х, х„) = ) ... ~ ф (у) е' "г' л (у. х,) с(у (32) принадлежит классу С„и, очевидно, удовлетворяет уравнению (17) н условиям (24). Следовательно, аадача Коши решена, Предположе- функция су принадлежит классу Сн«,; с,тедовательно, интегрированием по частям можно установить, что величина г""тф(у) ограничена и поэтому интеграл Э д. Региение гада ш Коши с помощью интеграла Фурье 223 и(х, ха)== ( ... ~ гу(1)К(х — г, хо)е(с, (ЗЗ) где (2ху'К(х, х,)=) ... ) ещлюЕ(у, хе)ду. (34) Переллена порядка интегрирования, которая приводит к формуле (33), без сомнения, законна, если интеграл, определяющий функцию К. абсолютно сходится. Так как величина га-лд ограничена, этот интеграл сходится абсолютно, если порядок уравнения Гг н число независимых переменных п+1 удовлетворяют неравенству й) и+ 2. (Зо) Представление (33) показывает, что в этом случае решение и непрерывно зависит от начальной функции га.
Это уже не следует из предыдущих рассужденллй, если неравенство (35) нарушается (как в случае волнового уравнения прн большом числе измерений). Однако н в таких случаях ма кно вывести несколько измененную формулу ГЗЗ) 3(ы предположим, что существует целое число х, такое, что и — 1 > 2х ). и + 2 — lг. (36) такое число всегда можно найти, если порядок дифференпиального уравнения й не менее четырех. Обозначив оператор ,Лапласа огГдхг,+ ... +дг(дхг„через Ь, мы можем записать решение и, заданное формулой (32), в виде и = Гл" / ...
~ ф (у) т-'"е"'э >2 (у, хг) ~Ху, причем этот интеграл абсолютно сходится в начале координат, так как 2х ч п. ние о том, что у обращается в нуль вне некоторой ограниченном области, не является ограничением, так как можно показать, что решение и зависит только от значений начальной функции гь в некоторой ограниченной области. (Это следует, например, из теоремы единственности; см. стр. 239.) Выражение (32) для функции и не включает непосредственно значении начальной функции у, в него входит только ее преобразование Фурье ф. Поэтому подставим выражение (31) для ф в формулу (32); мы получим 224 Гл. НА Диффереициальиьье уравнения вььеших иарядиав Если мы теперь положим (2я)" К" (х ха)=[ ) г ые"люЛ(у хь)йу ьь то интеграл, определяющий К', абсолютно сходится и мы получаем представление ) ср (Й) К*(х — В х,) ВВ Так как это выражение можно записать также в виде и= ~ ...
~ Ь" р(х+с)К'( — В ха)иВ то мы видим, что решение и непрерывно зависит от функции ч и ее производных до порядка, не превосходящего 2х. (Пропущенное здесь решение для случая )е = 2 можно получить другими способами; см., например, гл, у1, э" 12.) Аналогичную теорию можно построить для систем с постоянными коэффициентами; однако здесь мы ее не приводим. В $ 3, п. 6 мы строили решения для таких дифференциальных уравнений, для которых Р„ = О при всех х, кроме х = к (т.
е. для случая без дисверсии), с помощью суперпозиции плоских волн произвольной формы, не обязательно показательных функций. Таким образом, применения интеграла фурье можно было бы избежать (см. гл. у'1, $ 14, !6). В б. Типичные задачи для уравнений математической Яизгаки ') !. Вводные замечания.
Задача отыскания „общего решения", т. е. всех решений некоторого дифференциального уравнения с частными производными, почти никогда не встречается. Обычно цель состоит в том, чтобы выделить отдельные специальные решения, добавляя к дифференциальному уравнению некоторые дополнительные условия. Для и+ 1 независимых переменных эти дополнительные ограничения обычно относятся к и-мерным многообразиям, которые иногда являются границами, иногда — „начальными многообразиями", а иногда — поверхностями разрыва внутри областей, з которых отыскиваются решения („граничные", „начальные" условия и „условия на разрывах").
В частности, в Э 4 рассматривалась задача с начальными условиями, или „задача Коши". На плоскости хв.— — Г = О задавались значения функции и и в некоторых случаях значения ее ') Ср. Адамар [2), в особенности гл, 1, а также исчерпыааюшую работу Адамара [1), в которой рассмотрены также другие типы задач. б 6. Тиаичаые задачи произволиых по Г как функции координат хп ха...,, х„, 34ы ищем прп Г ) О решение и, такое, которое при Г =- О соответствует заданному „нзчальному состоянию".
Такие решения задачи Коши в некоторых случаях можно продолжать для Г ( О так, чтобы многообразие ! = О лежало внутри области определения решения. Другими словами, состояние при ! = О можно рассматривать как результат предыдущего состояния, продолжение которого для последующих значений времени управляется теми же законами. В случае дифференциальных уравнений первого порядка, для которых решение задачи Коши построено в гл. !1, такое продолжение делается автоматически.
Для задач более высокого порядка аналогичный результат содержится в гл. 1, Э 7, где рассматриваются аналитические дифференциальные уравнения и аналитические начальные условия. Однако предполагать, что либо дифференциальное уравнение, либо начальные условия апалитичны, — это значит вводить искусственное ограничение; кроме того, даже для аналитических дифференциальных уравнений аналитический характер решениИ не является а рпоп' очевидным. Поэтому разулгно рассматривать задачу Коши или краевые задачи, не занимаясь продолжением решений за эти границы.
Типичной краевой задачей — одной из центральных задач анализа — является задача отыскания решения уравг ения Лапласа Ьи О, регулярного внутри заданной области, т, е. непрерывного там вместе со своими первыми и вторыми производными, которое принимает заданные непрерывные, но не обязательно аналитические граничные значения на границе этой области. В случаях и = 2 и л = 3 эта задача была явно решена для круга и шара с помощью интеграла Пуассона !см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
