05_2 Проверка гипотез о параметрах (1120099), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Порядок проверки гипотезы

1. Подсчитываем Z _набл по найденным по выборке и

известным дисперсиям D_x и D_y.

1. По таблицам функции Лапласа находим .

2. Если Z _набл < Z _кр то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно принимать,

Если Z _набл > Z _кр то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимать нельзя (различие между слишком значительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами).

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке AP19 подсчитать наблюдаемое значение Z  критерия Z_набл .

Значения дисперсий D₂ и D₄ взять из строки 32 страницы 1.

• В ячейку AR19 занести из таблиц функции Лапласа .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

6. Äëÿ âûáîðîê Õ₁ , Õ₃ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ ïðè íåèçâåñòíûõ äèñïåðñèÿõ

Как и в предыдущем пункте, проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений:

_.

Но в этом случае истинные значения дисперсий неизвестны, их можно только оценить по выборке, подсчитывая . Итак:

Дисперсии неизвестны.

В этом случае проверка гипотезы выполняется с помощью

критерия Стьюдента: .

Замечание 1. Применять критерий Стьюдента можно только в том случае, когда неизвестные дисперсии равны. Поэтому перед тем как проверять гипотезу о равенстве средних по Т-критерию нужно сначала проверить гипотезу о равенстве дисперсий по критерию Фишера:

Порядок проверки гипотезы

1. Сначала по критерию Фишера проверяем гипотезу о равенстве

дисперсий. Если она принимается, переходим к Т - критерию.

2) Подсчитываем T _набл по найденным по выборке , .

По таблицам критических точек распределения Стьюдента

находим T_кр (  ; k ); k = n + m - 2  число степеней свободы

1. Если T _набл < T _кр , то гипотезу о равенстве математических

ожиданий можно принимать.

Если T _набл > T _кр , то гипотезу о равенстве математических

ожиданий принимать нельзя (различие между слишком зна-

чительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами) .

Замечание 2. Пользоваться T- критерием нужно для малых выборок,

когда n, m  30. Для больших объемов можно использовать

Z-критерий, и условие равенства дисперсий уже необязательно.

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке AX18 подсчитать наблюдаемое значение критерия Фишера F _набл .

• В ячейку AZ18 занести из таблиц F_кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет гипотеза о равенстве дисперсий. Если принимается, продолжать далее.

• В ячейке AX28 подсчитать наблюдаемое значение критерия Стьюдента T _набл .

• В ячейку AZ28 занести из таблиц T _кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет гипотеза о равенстве математических ожиданий.

7. Äëÿ âûáîðêè Õ₅ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î ðàâåíñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðåäïîëàãàåìîìó çíà÷åíèþ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè

Предполагается, что значение математического ожидания нормальной случайной величины X равно а. Для нее получена выборка объемом n

{ x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . . , x _n }

и по ней найдена выборочная средняя . Она отличается от а, но не очень значительно. Выдвигается гипотеза о том, что на самом деле математическое ожидания m _x равно а, а различие между ними вызвано случайностью, оно незначимо. Т.е. проверяется гипотеза о равенстве математического ожидания предполагаемому значению :

Для проверки этой гипотезы можно использовать те же критерии, что и при проверке равенства двух математических ожиданий, если считать, что вторая случайная величина Y на это раз постоянна и равна а. При этом D_y = 0. Рассматриваются те же два случая: когда дисперсия D _x известна и когда она оценивается по выборке. Используются те же два критерия: Z и T .

Дисперсия D _x известна.

Используется Z  критерий .

Порядок проверки гипотезы

1 ) Подсчитываем Z _набл по найденному по выборке и известной

дисперсии D_x .

1. По таблицам функции Лапласа находим .

2. Если Z _набл < Z _кр , то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно принимать.

Если Z _набл > Z _кр , то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимать нельзя (различие между слишком значительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами) .

Замечание . При альтернативных гипотезах (односторонняя крити

ческая область) формулы те же, только вместо уровня

значимости  нужно брать (2) .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке BE16 подсчитать наблюдаемое значение Z  критерия Z_набл . Значение дисперсии D₅ взять из строки 32 страницы 1.

• В ячейку BG16 занести из таблиц функции Лапласа .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

8. Äëÿ âûáîðêè Õ₆ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î ðàâåíñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïðåäïîëàãàåìîìó çíà÷åíèþ ïðè íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè

Ситуация та же, что и в предыдущем пункте: проверяется гипотеза о равенстве математического ожидания нормального распределения предполагаемому значению а .:

Но в этом случае Дисперсия D _x неизвестна.

Используется T  критерий : .

Порядок проверки гипотезы :

1 ) Подсчитываем T _набл по найденным по выборке и .

1. По таблицам критических точек распределения Стьюдента

находим T_кр (  ; k ) ; k = n - 1  число степеней свободы

1. Если T _набл < T _кр то гипотез у о равенстве математических ожиданий можно принимать.

Если T _набл > T _кр то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимать нельзя (различие между слишком значительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами) .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке BM15 подсчитать наблюдаемое значение T  критерия T_набл .

• В ячейку BO15 занести из таблиц T _кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

9. Äëÿ âûáîðîê Õ₃ è Õ₅ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå

ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè óñëîâèè, ÷òî âûáîðêè çàâèñèìû

Во всех предыдущих случаях при проверке гипотез по двум выборкам предполагалось, что выборки независимы. Это значит, что данные, попавшие в одну выборку, не зависят от того, какие попали в другую.

Здесь рассматривается случай, когда выборки имеют одинаковый объем и варианты в обеих выборках попарно зависимы. Такая ситуация возникает, например, когда одни и те же величины измеряются двумя различными приборами или одни и те же расчеты проводятся по двум различным методикам. Таким образом,

в ыборки зависимы Проверяется гипотеза: .

Вместо двух случайных величин X и Y вводится одна  их разность:

D = X - Y .

Д ля случайной величины D пересчитываются экспериментальные значения: d _i = x _i - y _i .

Если гипотеза верна и математические ожидания равны, то M[D] = 0 _.

Можно перейти к проверке гипотезы о равенстве математического

ожидания случайной величины D предполагаемому значению ноль".

По значениям d _i подсчитываются среднее и дисперсия : .

Проверяется гипотеза:

Используется T  критерий Стьюдента:

Порядок проверки гипотезы

1 ) Подсчитываем разности d _i = x _i - y _i и по ним находим .

2) Подсчитываем T _набл

3) По таблицам критических точек распределения Стьюдента находим T_кр (  ; k ) ; k = n - 1  число степеней свободы

4) Если T _набл < T _кр то гипотезу о равенстве математических ожиданий можно принимать.

Если T _набл > T _кр то гипотезу о равенстве математических ожиданий принимать нельзя, (различие между слишком значительно, чтобы его можно было объяснить случайными причинами) .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В столбце BY подсчитать разности d _i = x _i - y _i .

• В ячейках BY20 : BY22 подсчитать числовые характеристики d _i : среднее , исправленную дисперсию и исправленное стандартное отклонение .

• В ячейке BT15 подсчитать T_набл .

• В ячейку BV15 занести из таблиц T _кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

• Сохранить файл в своей личной папке.

• Сохранить файл на дискете.

Задания к лабораторной работе № 4.

В соответствии со следующей таблицей по номеру варианта взять

Характеристики

Список файлов лекций