05_2 Проверка гипотез о параметрах (1120099), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

для Y { y ₁ , y ₂ , y ₃ , . . . . , y _m } объемом n _y .

По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии , служащие для оценки теоретической дисперсии. Они отличаются друг от друга, но не очень значительно. Выдвигается гипотеза о том, что на самом деле дисперсии D _x и D _y равны, а различие между вызвано случайностью; как говорят в статистике, оно «незначимо ». Т.е., проверяется гипотеза о равенстве дисперсий :

.

Порядок проверки гипотезы

1 ) Подсчитываем F_набл по найденным по выборке .

1. По таблицам критических точек распределения Фишера находим

F_кр = F(  ; k ₁ ; k ₂ ) ;

k ₁ = n _{большее} -1  число степеней свободы большей дисперсии.

k ₂ = n _{меньшее} -1  число степеней свободы меньшей дисперсии.

( n _{большее}  объем той выборки, у которой дисперсия s ² больше ).

1. Сравниваем наблюдаемое значение с критическим :

если F_набл< F_кр , то гипотезу о равенстве дисперсий можно принимать

(различие незначимо, его можно объяснить случайностью);

если F_набл> F_кр , гипотезу о равенстве дисперсий принимать нельзя

(различие между слишком значительно, чтобы его можно было

объяснить случайными причинами) .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке Т11 подсчитать наблюдаемое значение критерия Фишера F_набл.

• В ячейку V11 занести из таблиц F_кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

2. Äëÿ âûáîðîê Õ₃, Õ ₄ è Õ ₅

ïðîâåðèòü ãèïîòåçó îá îäíîðîäíîñòè äèñïåðñèé

Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий (однородности дисперсий):

Для нескольких случайных величин X ₁ , X ₂ , . . . , X _m получены выборки и по ним найдены исправленные выборочные дисперсии . Они отличаются друг от друга, но не очень значительно. Выдвигается гипотеза о том, что на самом деле все дисперсии D ₁ , D ₂ , D ₃ , . . . D _m равны, а различие между ними вызвано случайностью, оно незначимо.

Т.е., проверяется гипотеза : .

Если все выборки имеют одинаковый объем n ,

то гипотеза проверяется по критерию Кочрена : .

Порядок проверки гипотезы

1) Подсчитываем G _{наблюдаемое} .

1. По таблицам критических точек распределения Кочрена находим

G_кр (; k; m).

Здесь k = n - 1  число степеней свободы; m  количество выборок.

1. Сравниваем наблюдаемое значение с критическим :

если G _набл < G _кр , то гипотезу можно принимать

(различие между незначимо, его можно объяснить случайностью );

если G _набл > G _кр , то гипотезу принимать нельзя

(различие между выборочными дисперсиями слишком значительно) .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке Т29 подсчитать наблюдаемое значение критерия Кочрена

G _набл .

• В ячейку V29 занести из таблиц G _кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

3. Äëÿ âûáîðîê Õ₁, Õ ₄ è Õ ₆

ïðîâåðèòü ãèïîòåçó îá îäíîðîäíîñòè äèñïåðñèé

Проверяется гипотеза : .

Если выборки имеют различные объемы ,

то гипотеза проверяется по критерию Бартлета :

.

Здесь:

 число степеней свободы дисперсии ;

 сумма чисел степеней свободы ;

 средневзвешенная исправленных дисперсий .

Величина, подсчитываемая по критерию Бартлета, имеет распределение, близкое к ² , если объем каждой выборки не меньше 4.

Порядок проверки гипотезы

1) Подсчитываем ²_набл .

1. По таблицам критических точек распределения ² находим

² _кр (  ; m-1 ). m  количество выборок.

1. Сравниваем наблюдаемое значение с критическим :

если ²_набл < ² _кр то гипотезу можно принимать

(различие между незначимо, его можно объяснить случайностью );

если ² _набл > ² _кр то гипотезу принимать нельзя

(различие между выборочными дисперсиями слишком значительно) .

Замечание 1. Объем каждой выборки .

Замечание 2. Если V< ²_кр , то С можно и не вычислять ( т.к. С>1) .

Замечание 3. Критерий очень чувствителен к отклонениям от

нормального распределения

Замечание 4. В качестве оценки для дисперсии принимать

средневзвешенное .

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке AB15 подсчитать величину  сумму чисел степеней свободы. Они находятся в ячейках J25:O25.

• В ячейке AB19 подсчитать средневзвешенную исправленных дисперсий

.

При вычислении суммы в числителе можно использовать функцию СУММПРОИЗВ категории «Математические », выделяя с помощью клавиши Ctrl нужные ячейки строк 25 и 29 первой страницы.

• В ячейке АА22 вычислить числитель критерия  величину V .

• В ячейке АС22 вычислить знаменатель критерия  величину C .

• В ячейке АА24 вычислить ²_набл .

• В ячейку АС24 занести из таблиц ²_кр .

• В отведенном поле сделать вывод, принимается или нет проверяемая гипотеза.

4. Äëÿ âûáîðêè Õ₂ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î ðàâåíñòâå äèñïåðñèè ïðåäïîëàãàåìîìó çíà÷åíèþ

Гипотеза о равенстве дисперсии предполагаемому значению:

Предполагается, что истинное значение дисперсии нормальной случайной величины X равно D ₀. Для проверки получена выборка объемом n _x и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия , служащая для оценки теоретической дисперсии. Величина отличается от D ₀ . Требуется проверить, значимо это отличие или же оно вызвано случайностью.

Проверяется гипотеза : .

Для проверки используется критерий

Порядок проверки гипотезы :

1) Как обычно, сначала подсчитываем ²_набл .

Дальнейшие действия зависят от того, как сформулирована альтернативная гипотеза:

а) . Гипотеза H ₀ отклоняется, если реальное значение как намного больше, так и намного меньше D ₀ . То.есть., в этом случае критическая область  двусторонняя.

2 ) По таблицам критических точек распределения ² находим левую и правую критические точки :

и .

3) Если ,  гипотезу принимаем.

Если ,  гипотезу отвергаем.

б) . Реальное значение дисперсии может оказаться только больше предполагаемого. В соответствии с формулой критерия, гипотеза H ₀ отклоняется, если реальное значение намного больше D ₀ . В этом случае критическая область  правосторонняя.

2) По таблицам критических точек распределения ² находим критическую точку .

3) Если гипотезу принимаем. Если  отвергаем.

в) . Реальное значение дисперсии может оказаться только меньше предполагаемого. В соответствии с формулой критерия гипотеза H ₀ отклоняется, если реальное значение намного меньше D ₀ . В этом случае критическая область  левосторонняя.

2) По таблицам критических точек распределения ² находим критическую точку .

3) Если гипотезу принимаем. Если - отвергаем.

^{Как это сделать в EXСEL}

• В ячейке AI17 подсчитать ²_набл . Предполагаемое значение дисперсии D₂ взять из строки 32 страницы 1.

• В ячейки AK17, 19, 21 занести взятые из таблиц значения ²_кр , соответствующие трем рассматриваемым случаям: а), б) и в).

• В отведенном поле сделать вывод для каждого из трех случаев, принимается или нет проверяемая гипотеза.

5. Äëÿ âûáîðîê Õ₂ , Õ₄ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó

î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ ïðè èçâåñòíûõ äèñïåðñèÿõ

Гипотеза о равенстве средних двух нормальных распределений:

Проведены опыты над двумя нормальными случайными величинами X и Y. Для каждой из них получены выборки :

для X { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . . , x _n } объемом n ;

для Y { y ₁ , y ₂ , y ₃ , . . . . , y _m } объемом m .

По ним найдены выборочные средние , служащие для оценки математических ожиданий. Они отличаются друг от друга, но не очень значительно. Выдвигается гипотеза о том, что на самом деле математические ожидания m _x и m _y равны, а различие между вызвано случайностью, оно незначимо. Т.е. проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий :

_.

В зависимости от условий для проверки такой гипотезы используются разные критерии. В этом пункте предполагается, что дисперсии обеих случайных величин известны (истинные значения дисперсий, а не те, которые получают по выборкам в качестве оценок). Такая ситуация возникает тогда, когда известна заранее точность измерительных приборов, точность той или иной методики расчетов и т.д. Итак:

Дисперсии известны

В этом случае проверка гипотезы выполняется с помощью

Z - критерия: _.

Доказывается, что если гипотеза верна, то эта случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Если мало отличаются друг от друга, то величина Z мала ( по модулю) . Гипотезу при этом надо принимать. Если различие между значительно, то гипотезу нужно отвергать. При это модуль Z принимает большие значения, т.е. критическая область двусторонняя, и вероятность попасть в эту область ( уровень значимости ) подсчитывается через функцию Лапласа как вероятность отклонения от математического ожидания.

Характеристики

Список файлов лекций