В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Пусть K — квадрируемый компакт на плоскости xOy и [c1 , c2 ] — отрезок оси z. Еслифункция f (x, y, z) интегрируема на цилиндрическом теле V = K × [c1 , c2 ] и для каждого фиксированного z ∈[c1 , c2 ] как функция точки (x, y) интегрируема на K, то функцияZZh(z) =f (x, y, z) dx dyKинтегрируема на отрезке [c1 , c2 ] иZZZVZc2 Z Zf (x, y, z) dx dy dz  dz.f (x, y, z) dx dy dz = c1KДоказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 1.30, но теперьmj =inf[zj−1 ,zj ]h, Mj =sup h, j = 1, n,[zj−1 ,zj ]остальные обозначения те же. Так как mij 6 f (x, y, z) 6 Mij для всех (x, y, z) ∈ νij , тоZZmij · ∆σi 6f (x, y, z) dx dy 6 Mij · ∆σiσiдля всех z ∈ [zj−1 , zj ], откудаmXi=1mij · ∆σi 6 h(z) 6для всех z ∈ [zj−1 , zj ], и следовательно,mXi=1mij · ∆σi 6 mj 6 Mj 6mXi=1mXi=1Mij · ∆σiMij · ∆σi , j = 1, n.Умножая эти неравенства почленно на ∆zj и суммируя по j, получимs(f ; T12 ) 6 s(h; T2 ) 6 S(h; T2 ) 6 S(f ; T12 ),откуда, как и в доказательстве теоремы 1.30, следует, что интегрируемость f на V влечёт интегрируемость h на[c1 , c2 ] вместе с совпадением их интегралов.

Очевидно, непрерывная функция f (x, y, z) на V удовлетворяет условиям теорем 1.30 и 1.30’.231.6.4. Вычисление тройного интеграла по объёму, заключённому между двумяграфикамиТеорема 1.31. Пусть ψ1 и ψ2 — непрерывные функции на квадрируемом компакте K в плоскости xOy,причём ψ1 (x, y) 6 ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K. Тогда телоV = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y)— кубируемый компакт, и если функция f (x, y, z) интегрируема на V, а для каждой фиксированной точки(x, y) ∈ K как функция от z интегрируема на отрезке [ψ1 (x, y), ψ2 (x, y)], то функцияψ2Z(x,y)g(x, y) =(4)f (x, y, z) dzψ1 (x,y)интегрируема на V иZZZf (x, y, z) dx dy dz =VZZg(x, y) dx dy =KZZKψ2Z(x,y)ψ1 (x,y)f (x, y, z) dz  dx dy.(5) Как непрерывные функции на компакте, ψ1 и ψ2 ограничены на K. Пусть c и d — какие-нибудь числа,удовлетворяющие неравенствам c < ψ1 (x, y) и d > ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K.

Положим V ∗ = K × [c, d]. Потеореме 1.9, V ∗ — кубируемое тело, так что его граница имеет объём нуль. Следовательно, тем же свойствомобладает и её частьF = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ гр. K, ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y) .Но гр. V есть объединение множества F и графиков функций ψ1 и ψ2 . Так как эти функции интегрируемы наV, то их графики — тела нулевого объёма.

Поэтому и гр. V имеет нулевой объём, а значит, V кубируемо. Крометого, из непрерывности функций ψ1 и ψ2 и замкнутости K (так же, как в аналогичном случае в доказательстветеоремы 1.28) следует, что V замкнуто. Таким образом, V — кубируемый компакт. Положив(f (x, y, z) на V,f ∗ (x, y, z) =0 на V ∗ \Vи V ′ = [V ∗ \V], так что V ′ = V1′ ∪ V2′ , гдеV1′ = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, c 6 z 6 ψ1 (x, y) ,V2′ = (x, y, z) ∈ R3 (x, y) ∈ K, ψ2 (x, y) 6 z 6 d ,мы рассуждениями, аналогичными проведённым в доказательстве теоремы 1.28, убедимся в том, что f ∗ удовлетворяет условиям теоремы 1.30 (с заменой f на f ∗ и V на V ∗ ), иψ2Z(x,y)ZZZZZZZ Z ZdZZ f ∗ (x, y, z) dz  dx dy =f (x, y, z) dx dy dz =f ∗ (x, y, z) dx dy dz =f (x, y, z) dz  dx dy.VV∗cKKψ1 (x,y)Теорема 1.31 сводит вычисление тройного интеграла к вычислению сначала простого интеграла, затем двойного.Как мы увидим, при некоторых условиях значение тройного интеграла можно найти путём последовательного вычисления трёх простых интегралов.Будем обозначать точки (x, y) ∈ R2 одной буквой u и соответственно вместо (x, y, z) писать (u, z).Лемма 1.

Пусть ψ1 и ψ2 — непрерывные функции на компакте K в xOy, причём ψ1 (u) 6 ψ2 (u) для всехu ∈ K. Если тогда f — непрерывная функция, заданная на телеV = (u, z) ∈ R3 u ∈ K, ψ1 (u) 6 z 6 ψ2 (u) ,то функцияg(u) =ψZ2 (u)f (u, z) dzψ1 (u)24(определённая для всех u ∈ K) непрерывна на K. Как и в доказательстве теоремы 1.31 этого пункта, выберем какие-либо числа c и d, удовлетворяющиенеравенствам c < ψ1 (u) и d > ψ2 (u) для всех u ∈ K, и положим V ∗ = K × [c, d], так что V ⊂ V ∗ .

По условию, f— непрерывная функция на V. Продолжим её до непрерывной функции F на V ∗ . Это можно сделать многимиспособами; например, для каждой точки (u, z) ∈ V ∗ положимf (u, ψ1 (u)), если z < ψ1 (u),F (u, z) = f (u, z), если ψ1 (u) 6 z 6 ψ2 (u) (то есть, если (u, z) ∈ V ∗ ),f (u, ψ2 (u)), если z > ψ2 (u).Действительно, как легко проверить, тогдаF (u, z) = f (u, min(max(z, ψ1 (u)), ψ2 (u))),так что F как сложная функция, образованная с помощью непрерывных функций ψ1 , ψ2 , max, min, f , непрерывна2 . Пусть теперь u0 — фиксированная, а u — переменная точки компакта K. Так как F совпадает с f на V,тоg(u) − g(u0 ) =ψZ2 (u)F (u, z) dz −ψ1 (u)ψZ2 (u0 )F (u0 , z) dz =ψ1 (u0 )ψZ2 (u0 )[F (u, z) − F (u, z0 )] dz +ψ1 (u0 )ψZ1 (u0 )F (u, z) dz +ψ1 (u)ψZ2 (u)F (u, z) dz,ψ2 (u0 )(6)где последние три интеграла имеют смысл, поскольку пределы интегрирования лежат в [c, d] и потому точка(u, z) в каждом подинтегральном выражении принадлежит V ∗ (хотя может и не принадлежать V), а F (в отличииот f ) определена и непрерывна на всём V ∗ .

Так как при этом V ∗ — компакт, то F равномерно непрерывна наV ∗ . Поэтому, при заданном ε > 0 существует такое δ1 > 0, что если ku − u0 k < δ1 , то|F (u, z) − F (u0 , z)| <ε3[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 ) + ε]для всех z ∈ [ψ1 (u0 ), ψ2 (u0 )]. Кроме того, F ограничена на V ∗ , |F (u, z)| 6 C для всех (u, z) ∈ V ∗ . Посколькуεψ1 и ψ2 непрерывны, при том же ε существует такое δ2 > 0, что если ku − u0 k < δ2 , то |ψ1 (u) − ψ1 (u0 )| < 3Cиε|ψ2 (u) − ψ2 (u0 )| < 3C .Но тогда из (6) следует, что если ku − u0 k < min(δ1 , δ2 ), то|g(u) − g(u0 )| 6 ψZ ψZ2 (u) 1 (u0 ) |F (u, z) − F (u0 , z)| dz + |F (u, z)| dz + |F (u, z)| dz 6 ψ1 (u) ψ2 (u0 )ψZ2 (u0 )ψ1 (u0 )6ε[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 )]εεε+ C |ψ1 (u) − ψ1 (u0 )| + C |ψ2 (u) − ψ2 (u0 )| < + C+C= ε,3[ψ2 (u0 ) − ψ1 (u0 ) + ε]33C3Cтак что g непрерывна в (каждой) точке u0 компакта K. Теорема 1.32.

Пусть ϕ1 и ϕ2 — непрерывные функции на отрезкеϕ1 (x) 6 ϕ2 (x) для всех x ∈ [a, b], причём[a, b], и пусть ψ1 , ψ2 — непрерывные функции на множестве K = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x) ,причём ψ1 (x, y) 6 ψ2 (x, y) для всех (x, y) ∈ K. Тогда телоV = (x, y, z) ∈ R3 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x), ψ1 (x, y) 6 z 6 ψ2 (x, y)— кубируемый компакт и для всякой непрерывной функции f (x, y, z) на V справедлива формула ZZZZb ϕZ2 (x) ψ2Z(x,y) f (x, y, z) dx dy dz = f (x, y, z) dz  dy  dz.Vaϕ1 (x)(7)ψ1 (x,y) Так как K, по теореме 1.28 пункта 1.5.2 — квадрируемый компакт, то V, по теореме 1.31 этого пункта,— кубируемый компакт.

Будучи непрерывной на V, функция f удовлетворяет условиям теоремы 1.31 и потому2 Непрерывностьфункций max и min следует из формул max(f ; g) =251[f2+ g + |f − g|], min(f ; g) =1[f2+ g − |f − g|].справедлива формула (5). При этом, согласно лемме, функция g, определяемая формулой (4), непрерывна ипотому удовлетворяет условиям, наложенным в теореме 1.28 на функцию f .

Следовательно, в силу этой теоремы,ZZZb ϕZ2 (x)g(x, y) dx dy = g(x, y) dy  dx,Kaϕ1 (x)что в соединении с формулами (4) и (5) даёт (7). 1.7. Замена переменных в двойном и тройном интегралахРассмотрим вначале задачу преобразования двойного интегралаRRF (x, y) dx dy с помощью замены перемен-Kных вида x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), где функции ϕ и ψ служат компонентами отображения некоторого открытогоподмножества плоскости с координатами (u, v) в координатную плоскость xOy.1.7.1. Понятие регулярного отображенияОпределение 1. Отображение f из Rn в Rn , n > 2, определённое на непустом открытом множестве D,x = f (w), w = (w1 , . .

. , wn ) ∈ D, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , xi = f i (w) = f i (w1 , . . . , wn ), i = 1, n, называетсярегулярным, если:1◦ f непрерывно дифференцируемо в D; то есть, каждая функция f i (w) = f i (w1 , . . . , wn ), i = 1, n, имеетнепрерывные всюду в D все частные производные первого порядка;2◦ якобиан◦D(f 1 ,...,f n )D(w 1 ,...,w n )отображения f не равен нулю во всех точках w ∈ D;3 отображение f инъективно в D; то есть, его значения различны в различных точках w ∈ D (или, еслиf (w1 ) = f (w2 ), то w1 = w2 ∈ D).Из условий 1◦ и 2◦ на основании теоремы о локальном диффеоморфизме следует, что для любой точки w ∈ Dсуществует такая окрестность U(w) ⊂ D, в которой непрерывно дифференцируемое отображение f биективно,так что на открытом множестве f (U(w)) существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение f −1 .Таким образом, отображение f , удовлетворяющее только условиям 1◦ и 2◦ определения 1, инъективно в U(w);то есть, f — локально инъективно в D.Пример 7.1.

Характеристики

Список файлов лекций