В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Доказательство заканчивается применением теоремы 1. Следствие 1.1. Объединение, пересечение и разность двух квадрируемых фигур — квадрируемые фигуры. Пусть F есть F1 ∪ F2 , F1 ∩ F2 или F1 \F2 . По утверждению 1, во всех трёх случаях гр. F ⊂ гр. F1 ∪ гр. F2 .Но если F1 и F2 квадрируемы, то, по теореме 3, гр. F1 и гр. F2 — фигуры нулевой площади. Значит, такжегр. F1 ∪ гр. F2 , а с ним и гр. F — фигуры нулевой площади (утверждение 3), так что, снова по теореме 3, Fквадрируема.
Замечание. Утверждение следствия 1 распространяется по индукции на объединения и пересечения любыхконечных систем квадрируемых фигур.7Следствие 1.2. Всякая плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемыхкривых, квадрируема. Согласно утверждениям 4 и 3, граница такой плоской фигуры имеет нулевую площадь , и фигураквадрируема по теореме 3.
1.1.5. Свойства квадрируемых фигур◦1 Свойство аддитивности. Если F1 и F2 — квадрируемые фигуры без общих внутренних точек и F = F1 ∪F2 ,то F квадрируема и µ(F ) = µ(F1 ) + µ(F2 ). Квадрируемость фигуры F доказана в следствии 1 к теореме 3. Рассмотрим произвольное число ε > 0и такие многоугольные фигуры Pi и Qi , i = 1, 2, что Pi ⊂ Fi ⊂ Qi , i = 1, 2, и µ(Qi ) − µ(Pi ) < 2ε , i = 1, 2 (чтовозможно по теореме 1).
Тогда P1 и P2 не имеют общих внутренних точек и для P = P1 ∪ P2 справедливоµ(P ) = µ(P1 ) + µ(P2 ). Многоугольные фигуры Q1 и Q2 , возможно пересекающиеся, образуют Q = Q1 ∪ Q2и µ(Q) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ). Поскольку P ⊂ F ⊂ Q, тоµ(P1 ) + µ(P2 ) = µ(P ) 6 µ(F ) 6 µ(Q) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ).(7)С другой стороны, имеем µ(Pi ) 6 µ(Fi ) 6 µ(Qi ), i = 1, 2, иµ(P1 ) + µ(P2 ) 6 µ(F1 ) + µ(F2 ) 6 µ(Q1 ) + µ(Q2 ).(8)Объединяя (7) и (8), получим|µ(F ) − [µ(F1 ) + µ(F2 )]| 6 [µ(Q1 ) + µ(Q2 )] − [µ(P1 ) + µ(P2 )] = µ(Q1 ) − µ(P1 ) + µ(Q2 ) − µ(P2 ) <ε ε+ = ε,2 2откуда, в силу произвольности числа ε > 0, следует равенство µ(F ) = µ(F1 ) + µ(F2 ).
◦2 Свойство монотонности. Если F1 ⊂ F2 и Fi , i = 1, 2 — квадрируемые, то µ(F1 ) 6 µ(F2 ). Так как F2 = F1 ∪ (F2 \F1 ) и, по свойству 1◦ , µ(F2 ) = µ(F1 ) + µ(F2 \F1 ), то µ(F2 ) > µ(F1 ) в силуµ(F2 \F1 ) > 0. Введённое выше понятие площади называют понятием площади по Жордану или (плоской) мерой Жордана. Мера Жордана инвариантна относительно ортогональных преобразований плоскости. Она обладает такжесвойством конечной аддитивности.Теорема 1.4. Объединение F любого конечного числа не имеющих попарно общих внутренних точек квадmPрируемых фигур Fj , j = 1, m, m ∈ N, образует квадрируемую фигуру и µ(F ) =µ(Fj ).j=11.1.6.
Квадрируемые компактыТеорема 1.5. Замыкание [F ] квадрируемой фигуры F квадрируемо и имеет ту же площадь, что и F . Так как F квадрируема, то, по теореме 3, и гр. F квадрируема и µ(гр. F ) = 0. Но, согласно утверждению2, [F ] = F ∪ гр. F . Поэтому, по следствию 1 к теореме 3, и [F ] квадрируемо. Следовательно, на основании (6),пл. F 6 пл. [F ] 6 пл. F + пл. гр. F = пл. F ;то есть, пл.
[F ] = пл. F . Теорема 1.6. Замыкание квадрируемой фигуры есть квадрируемый компакт. Как замыкание оно замкнуто, а как замыкание ограниченного множества ограничено. Но замкнутое иограниченное множество на плоскости — компакт. Он квадрируем по теореме 5. 1.1.7. Кубируемые тела в R3Произвольное ограниченное множество Φ в R3 назовём телом. Многогранным телом называют объединение конечного числа ограниченных многогранников в R3 . Каждый многогранник в R3 имеет объём, которыйобладает (как и площадь многоугольника) свойствами аддитивности, инвариантности и монотонности.Рассмотрим произвольное тело Φ, а также всевозможные многогранные тела P , содержащиеся в Φ (]P [⊂ Φ)и всевозможные многогранные тела Q, содержащие Φ (Φ ⊂ Q ⊂ [Q]). Число µ∗ = µ∗ (Φ) = inf {µ(Q) |; Φ ⊂ Q},где µ(Q) обозначает объём многогранного тела Q, назовём верхним объёмом тела Φ; число µ∗ = µ∗ (Φ) =sup {µ(P ) | ]P [⊂ Φ} — нижним объёмом тела Φ, так что 0 6 µ∗ 6 µ∗ .Определение 2.
Тело Φ называют кубируемым (или имеющим объём), если µ∗ = µ∗ . При этом, числоµ = µ(Φ) = µ∗ = µ∗ называют объёмом тела Φ. Другое обозначение: µ(Φ) = об . Φ.8В полной аналогии с теоремой 1.1 доказывается следующая теорема.Теорема 1.7. Для кубируемости тела Φ необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 нашлисьтакое содержащееся в Φ многогранное тело P и такое содержащее Φ многогранное тело Q, для которыхоб . Q − об . P < ε.Определение 3. Множество точек пространства R3 назовём множеством объёма нуль, если это множествосодержится в многогранном теле сколь угодно малого объёма.Аналогично теореме 1.3 доказывается нижеследующая теорема.Теорема 1.8.
Тело Φ кубируемо тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевой объём.Утверждение 5. Всякая плоская фигура F в пространстве кубируема и имеет нулевой объём. Пусть фигура F лежит на плоскости Π в R3 . Тогда F содержится в некотором прямоугольнике Qна плоскости Π, а значит, и в содержащем Q прямоугольном параллелепипеде произвольно малой высоты, иследовательно, произвольно малого объёма. 1.1.8.
Некоторые классы кубируемых телЦилиндрическим телом называют тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими,параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.Пусть F — произвольная фигура на координатной плоскости xOy и [m, M ] — произвольный отрезок на осиOz. ТогдаF × [m, M ] = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ F, m 6 z 6 Mявляется цилиндрическим телом.Теорема 1.9. Если фигура F квадрируема, то цилиндрическое тело Φ = F × [m, M ] кубируемо и об .
Φ =(M − m)пл. F . Поскольку плоская фигура F квадрируема, то для любого числа ε > 0 можно указать такие вписаннуюε. Цилиндрические телаи описанную многоугольные фигуры P и Q, P ⊂ F ⊂ Q, что пл. Q − пл. P < M−mΦP = P × [m, M ] и ΦQ = Q × [m, M ] имеют об . ΦP = (M − m)пл. P и об . ΦQ = (M − m)пл. Q, и при этомΦP ⊂ Φ ⊂ ΦQ . Так как об .
ΦQ − об . ΦP = (M − m)(пл. Q − пл. P ) < ε, то, по теореме 6, тело Φ кубируемо.Поскольку, далее,об . ΦP = (M − m)пл. P 6 об . Φ 6 (M − m)пл. Q = об . ΦQи пл. P , пл. Q стремятся к пл. F , то об . Φ = (M − m)пл. F . Определение 4. Ступенчатым телом называют объединение конечного числа цилиндрических тел, попарноне имеющих общих внутренних точек.На основании предыдущего заключаем, что справедлива теорема:Теорема 1.10.
Если для любого числа ε > 0 можно указать такое содержащее тело Φ ступенчатое телоΦ2 , и такое содержащееся в Φ ступенчатое тело Φ1 , что об . Φ2 − об . Φ1 < ε, то тело Φ кубируемо.91.2. Понятие двойного интегралаОпределённый интеграл — интеграл по отрезку. Двойной интеграл — интеграл по квадрируемому компакту.Все рассматриваемые далее квадрируемые компакты предполагаются непустыми; некоторые из них могут иметьнулевую площадь.1.2.1. Разбиение квадрируемых компактовРазбиением T квадрируемого компакта K на координатной плоскости Π : xOy назовём всякое представлеmSние этого компакта в виде объединения конечного семейства квадрируемых компактов K =σk , у которыхk=1]σj [ ∩ ]σi [= ∅, i 6= j.
Компакты σk , k = 1, m, называются ячейками разбиения T ; площадь ячейки σk обозначим ∆σk . Наибольший из диаметров diam σk ячеек σk , k = 1, m, назовём диаметром разбиения T и обозначимсимволом d(T ).На множестве всех разбиений квадрируемого компакта K можно ввести отношение порядка, считая, чтоT ′ 6 T , если каждая ячейка разбиения T ′ является либо ячейкой разбиения T , либо объединением конечногочисла ячеек разбиения T . Говорят также, что разбиение T получено дроблением разбиения T ′ .Утверждение 1. Для любых разбиений T ′ и T ′′ компакта K существует такое его разбиение T , чтоT ′ 6 T и T ′′ 6 T . Пусть σk′ , k = 1, m — ячейки разбиения T ′ и σl′′ , l = 1, n — ячейки разбиения T ′′ .
Рассмотрим множестваA = {(k, l) | σk′ ∩ σl′′ 6= ∅}, Ak = {l | (k, l) ∈ A} , 1 6 k 6 m, и обозначим σkl = σk′ ∩ σl′′ , если (k, l) ∈ A. Тогдавсе σkl 6= ∅ и каждое σkl — квадрируемый компакт (как пересечение квадрируемых компактов). При этомсправедливы свойства:1◦ K =mSk=1σk′ ∩nSl=1σl′′ =m SnS(σk′ ∩ σl′′ ) =k=1 l=1Sσkl ;(k,l)∈A2◦ если (k1 , l1 ) и (k2 , l2 ) — различные пары в A, то ]σk1 l1 [ ∩ ]σk2 l2 [= ∅.Действительно, пусть, например, l1 6= l2 .
Тогда ]σk1 l1 [ ∩ ]σk2 l2 [ ⊂ ]σl′′1 [ ∩ ]σl′′2 [= ∅.Итак, совокупность {σkl } , (k, l) ∈ A, образует некоторое разбиение T компакта K.3 T ′ 6 T и T ′′ 6 T .nnSSSДействительно, σk′ = σk′ ∩ K = σk′ ∩σl′′ =(σk′ ∩ σl′′ ) =σkl для любого k, 1 6 k 6 m, и значит,◦l=1l=1l∈AkT ′ 6 T . Аналогично доказывается, что T ′′ 6 T .Разбиение T в доказанном утверждении принято обозначать в форме T = T ′ ∨ T ′′ .1.2.2. Размеченные разбиения квадрируемого компактаРассмотрим произвольное разбиение T квадрируемого компакта K на ячейки σk , k = 1, m. Выбирая вкаждой ячейке σk произвольную точку ζk = (ξk , ηk ), получаем набор ζ точек {ζ1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
