В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . , ζ m ),в которых Mk < f (ξ k , η k ) + пл.ε K , k = 1, m. Для размеченного разбиения Tζ интегральная сумма σ(f ; Tζ ) =mmPPf (ξ k , η k )∆σk связана с верхней суммой S(f ; T ) =Mk ∆σk отношениямиk=1k=1S(f ; T ) 6 σ(f ; Tζ ) +mε Xε∆σk = σ(f ; Tζ ) +пл. K = σ(f ; Tζ ) + ε,пл. Kпл. Kk=1или S(f ; T ) − ε < σ(f ; Tζ ). Таким образом, S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ).ζАналогично доказывается, что s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ).
ζ1.3.5. Нижний и верхний интегралы ДарбуРассмотрим произвольную функцию f (x, y), ограниченную на квадрируемом компакте K. Согласно свойству отделимости сумм Дарбу, множества {s(f ; T )} и {S(f ; T )} всех нижних и верхних сумм функции f (x, y)удовлетворяют принципу отделяющего отрезка, по которому существуют sup {s(f ; T )} = I и inf {S(f ; T )} = I иI 6 I. Числа I и I называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу функции f на компакте K.Понятно, чтоs(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T )для любого разбиения T компакта K.
Кроме того, в силу принципа отделяющего отрезка, числа I и I равныв том и только в том случае, когда для любого числа ε > 0 можно указать такие разбиения T1 и T2 компактаK, для которых разность S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε. Рассматривая теперь разбиение T = T1 ∨ T2 , так что T1 6 T иT2 6 T , заключаем на основании свойства монотонности сумм Дарбу, что S(f ; T1 ) > S(f ; T ) и s(f ; T2 ) 6 s(f ; T ),и значит, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε.Таким образом, I = I тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 можно указать такое разбиение Tкомпакта K, что0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε.(7)1.3.6. Критерии интегрируемости функции на компактеДля функции f (x, y), определённой и ограниченной на квадрируемом компакте K, рассмотрим отображенияψf : P → R, ψf (Tζ ) = s(f ; T ), Tζ ∈ P и Ψf : P → K, Ψf (Tζ ) = S(f ; T ), Tζ ∈ P.
Неравенство (3) принимает видψf (Tζ ) 6 Φf (Tζ ) 6 Ψf (Tζ ), Tζ ∈ P,где, напомним, Φf : P → R, Φf (Tζ ) = σ(f ; Tζ ).Условимся обозначать lim ψf = lim s(f ; T ) иd(T )→0d(T )→0lim Ψf = lim S(f ; T ), если пределы существуют.d(T )→013d(T )→0(3′ )Теорема 1.14. Функция f (x, y), определённая и ограниченная на квадрируемом компакте K, интегрируемана K тогда и только тогда, когда lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0. При этом,d(T )→0ZZf (x, y) dx dy = I = lim S(f ; T ) = lim s(f ; T ) = I = Id(T )→0d(T )→0K.
Достаточность. В силу свойства отделимости сумм Дарбу, существует такое число I, что s(f ; T1 ) 6I 6 S(f ; T2 ) для любых разбиений T1 и T2 компакта K. В частности,(8)s(f ; T ) 6 I 6 S(f ; T )для любого разбиения T компакта K. Присоединяя к (8) неравенства (3), получим |σ(f ; Tζ ) − I| 6 S(f ; T )−s(f ; T )для любого Tζ ∈ P. Так как, по условию, lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0, то lim |σ(f ; Tζ ) − I| = 0, или I =d(T )→0d(T )→0RRlim σ(f ; Tζ ) =f (x, y) dx dy.d(T )→0KДалее, из (8) следуют неравенства |I − s(f ; T )| 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) и |I − S(f ; T )| 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) для всехTζ ∈ P.
Как и выше, заключаем, что I = lim s(f ; T ) и I = lim S(f ; T ).d(T )→0d(T )→0RRНеобходимость. По условию, существует lim σ(f ; Tζ ) =f (x, y) dx dy = I. Рассмотрим произвольноеd(T )→0Kчисло ε > 0. По определению предела функции по базе, существует такое число δ > 0, что для любого размеченного разбиения Tζ компакта K с диаметром d(Tζ ) < δ справедливо неравенство |σ(f ; Tζ ) − I| < 2ε , илиI − 2ε < σ(f ; Tζ ) < I + 2ε , откуда, на основании свойств сумм Дарбу, имеемI−εε6 inf σ(f ; Tζ ) = s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ) 6 I +ζ22ζ(9)для всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ. Поэтому, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 ε для всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ, илиs(f ; T )] = 0.
Кроме того, на основании (9), оценки |I − s(f ; T )| 6 2ε < ε, |I − S(f ; T )| 6всех Tζ ∈ P, d(Tζ ) < δ, и следовательно, I = lim s(f ; T ) = lim S(f ; T ). d(T )→0ε2lim [S(f ; T ) −d(T )→0< ε справедливы дляd(T )→0Теорема 1.15. Для того, чтобы функция f (x, y), определённая и ограниченная на квадрируемом компакте K, была интегрируемой на K, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 нашлось такоеразбиение T компакта K, для которого 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε.
Необходимость доказана в предыдущей теореме 1.14. Для доказательства достаточности отметим,что условие теоремы совпадает с условием (7), согласно которому I = I и общее значение I = I = I равнодвойному интегралу функции f (x, y) по компакту K. 1.3.7. Геометрический смысл двойного интегралаСледствие 1.3. Если функция f (x, y) > 0 на квадрируемомплоскости Π : xOy компакте K координатнойиRRf (x, y) интегрируема на K, то её подграфик Φf = (x, y, z) 0 6 z 6 f (x, y), (x, y) ∈ K кубируема и об .
Φf =f (x, y) dx dy.KРассмотрим произвольное разбиение T компакта K на ячейки σk , k = 1, m, и обозначим0 6 mk =inf(x,y)∈σkf (x, y) 6sup f (x, y) = Mk , k = 1, m.(x,y)∈σkСогласно теореме 1.9, число mk ∆σk равно объёму цилиндрического тела Φk = σk × [0, mk ] с основанием σk ,«упирающегося снизу» в график Γf функции f (x, y). При этом, если k 6= j, то Φk и Φj не имеют общихвнутренних точек, поскольку проекции их внутренних точек на плоскость xOy являются внутренними точкамиих оснований (ячеек σk и σj ), а последние общих внутренних точек не имеют. Следовательно, «ступенчатое тело»mmSPAT =(σk × [0, mk ]), «вписанное» в подграфик Φf , кубируемо и s(f, T ) =mk ∆σk — его объём.
Совершенноk=1аналогично S(f ; T ) есть объём «ступенчатого тела» BT =mSk=1k=1(σk × [0, Mk ]), «описанного» около Φf . Но, согласнотеореме 1.15, для каждого ε > 0 существует такое разбиение T компакта K, что 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Темсамым для каждого ε > 0 существуют такие кубируемые тела A(= AT ) и B(= BT ), что A ⊂ Φf ⊂ B иоб . B − об . A < ε. А это ещё означает, что Φf кубируемо. Так как при этом s(f ; T ) = об . A 6 об .
B = S(f ; T ) и14RRs(f ; T ) 6f (x, y) dx dy 6 S(f ; T ), то об . Φf −f (x, y) dx dy 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, и поскольку это верноKKRRдля всех ε > 0, тоf (x, y) dx dy = об . Φf . RRKСледствие 1.4. График Γf функции f (x, y), интегрируемой на квадрируемом компакте K ⊂ Π, кубируеми имеет нулевой объём. Будучи интегрируемой, функция f (x, y) ограничена на K. Пусть T — произвольное разбиение компактаK с ячейками σk , k = 1, m, и mk = inf f (x, y), Mk = sup f (x, y), k = 1, m, и s(f ; T ), S(f ; T ) — нижняя иσkσkmSверхняя суммы для разбиения T . Рассмотрим тело FT =k=1Vk , где Vk = σk × [mk , Mk ], k = 1, m.
Очевидно,FT ⊃ Γf . Согласно теореме 1.9, цилиндрическое тело Vk , k = 1, m, кубируемо и об . Vk = (Mk −mk )∆σk . Поэтому,mPFT кубируемо и об . FT 6об . Vk = S(f ; T ) − s(f ; T ). По теореме 1.14, lim [S(f ; T ) − s(f ; T )] = 0. Такимd(T )→0k=1образом, Γf содержится в кубируемых телах произвольно малого объёма; то есть, является кубируемым теломнулевого объёма. 1.3.8. Интегрируемость непрерывной функцииТеорема 1.16.
Всякая непрерывная функция на квадрируемом компакте интегрируема. Пусть K — квадрируемый компакт. Если пл. K = 0, то на K интегрируема любая функция и интеграл равен нулю. Пусть теперь пл. K > 0, и f (x, y) — непрерывная функция на K. Тогда f (x, y) равномерно непрерывнана K, так что для произвольного числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любых точек ζ, θ ∈ K, расстояние d(ζ, θ) между которыми меньше δ, справедливо неравенство |f (ζ) − f (θ)| < пл.ε K . Рассмотрим произвольноеразбиение T компакта K с диаметром d(T ) < δ и с ячейками σk , k = 1, m. Так как все σk — компакты, а f (x, y)непрерывна на σk , то по теореме Вейерштрасса для каждого k, 1 6 k 6 m, существуют такие точки ζk′ , ζk′′ ∈ σk ,что mk = inf f (x, y) = f (ζk′ ) и Mk = sup f (x, y) = f (ζk′′ ), k = 1, m. При этом, d(ζk′ , ζk′′ ) 6 diam σk 6 d(T ) < δ.σkσkСледовательно,S(f ; T ) − s(f ; T ) =mXk=1(Mk − mk )∆σk =mXk=1m|f (ζk′′ ) − f (ζk′ )| ∆σk <ε X∆σk = εпл.
Kk=1и остаётся применить теорему 1.14. 1.3.9. Интегрируемость функций, точки разрыва которых образуют множестванулевой площадиТеорема 1.17. Ограниченная на квадрируемом компакте K функция f (x, y), точки разрыва которой образуют фигуру нулевой площади, интегрируема на K. Нужно рассмотреть только случай, когда пл. K > 0 и множество F ⊂ K точек разрыва функции f (x, y)не пусто, так что f (x, y) непрерывна на K\F .
Кроме того, колебание ω = ω(f ; K) функции f (x, y) на K конечнои положительно. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно лемме 1 пункта 1.1.4, найдётся сетка с шагомεh, что F ⊂]Q[, где Q — объединение элементарных квадратов Qj , j = 1, n сетки и пл. Q < min 2ω, пл. K . Тогдамножество K1 = K\]Q[ будет квадрируемым компактом с пл.
K1 > 0, на котором f (x, y) непрерывна (посколькуK1 ⊂ K\F ). Как и в доказательстве теоремы предыдущего пункта, для ε > 0 находим такое разбиение T1εкомпакта K1 с ячейками σi , i = 1, m, что ω(f ; σi ) < 2пл.K , i = 1, m. Объединение ячеек σi , i = 1, m, и компактовQj ∩ K =6 ∅, j = 1, n, образует некоторое разбиение T исходного компакта K, для которого0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) =При этом,mXω(f ; σi )∆σi <i=1иnXj=1mXi=1mXω(f ; σi )∆σi +i=1так что 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) <+ε2j=1ω(f ; Qj ∩ K)пл. (Qj ∩ K).mXεεεε∆σi =∆σi 6пл.
K =2пл. K2пл. K i=12пл. K2ω(f ; Qj ∩ K)пл. (Qj ∩ K) 6ε2nXnXj=1ω · пл. (Qj ∩ K) 6 ω · пл. Q < ω ·εε= ,2ω2= ε. В силу критерия (пункт 1.3.6), функция f (x, y) интегрируема на K. 151.4. Основные свойства двойного интеграла1.4.1. Свойство линейностиТеорема 1.18. Если функции fi (x, y), i = 1, 2, интегрируемы на квадрируемом компакте K на плоскостиΠ : xOy, то для любых λi ∈ R, i = 1, 2, функция h(x, y) = λ1 f1 (x, y) + λ2 f2 (x, y) интегрируема на K иZZZZZZ(λ1 f1 (x, y) + λ2 f2 (x, y)) dx dy = λ1f1 (x, y) dx dy + λ2f2 (x, y) dx dy.(1)KKKДля любого размеченного разбиения Tζ компакта K имеемσ(h, Tζ ) = λ1 σ(f1 ; Tζ ) + λ2 σ(f ; Tζ ),откуда, на основании свойства линейности предела по базе d(T ) → 0, получаем утверждение теоремы и формулу(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
