В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , ζm } , ζk ∈ σk , k = 1, m.Разбиение T квадрируемого компакта K, к которому присоединён некоторый набор ζ = {ζ1 , . . . , ζm } называютразмеченным разбиением компакта K и обозначают символом Tζ .На множестве P всех размеченных разбиений квадрируемого компакта K рассмотрим семейство {Bδ } множеств Bδ = {Tζ ∈ P | d(Tζ ) < δ}, δ > 0, и покажем, что семейство {Bδ } образует базу на P.Проверим выполнение первого свойства базы; то есть, что каждое множество Bδ , δ > 0, не пусто. Согласносвойству архимедовости√множества действительных чисел, для любого числа δ > 0 существует такое натуральное число n, что 2n > δ2 .
Рассмотрим на координатной плоскости Π сетку шага h = 21n и обозначим Bn (K)объединение всех элементарных квадратов Qk , k = 1, m, этой сетки, у которых ]Qk [ ∩ K =6 ∅. Тогда многоугольная фигура Bn (K) ⊃ K. Обозначим σk = K ∩ Qk , k = 1, m. Так как ]Qi [ ∩ ]Qj [= ∅, i 6= j, то ]σi [ ∩ ]σj [= ∅, i 6= j.Таким образом, компактыσk , k = 1, m, служат ячейками некоторого разбиения T компакта K, у которого√2d(T ) 6 diam(Qk ) = 2n < δ, k = 1, m, и следовательно, множество Bδ 6= ∅ для любого δ > 0.Прежде, чем проверить выполнение второго свойства базы, заметим, что Bδ1 ⊂ Bδ2 для любых 0 < δ1 6 δ2 ,поскольку для каждого элемента Tζ ∈ Bδ1 имеем d(Tζ ) < δ1 6 δ2 , и следовательно, Tζ ∈ Bδ2 . Теперь, дляпроизвольных δ1 > 0 и δ2 > 0 выберем δ3 = min(δ1 , δ2 ), δ3 > 0, и, по предыдущему, Bδ3 ⊂ Bδ1 ∩ Bδ2 .База {Bδ } на P имеет специальное обозначение d(T ) → 0.101.2.3. Интегральные суммы РиманаРассмотрим на квадрируемом компакте K произвольную функцию f (x, y).
Для любого размеченного разбиения Tζ компакта K с ячейками σk , k = 1, m, и набором ζ = (ζ1 , . . . , ζm ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m,числоmXσ(f ; Tζ ) =f (ξk , ηk )∆σk(1)k=1называют интегральной суммой Римана функции f (x, y), отвечающей размеченному разбиению Tζ компактаK.Таким образом, произвольная функция f (x, y), определённая на квадрируемом компакте K, порождает некоторое отображение Φf : P → R, определяемое условием Φf (Tζ ) = σ(f ; Tζ ), Tζ ∈ P, в котором числа σ(f : Tζ )задаются формулой (1).1.2.4. Двойной интеграл Римана по квадрируемому компактуОпределение 1. Число I ∈ R называют двойным интегралом функции f (x, y) по квадрируемому компактуK, если I = lim Φf . Обозначения:d(T )→0I=ZZf (x, y)dσ =KZZf (x, y) dx dy = lim σ(f ; Tζ ).d(T )→0KОпределение 1’.
Число I ∈ R называют двойным интегралом функции f (x, y) по квадрируемому компактуK, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всякого размеченного разбиения Tζкомпакта K, диаметр d(Tζ ) которого меньше δ, справедливо неравенствоnX|I − σ(f ; Tζ )| = I −f (ξk , ηk )∆σk < ε.(2)k=1По своей форме определения 1 и 1’ двойного интеграла аналогичны определению одномерного интегралаРимана на отрезке. Но в одномерном случае из условия, аналогичного условию (2), следует свойство ограниченность интегрируемой функции на отрезке. В многомерном случае ситуация сложнее. Имеет место следующееутверждение.Утверждение 1. ЕслиRR компакт K имеет нулевую площадь, то для любой функции f (x, y), определённойf (x, y) dx dy = 0.на K, двойной интегралKРассмотрим произвольное размеченное разбиение Tζ компакта K с ячейками σk , k = 1, m, и наборомmSζ точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m.
Так как K =σk и пл. K = 0, то пл. σk = ∆σk = 0, k = 1, m. Поэтомуинтегральная сумма σ(f ; Tζ ) =Tζ ∈ P, и следовательно,limd(T )→0nPk=1f (ξk , ηk )∆σk = 0 для любого Tζ ∈ P, так что Φf : P → R, Φf (Tζ ) = 0,k=1Φf =0. Отмеченное обстоятельство заставляет нас в дальнейшем изучении сузить множество функций, имеющихдвойные интегралы по квадрируемым компактам, дополнительным условием их ограниченности на компактах.Определение 2. Функцию f (x, y) называют интегрируемой по Риману на квадрируемом компакте K, еслиона ограничена на K и обладает двойным интегралом по K (называемым в этом случае двойным интеграломРимана).Так как, по определению, двойной интеграл есть предел по базе некоторого отображения (функции), то всякая функция, интегрируема на квадрируемом компакте, обладает единственным двойным интегралом Римана.1.2.5. Вычисление площади квадрируемого компактаРассмотрим произвольный квадрируемый компакт K.
Интегральные суммы σ(f0 ; Tζ ) функции f0 (x, y) = 1,nnPP(x, y) ∈ K, для любого Tζ ∈ P с ячейками σk , k = 1, m, имеют вид σ(f0 , Tζ ) =f0 (ξk , ηk )∆σk =∆σk . Таккак ]σi [ ∩ ]σj [= ∅, i 6= j, и K =mSσk , то по теореме 1.4,k=1mPk=111k=1k=1∆σk = пл. K, и значит, σ(f0 ; Tζ ) = пл. K для всехTζ ∈ P. Таким образом, отображение Φf0 : P → R, Φf0 (Tζ ) = пл. K, Tζ ∈ P — постоянное, и поэтому,имеетlim Φf0 = пл. K. Итак,d(T )→0ZZZZпл. K =1 · dx dy =dx dy.KKАналогично доказывается, чтоRRдля любой постоянной функции fRR(x, y) = c, c ∈ R, на квадрируемом компактеK существует двойной интегралc dx dy = c · пл. K; в частности,0 dx dy = 0.KK1.3. Теория Дарбу двойного интеграла Римана1.3.1. Суммы ДарбуПусть функция f (x, y) определена и ограничена на квадрируемом компакте K плоскости Π : xOy.
Рассмотримпроизвольное разбиение T компакта K на квадрируемые ячейки σk , k = 1, m. Тогда существуют числаmk =inf(x,y)∈σkи числаs(f ; T ) =f (x, y), Mk =supf (x, y), k = 1, m(1)(x,y)∈σkmXmk ∆σk , S(f ; T ) =k=1mXMk ∆σk ,k=1называемые, соответственно, нижней и верхней суммами Дарбу функции f , отвечающими разбиению T .
Поскольку mk 6 Mk и ∆σk > 0, k = 1, m, то s(f ; T ) 6 S(f ; T ) для любого разбиения T компакта K.Известно (см. материал первого семестра), что разность Mk − mk > 0 равна колебанию ω(f ; σk ) функции fна множестве σk . Поэтому0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) =mXk=1(Mk − mk )∆σk =mXω(f ; σk )∆σk .(2)k=1Рассмотрим произвольный набор ζ = (ζ1 , .
. . , ζm ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ σk , k = 1, m, и интегральную суммуσ(f ; Tζ ). Поскольку mk 6 f (ξk , ηk ) 6 Mk для любого k, 1 6 k 6 m, то заключаем, чтоs(f ; T ) 6 σ(f ; Tζ ) 6 S(f ; T )(3)для любого разбиения T компакта K и любого набора точек ζ = (ζ1 , . .
. , ζm ).1.3.2. Свойство монотонности сумм ДарбуТеорема 1.11. Если разбиение T ′ квадрируемого компакта K получено дроблением его разбиения T ; тоесть, T 6 T ′ , то s(f ; T ′ ) > s(f ; T ) и S(f ; T ′) 6 S(f ; T ). Утверждение теоремы достаточно проверить в случае, когда разбиение T ′ получено путём дроблениякакой-то единственной ячейки σk , 1 6 k 6 m, разбиения T компакта K на две ячейки σk1 и σk2 , σk = σk1 ∪ σk2 ,]σk1 [ ∩ ]σk2 [= ∅. Тогда числа (1) иmik =infi(x,y)∈σkf (x, y), Mik =sup f (x, y), i = 1, 2,i(x,y)∈σkсвязаны отношениямиmik > mk и Mki 6 Mk , i = 1, 2.(4)Понятно, что для S(f ; T ′ ), s(f ; T ′ ) и S(f ; T ), s(f ; T ) справедливы соотношенияS(f ; T ′) − S(f ; T ) = Mk1 ∆σk1 + Mk2 ∆σk2 − Mk ∆σk(5)s(f ; T ′ ) − s(f ; T ) = m1k ∆σk1 + m2k ∆σk2 − mk ∆σk ,(6)ив которых ∆σki = пл. σki , i = 1, 2, и ∆σk = ∆σk1 + ∆σk2 .На основании (4)–(6) и свойства ∆σki > 0 заключаем, чтоS(f ; T ′ ) − S(f ; T ) 6 Mk ∆σk1 + Mk ∆σk2 − Mk ∆σk = 0иs(f ; T ′ ) − s(f ; T ) > mk ∆σk1 + mk ∆σk2 − mk ∆σk = 0.121.3.3.
Свойство отделимости сумм ДарбуТеорема 1.12. Для любых разбиений T1 и T2 квадрируемого компакта K справедливо неравенство s(f ; T1 ) 6S(f ; T2 ). В силу утверждения 1 пункта 3.1, для разбиения T = T1 ∨ T2 имеем Ti 6 T, i = 1, 2. По теоремепредыдущего пункта и (3), s(f ; T1 ) 6 s(f ; T ) 6 S(f ; T ) 6 S(f ; T2 ). 1.3.4. Основное свойство сумм ДарбуТеорема 1.13. Пусть функция f (x, y) определена и ограничена на квадрируемом компакте K.
Тогда, длялюбого фиксированного разбиения T компакта K её верхняя (нижняя) сумма S(f ; T ) (s(f ; T )) равна точнойверхней (точной нижней) грани множества {σ(f ; Tζ )} интегральных сумм функции f , отвечающих этомуразбиению при всевозможных наборах точек ζ; то есть, S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ) и s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ).ζζ Если пл.
K = 0, то, по определению, s(f ; T ) = σ(f ; Tζ ) = S(f ; T ) = 0 для любого размеченного разбиенияTζ компакта K, и утверждение теоремы доказано. Пусть теперь пл. K > 0. Дальнейшее доказательство проведёмдля верхней суммы S(f ; T ). Обозначим ячейки фиксированного разбиения T через σk , k = 1, m. Из неравенств(3) следует, что число S(f ; T ) служит верхней гранью для множества {σ(f ; Tζ )} при всевозможных наборахζ = (ζ1 , . . . , ζm ), ζk ∈ σk , k = 1, m.Рассмотрим теперь произвольное число ε > 0. Так как Mk = sup f , k = 1, m, то на каждой σk существуетσkтакая точка ζ k = (ξ k , η k ) ∈ σk , что Mk − пл.ε K < f (ξ k , η k ) 6 Mk , k = 1, m. Получим набор ζ точек (ζ 1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
