В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.2.3.3. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................................................3636363637373738383839414242424344Поверхностные интегралы3.1. Элементы теории поверхностей . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1. Векторная функция двух переменных . . . . . . . . . . . . . .3.1.2. Поверхность в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . . . . .3.1.4. Явные представления поверхности . . . . . . .

. . . . . . . . .3.2. Ориентируемые поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Ориентация гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2. Сохранение ориентации при допустимых отображениях . . . .3.2.3. Ориентация графика функции двух переменных . . . . . .

. .3.2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5. Склеивание поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.6. Ориентация склеенной поверхности . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.3.1. Первая квадратичная форма поверхности . . . . . . . . . . . .3.3.2. Площадь гладкой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . .3.3.4. Поверхностный интеграл второго рода . . . . . . . .

. . . . . .3.3.5. Поверхностные интегралы по кусочно–гладким поверхностям..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................45454546464849495050505152535353545557Основные операции теории поля4.1.

Инварианты линейного оператора . . . .4.1.1. Взаимные базисы векторов в R3 .4.1.2. Преобразование базисов в R3 . . .4.1.3. Преобразование координат . . . . .4.1.4. Дивергенция линейного оператора.....................................................................................575757575858...............3.................................................................................................4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.1.5.

Ротор линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.6. Координатная запись div A и rot A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Характеристики дифференцируемых полей . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .4.2.1. Дифференцируемые скалярные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2. Производная по направлению скалярного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3. Выражение для градиента в декартовой системе координат . . . . . . .

. . . . . . .4.2.4. Дифференцируемые векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.5. Производная векторного поля по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.6. Инварианты векторного поля в декартовой системе координат . . . . . . . . . . . .4.2.7.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Формулировка теоремы и её частный случай . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Инвариантная запись формулы (1) в случае I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3. Случай II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1. Формулировка теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2. Случай I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.3. Инвариантная запись формулы Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.5. Случай II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.6. Замечание. Понятие внешнего дифференцирования дифференциальной формы в R3Формула Остроградского . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Инвариантная запись формулы Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.4. Замечание. О дифференцировании 2–формы в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Точные и замкнутые дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.4.6.2. Точные дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.3. Замкнутые дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6.4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .4............................................................................................................................59595959606060616162626263636464646566666767676869696969707172Часть 6.Интегрирование в Rm, m > 1.1.

Двойной и кратные интегралыВ сравнении с предыдущими семестрами, чтение курса математического анализа в четвёртом семестре имеетследующие особенности. Прежде всего, значительная часть излагаемого материала носит геометрический характер и исчерпывающие аналитические доказательства часто становятся весьма громоздкими. Далее, уменьшено число недельных лекционных часов (на одну четверть). И наконец, параллельно читается полный годовойкурс дифференциальной геометрии.Указанные обстоятельства заставляют меня при изложении многих результатов опускать в их доказательствах значительную часть деталей (в основном геометрического характера) в расчёте на здравый смысл слушателей и на ранее приобретённые ими (я надеюсь!) профессиональные знания, которые позволяют восстановитьэти детали самостоятельно.

Кроме того, я широко пользуюсь плодами курса дифференциальной геометрии.1.1. Мера Жордана на плоскости и в пространстве1.1.1. ТерминологияРассмотрим произвольное множество A в пространстве Rm , m > 1. Символом [A] обозначим множество всехточек прикосновения множества A; то есть, [A] — замыкание множества A и замкнутое множество в Rm , A ⊂ [A].Символом ]A[ обозначим совокупность всех внутренних точек множества A, так что ]A[⊂ A (возможно, ]A[= ∅).Тогда множество [A]\]A[ называют границей множества A, обозначают гр. A (или ∂A), а его точки называютграничными точками множества A. Если обозначить Rm \A =⌉A и заметить, что ⌉]A[= [⌉A], тогр.

А = [A]\]A[= [A]∩⌉]A[= [A] ∩ [⌉A].(1)Из последней формулы непосредственно следует, что граница всякого множества (как пересечение замкнутыхмножеств) замкнута, и чтогр. A = гр. ⌉А.(2)Утверждение 1. Граница объединения, пересечения и разности двух множеств содержится в объединенииих границ. Заметим, что [A ∪ B] = [A] ∪ [B]. В силу (1),гр. (A ∪ B) = [A ∪ B] ∩ [ ⌉(A ∪ B)] = ([A] ∪ [B]) ∩ [ ⌉A∩⌉B] ⊂ ([A] ∪ [B]) ∩ ([ ⌉A] ∩ [ ⌉B]) = ([A] ∩ [ ⌉A] ∩ [ ⌉B])∪∪ ([B] ∩ [ ⌉B] ∩ [ ⌉A]) ⊂ ([A] ∩ [ ⌉A]) ∪ ([B] ∩ [ ⌉B]) = гр. А ∪ гр. B.Далее, в силу доказанного и (2),гр. (A ∩ B) = гр. ⌉(A ∩ B) = гр.

Характеристики

Список файлов лекций