В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Отображение f (r, ϕ) открытого множества D0 = (r, ϕ) ∈ R2 r > 0 , задаваемое компонентами x = f 1 (r, ϕ) = r cos ϕ, y = f 2 (r, ϕ) = r sin ϕ, имеет в D0 непрерывные производные x′r = (f 1 )′r (r, ϕ) = cos ϕ,x′ϕ = (f 1 )′ϕ (r, ϕ) = −r sin ϕ, yr′ = (f 2 )′r (r, ϕ) = sin ϕ, yϕ′ = (f 2 )′ϕ (r, ϕ) = r cos ϕ и удовлетворяет в D0 условиям 1◦и 2◦ из определения 1, посколькуD(f 1 , f 2 ) cos ϕsin ϕ == r > 0,−r sin ϕr cos ϕD(r, ϕ)но f не удовлетворяет условию 3◦ , так как f (r, ϕ) = f (r, ϕ + 2π), и следовательно, f не является регулярнымотображением в D0 .Этот пример показывает, что условие 3◦ в определении 1 не следует из его условий 1◦ и 2◦ .
С другой стороны,из условия 3◦ следует, что на открытом множестве f (D) ⊂ R2 существует отображение g : f (D) → R2 , обратноек f , g = f −1 ; то есть, g : f (D) → D.1.7.2. Основные свойства регулярных отображенийТеорема 1.33. Если отображение f : D → Rn непустого открытого множества D ⊂ Rn является регулярным отображением, то1◦ образ каждого открытого множества, содержащегося в D, является открытым множеством; в частности, f (D) — открытое множество;◦2 отображение, обратное к f и определённое на открытом множестве f (D) ⊂ Rn — также регулярное;3◦ образ границы каждого компакта, содержащегося в D, является границей образа этого компакта, а образвнутренности — внутренностью.
Утверждение (1) доказано во втором семестре для любого непрерывно дифференцируемого отображения.2◦ . Рассмотрим на открытом множестве f (D) = Dg обратное отображение f −1 = g. В силу теоремы одифференцируемости обратного отображения, отображение g непрерывно дифференцируемо в каждой точке26x ∈ Dg . Кроме того, якобианD(g1 ,...,gn )D(x1 ,...,xn )=1D(f 1 ,...,f n )D(w1 ,...,wn )6= 0 в каждой точке x ∈ Dg ; то есть, выполнены условия(1) и (2) в определении 1. Далее, если g(x1 ) = g(x2 ), то (f ◦ g)(x1 ) = (f ◦ g)(x2 ) и x1 = x2 ; то есть, отображениеg инъективно в Dg . Итак, выполнены все три условия в определении 1 регулярного отображения.3◦ . Пусть K — произвольный компакт, содержащийся в D.
Так как f (]K[) ⊂ f (K) и f (]K[) — открытое множество (утверждение (1)), то f (]K[) ⊂]f (K)[. Далее, так как f непрерывно, то (см. материал второго семестра)f (K) — компакт (замкнутое и ограниченное множество в Rn ). Поэтому, гр. f (K) ⊂ f (K). Но K = гр. K∪]K[.Следовательно,гр.
f (K) ⊂ f (K) = f (гр. K) ∪ f (]K[) ⊂ f (гр. K)∪]f (K)[.Поскольку гр. f (K) не пересекается с ]f (K)[, то заключаем, чтогр. f (K) ⊂ f (гр. K).(1)С другой стороны, K = g(f (K)). Так как f (K) — компакт, а g (по утверждению (2)) регулярно, то по толькочто доказанному (но примененному к f (K) вместо K и к g вместо f ), гр. K = гр. g(f (K)) ⊂ g(гр. f (K)), и поэтомуf (гр. K) ⊂ f (g(гр. f (K))) = гр.
f (K).(2)Сопоставляя (1) и (2), заключаем, что f (гр. K) = гр. f (K). Наконец, так какf (гр. K) ∪ f (]K[) = f (гр. K∪]K[) = f (K) = гр. f (K)∪]f (K)[,причём f (гр. K) = гр. f (K), f (]K[) ⊂]f (K)[ и гр. f (K) не пересекаются с ]f (K)[, то ]f (K)[= f (]K[). Замечание. При выполнении условий теоремы 1.33, образ f (Q) каждой области Q ⊂ D — область. Действительно, по теореме, f (Q) вместе с Q — открытое множество.
Так как при этом Q ещё и связано, то, всилу непрерывности f , f (Q) тоже связано (см. материал второго семестра). Таким образом, f (Q) — область. Вчастности, если D — область, то и f (D) — область.1.7.3. Площадь параллелограммаНа координатной плоскости uOv, w = (u, v), с правойкоординат рассмотрим параллелограмм P , системой u1u2образованный упорядоченной парой векторов r 1 =и r2 =. Из линейной алгебры известно, что P —v1v2квадрируемая фигура и его площадьu 1 u 2 .пл.
P = (3)v1 v2 1.7.4. Изменение площади параллелограмма при аффинном отображенииАффинное отображение A координатной плоскости uOv в координатную плоскость xOy задаётся формуламивидаx = a11 u + a12 v + a1(4)y = a21 u + a22 v + a2 .a11 a12∂y∂y∂xТак как a11 = ∂u, a12 = ∂x,a=,a=,томатрицаЯкобиотображенияAимеетвидA=и2122∂v∂u∂va21 a22якобиан D(x,y)D(u,v) отображения A совпадает с определителем det A матрицы A. Таким образом, поскольку det A 6= 0,отображение A, задаваемое формулами (4), регулярное.Теорема 1.34. Для любого параллелограмма P и любого аффинного отображения A, задаваемого формулами (4), параллелограмм A(P ) имеет площадь пл. A(P ) = det A · пл. P . Не ограничивая общности, считаем векторы r 1 и r 2 отложенными от начала координат (поскольку свойство квадрируемости и величина площади параллелограмма не зависит от параллельного переноса в плоскостиuOv).
Тогда при отображении A получаем векторы A(r 1 ) и A(r 2 ), отложенные от точки O(a1 , a2 ) и координатамиxi − a1 = a11 ui + a12 vi , yi − a2 = a21 ui + a22 vi , i = 1, 2. Следовательно, согласно (3), x − a1 x2 − a1 a11 u1 + a12 v1 a11 u2 + a12 v2 a11 a12 u1 u2 ==· = det A · пл. P,пл. A(P ) = 1y1 − a2 y2 − a2 a21 u1 + a22 v1 a21 u2 + a22 v2 a21 a22 v1 v2 где использовано правило умножения определителей. По доказанной теореме, |пл. A(P )| = |det A| · |пл. P |. В дальнейшем пары векторов, на которые натянутыпараллелограммы, не будут считаться упорядоченными, и поэтому под площадью параллелограмма всегда будетпониматься абсолютная величина.271.7.5. Изменение площади квадрируемых фигур при аффинном отображенииТеорема 1.35. Если F — квадрируемая фигура на плоскости Π : uOv и A — аффинное отображение, задаваемое формулами (4), то образ A(F ) — квадрируемая фигура и пл. A(F ) = |det A| · пл. F .
Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно лемме 1, пункт 1.1.4, на Π существует такая сетка сшагом h, с помощью объединения конечного числа элементарных квадратов qn , n ∈ N, которой можно получитьмногоугольные фигуры PF и QF , чтобы PF ⊂ F ⊂ QF и пл. QF −пл. PF < |detε A| . Образами квадратов qn , n ∈ N,при отображении A будут параллелограммы A(qn ), n ∈ N, попарно без общих внутренних точек, получающиесядруг из друга параллельным переносом, и в совокупности накрывающие Π. Тогда A(PF ) ⊂ A(F ) ⊂ A(QF )и фигуры A(PF ), A(QF ) квадрируемы, так как они состоят из конечного числа параллелограммов без общихвнутренних точек. Кроме того, по теореме 1.34 и свойству аддитивности площади, пл.
A(PF ) = |det A| пл. PFи пл. A(QF ) = |det A| пл. QF . Поэтом, пл. A(QF ) − пл. A(PF ) = |det A| (пл. QF − пл. PF ) < |det A| |detε A| = ε.Последнее означает, что фигура A(F ) квадрируема и её площадьZZпл. A(F ) = lim пл. A(QF ) = |det A| lim пл. A(QF ) = |det A| пл. F =|det A| du dv.h→0h→0F1.7.6. Изменение объёма параллелепипеда и кубируемой фигуры в Rn , n > 1, приаффинных отображенияхРассмотрим в Rn , n > 2, набор из n векторов rk = (a1k , a2k , . . . , ank ), k = 1, n.
Из линейной алгебры известно,что объём параллелепипеда P, натянутого на векторы r k , k = 1, n, вычисляется по формуле 1 a1 . . . an1 . . . . . . . . . . . ..∆n = . .1. . . . . . . . .n. a n . . . an Аффинное отображение A пространства Rn задаётся некоторой матрицей A = (aij ), i = 1, n, j = 1, n, сdet A 6= 0 и некоторым вектором a = (a1 , . . .
, an ). Как и в пункте 1.7.4, проверяется, что параллелепипед A(P)кубируем и его объём вычисляется по формуле D(x1 , x2 , . . . , xn ) · об . P.об . A(P) = |det A| об . P = D(u1 , u2 , . . . , un ) Аналогично теореме 1.35, утверждение справедливо для произвольного кубируемого тела V в Rn ; то есть,об . A(V) = |det A| об . P.1.7.7. Сохранение квадрируемости (кубируемости) при регулярных отображенияхРассмотрим произвольное регулярное отображение f : D → Π1 , Π1 : xOy, D ⊂ Π, D 6= ∅ — открытое множество на Π : uOv, задаваемое компонентами f (u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v)), x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), (u, v) ∈ D.Символом Jf = Jf (u, v) обозначим якобиан отображения f .
По определению, 1 ∂f∂f 1 ∂u∂v2 .Jf (u, v) = ∂f 2 ∂f∂u∂vИмеет место следующая теорема.Теорема 1.36. Для любого квадрируемого компакта K, содержащегося в открытом множестве D егообраз f (K) при регулярном отображении f с областью определения Df = D — квадрируемый компакт исправедлива формулаZZпл. f (K) =|Jf (u, v)| du dv.(5)KВ частном случае, когда отображение f аффинное, f (u, v) = A(u, v), формула (5) доказана в пункте 1.7.5,теорема 1.35:ZZпл. A(K) = |det A| · пл. K = |JA (u, v)| · пл. K =|JA (u, v)| du dv.K28Для изложения доказательства в общем случае у меня нет времени: помимо причин, указанных в самомначале главы, волею календаря у меня пропадают три лекции, приходящиеся на праздничные дни.Пусть теперь x = f (w) — произвольное регулярное отображение непустого открытого множества D пространства Rn , n > 2, в себя, задаваемое компонентами (f1 (w), .
. . , fn (w)), w = (u1 , . . . , un ) ∈ D, xi = fi (w) =fi (u1 , . . . , un ), i = 1, n, и K — произвольный кубируемый компакт, содержащийся в D. Как обычно, Jf (u1 , . . . , un ) =D(f1 ,...,fn )D(u1 ,...,un ) — якобиан отображения f . Аналогом теоремы 1.36 служит нижеследующая теорема.Теорема 1.37. Для любого кубируемого компакта K ⊂ D его образ f (K) — кубируемый компакт и справедлива формулаZZ D(f1 , . . . , fn ) 1 du . . .
dun .об . f (K) = · · · D(u1 , . . . , un ) K1.7.8. Основная теорема о замене переменных в двойном интегралеТеорема 1.38. Пусть f (w) = f (u, v) — произвольное регулярное отображение непустого открытого множества D на координатной плоскости uOv и K — квадрируемый компакт, содержащийся в открытом множестве f (D) на координатной плоскости xOy. Функция F (x, y) интегрируема на K тогда и только тогда,когда функция G(u, v) = (F ◦ f )(u, v) · |Jf (u, v)| интегрируема на f −1 (K) и справедлива формулаZZZZF (x, y) dx dy =(F ◦ f )(u, v) |Jf (u, v)| du dv.(6)Kf −1 (K)Доказательство проведём для частного случая f (w) = A(w) = A(u, v) аффинного отображения плоскоa1.
В этом случае |Jf (u, v)| = |det A| > 0 —сти uOv, задаваемого матрицей A = (aij ), i, j = 1, 2, и векторомa2некоторое число и 1Jf −1 (x, y) = det A−1 =.|det A|1.8. Формула Эйлера, связывающая гамма– и бета–функции1.8.1.+∞+∞ZZZR2s−1 −t2s−1 −x2Γ(s) =t e dt = 2xedx = lim2x2s−1 e−x dx = lim Γ(s; R), s > 0,R→+∞00R→+∞(1)02где произведена замена переменной t = x , иB(p, q) =Z10πxp−1 (1 − x)q−1 dx =Z202 sin2p−1 ϕ · cos2q−1 ϕ dϕ, p > 0, q > 0,(2)где произведена замена переменной x = sin2 ϕ.Известно, что Γ(s + 1) = sΓ(s), s > 0, а также, что B(p, q) = B(q, p), что p > 0, q > 0, и справедливаформула приведения B(p, q) = p+qp B(p + 1, q), p > 0, q > 0, которая доказывается интегрированием по частям внесобственном интеграле (2).1.8.2.2На плоскости R с декартовыми координатами Oxy рассмотрим квадратQ(R) = (x, y) ∈ R2 0 6 x 6 R, 0 6 y 6 R ,R > 0, и вписанный в него круговой сектор S(R) = (x, y) ∈ R2 x2 + y 2 6 R2 , x > 0, y > 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
