В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда квадратQ R2 вписан в сектор S(R), так что Q R2 ⊂ S(R) ⊂ Q(R).291.8.3. Теорема ЭйлераB(p, q) =Γ(p)Γ(q), p > 0, q > 0.Γ(p + q)Доказательство теоремы разобьём на два случая.1.8.4. Случай 1: p > 1, q > 1222Рассмотрим на плоскости R непрерывную функцию f (x, y) = 4x2p−1 y 2q−1 e−x e−y . Поскольку f (x, y) > 0для всех (x, y) ∈ Q(R), то согласно свойствам монотонности и аддитивности двойного интегралаZZZZZZf (x, y) dx dy 6f (x, y) dx dy 6f (x, y) dx dy, R > 0.(3)Q(R/2)S(R)Q(R)Представляя двойной интеграл в виде повторных и используя обозначения из формулы (1), получимZZf (x, y) dx dy =Q(R)ZR2p−1 −x22xe0dxZR022y 2q−1 e−x dx = Γ(p; R) · Γ(q; R), R > 0.(4)Аналогично,ZZQ(R/2) RRf (x, y) dx dy = Γ p;Γ q;.22(5)В среднем интеграле формулы (3) переходим к полярным координатам x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, и сводим егок повторным интегралам, зная, что модуль якобиана отображения равен r.
С учётом обозначений в формулах(1) и (2) и свойства симметричности B–функции, получимZZS(R)Zπ/2ZR22q−12p−1f (x, y) dx dy =2 sinϕ cosϕ dϕ 2r2(p+q)−1 e−r dr = B(q, p) · Γ(p + q; R) = B(p, q) · Γ(p + q; R). (6)00Подставляя выражения (4), (5) и (6) в неравенства (3), получим RRΓ q;6 B(p, q) Γ(p + q; R) 6 Γ(p; R) Γ(q; R), R > 0.Γ p;22(7)Переходя в неравенстве (7) к пределу при R → +∞ и используя формулу (1), получимΓ(p) Γ(q) 6 B(p, q) Γ(p + q) 6 Γ(p) Γ(q),откудаB(p, q) =Γ(p) Γ(q), p > 1, q > 1.Γ(p + q)1.8.5.
Случай 2: p > 0, q > 0 — произвольныеИспользуя формулы приведения для B–функции, функциональное уравнение для Γ–функции и утверждениеиз предыдущего пункта, получимB(p, q) =p+qp+q p+q+1p + q p + q + 1 Γ(p + 1)Γ(q + 1)B(p + 1, q) =B(p + 1, q + 1) ==ppqpqΓ(p + q + 2)p+qp+q+1p Γ(p) q Γ(q)Γ(p) Γ(q)==, p > 0, q > 0.pq(p + q + 1)(p + q)Γ(p + q)Γ(p + q)301.9. Кратные несобственные интегралы1.9.1. Основные понятияПусть D — произвольное непустое открытое множество в пространстве Rm , m = 2, 3.Определение 1.
Совокупность (систему) компактов {Kn }, n ∈ N, назовём исчерпыванием множества D,если:1◦ Kn ⊂]Kn+1 [⊂ Kn+1 ⊂ D для всех n ∈ N;∞S2◦Kn = D.n=1Из этого определения, в частности, следует, что для любой точки x0 ∈ D существует такой индекс n ∈ N, чтоx0 ∈ Kn и компакт Kn содержит некоторую окрестность точки x0 (содержит некоторый шар U(x0 , δ), δ > 0).Пример 9.1.
Для произвольного открытого множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, множества1, l ∈ N,Kl = x ∈ D dm (0, x) 6 l, dm (x, гр. D) >lявляются компактами (как замкнутые и ограниченные множества в Rm ), а система {Kl ; l ∈ N} образует исчерпывание множества D.Определение 2. Систему компактов {Kn ; n ∈ N} назовём квадрируемым (кубируемым) исчерпываниемоткрытого множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, если эта система исчерпывает D и каждый компакт Kn , n ∈ N,квадрируем (кубируем).Пусть на открытом множестве D ⊂ Rm задана функция f (x) = f (x1 , .
. . , xm ), интегрируемаяна любомRквадрируемом (кубируемом) компакте K ⊂ D, так что существует m–кратный интеграл f (x) dx функции f поKкомпакту K.Определение 3. Если для каждого квадрируемого (кубируемого) исчерпывания {Kn ; n ∈ N} открытогомножества D ⊂ Rm числовая последовательностьZan =f (x) dx, n ∈ N,(1)Knимеетlim an = I и число I не зависит от выбора исчерпывания {Kn ; n ∈ N}, то I называют несобственнымRинтегралом функции f на открытом множестве D и обозначают I = f (x) dx, гдеn→+∞DZf (x) dx =DZZDf (x, y) dx dy илиZf (x) dx =DZZZf (x, y, z) dx dy dz.(2)DПри этом несобственный интеграл (2) называют сходящимся.Если для некоторой последовательности вида (1) не существует предела, или некоторые две последовательности вида (1) имеют различные пределы, то несобственный интеграл (2) называют расходящимся.Из определений 1–3 и линейного свойства предела последовательности непосредственно следует, Rчто несобственный интеграл (2) обладает свойством линейности: если существуют несобственные интегралы f (x) dx иDRRg(x) dx, то для любых чисел λ1 , λ2 ∈ R существует несобственный интеграл (λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx иDDZ(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx = λ1DZDf (x) dx + λ2Zg(x) dx.D1.9.2.
Критерий сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функцииТеорема 1.39. Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) интегрируема на каждом квадрируемом (кубируемом)mкомпакте, принадлежащемR открытому множеству D ⊂ R , m = 2, 3, и f (x) > 0 для всех точек x ∈ D, тонесобственный интеграл f (x) dx сходится в том и только в том случае, когда существует хотя бы одноDквадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Kn ; n ∈ N} множества D, для которого числовая последовательность (1) ограничена.31Необходимость. Пусть существуетRf (x) dx. ТогдаDRf (x) dx = limRn→+∞ KDf (x) dx для любого квадриру-nемого (кубируемого) исчерпывания {Kn ; n ∈ N} множества D, так что числовые последовательности вида (1)сходящиеся, а следовательно, и ограниченные.Достаточность. Пусть существует некоторое квадрируемое (кубируемое) исчерпывание{Kn ; n ∈ N} открыRтого множества D ⊂ Rm , m = 2, 3, для которого последовательность (an ), an =f (x) dx, n ∈ N, ограничена.Так как Kn ⊂ Kn+1 , n ∈ N, и f (x) > 0, x ∈ D, тоZZ0 6 an =f (x) dx 6KnKnf (x) dx = an+1 ,Kn+1 n ∈ N, так что (an ) возрастает.
Будучи ограниченной, она имеет lim an = I = sup an n ∈ N .n→+∞Покажем, что число I не зависит от выбора квадрируемого (кубируемого) исчерпывания множества D.′Для этого рассмотрим любое другое квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Km, m ∈ N} множества D ичисловую последовательность (bm ),Zbm =f (x) dx, m ∈ N.K′mПо доказанному, (bm ) ↑ и bm > 0, m ∈ N.′′Фиксируем произвольное m ∈ N и компакт Km, и покажем, что существует n ∈ N, для которого Kn ⊃ Km.′Если это не так, то для любого k ∈ N найдётся такая точка xk ∈ Km , что xk ∈ Kn . Поскольку все точки′последовательности (xk ) принадлежат замкнутому и ограниченному множеству Km, то (xk ) содержит некоторую′сходящуюся подпоследовательность, предельная точка x0 которой обязана принадлежать Km.
Не ограничивая′общности, считаем, что сходится сама (xk ) и x0 = lim xk , x0 ∈ Km . Согласно замечанию к определению 1,k→+∞найдётся компакт Kn0 , который содержит x0 вместе с некоторой её окрестностью U(x0 ). Поэтому можно указатьнекоторый индекс k0 ∈ N, что xk ∈ U(x0 ) ⊂ Kn0 для всех k > k0 , что противоречит выбору (xk ).′Итак, Km⊂ Kn для некоторого n ∈ N, иZZ f (x) dx 6f (x) dx = an 6 I = sup an n ∈ N0 6 bm =KnK′mдля любого m ∈ N. Таким образом, ограниченная возрастающая подпоследовательность (bm ) имеет′I 6 I. Меняя местами исчерпывания′{Km;′lim bm =m→+∞′m ∈ N} и {Kn ; n ∈ N}, заключаем, что I 6 I , и окончательно, I = I.1.9.3.
Общий признак сравнения несобственных интеграловТеорема 1.40. Пусть 0 6 f (x) 6 g(x) для всех точек x ∈ D ⊂ Rm , m = 2, 3, и функции f (x) и g(x) интегрируемы на любом квадрируемом (кубируемом)компакте, содержащемся в открытом множествеRR D. Тогдаиз сходимости несобственного интеграла g(x) dx следует сходимость несобственного интеграла f (x) dx (иDDRследовательно, из расходимости несобственного интеграла f (x) dx вытекает расходимость несобственногоDRинтеграла g(x) dx).DРассмотрим произвольное квадрируемое (кубируемое) исчерпывание {Kn ; n ∈ N} множества D. ТогдаZZ0 6 an =f (x) dx 6g(x) dx = bn , n ∈ N,(3)KnKnи последовательностиR (an ) и (bn ) возрастают.Если сходится g(x) dx, то по теореме предыдущего пункта последовательность (bn ) ограничена сверху, иDRсогласно (3), ограничена сверху также (an ).
Применяя опять теорему 1.39, заключаем, что сходится f (x) dx.D321.9.4. Эталонные интегралыpmДля произвольнойточкиx = (x , . . . , xm ) ∈ Rобозначим|x| = (x1 )2+ . . . + (xm )2 и рассмотрим открытыемножества D1 = x ∈ Rm |x| > a > 0 и D2 = x ∈ Rm a + n1 6 |x| 6 n , n ∈ N, — компакты, удовлетворяющие определению 1 для множества D1 .Пример 9.2.
Найдём все значения p ∈ R, для которых сходится несобственный интегралZ−p|x| dx.1D1Рассмотрим случай m = 3; для точек в R3 удобнее использовать запись (x, y, z) ∈ R3 . В этом случае()2 212222222D1 = (x, y, z) x + y + z > aи Kn = (x, y, z) a +6 x + y + z 6 n , n ∈ N,nтак что компакты Kn кубируемы и {Kn ; n ∈ N} — кубируемое исчерпывание множества D1 . НайдёмZZZZp−p−pan =|x| dx =x2 + y 2 + z 2dx dy dz, n ∈ N,(a+ n1 )2 6x2 +y2 +z2 6n2Knпереходом к сферическим координатам x = r cos ψ cos ϕ, y = r cos ψ sin ϕ, z = r sin ψ, r > 0, − π2 6 ψ 60 6 ϕ 6 2π.
Тогдаan =Z2π0πdϕZ2n→+∞dψ−π2Поэтому lim an = 4πZnπr−p 2r cos ψ dr = 2πacos ψ dψ−π21a+ n+∞RZ2Znr2−p dr = 4π1a+ nZnπ2,r2−p dr, n ∈ N.1a+ nr2−p dr и несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2 − p < −1,или p > 3. R−p|x| dx в случае m = 3 сходится тогда и толькоАналогично проверяется, что несобственный интегралD2тогда, когда p < 3.1.9.5. Абсолютная сходимость кратных несобственных интеграловRОпределение 4. Несобственный интеграл f (x) dx сходится абсолютно, если функция f интегрируема наDкаждомквадрируемом (кубируемом) компакте K из открытого множества D и сходится несобственный интегралR|f (x)| dx.DТеорема 1.41.
Для несобственных m–кратных интегралов (m > 2) свойства сходимости и абсолютнойсходимости эквивалентны. На открытом множестве D рассмотрим неотрицательные функцииf+ (x) =|f (x)| + f (x)|f (x)| − f (x), f− (x) =.22(4)Тогда(f (x), если f (x) > 0,f+ (x) =0, если f (x) < 0.f− (x) =(−f (x), если f (x) 6 0,0, если f (x) > 0,и0 6 f+ (x) 6 |f (x)| , 0 6 f− (x) 6 |f (x)| , x ∈ D,(5)f (x) = f+ (x) − f− (x), |f (x)| = f+ (x) + f− (x), x ∈ D.(6)Так как функции f (x) и |f (x)| интегрируемы на любом квадрируемом (кубируемом) компакте K ⊂ D, тосогласно (4), каждая из функций f+ (x) и f− (x) обладает этим же свойством.33Пусть, сначала, несобственный интегралRf (x) dx сходится абсолютно, то есть, сходится интегралDRD|f (x)| dx.Тогда на основаниисравнения несобственных интегралов, убеждаемся в сходимости несобственR (5) и признакаRных интегралов f+ (x) dx и f− (x) dx, откуда в силу (6) и свойства линейности несобственных интеграловDDследует сходимость интегралаZZf (x) dx =Df+ (x) −DОбратно, пусть сходится несобственный интегралRZf− (x) dx.Df (x) dx и расходится интегралDRD|f (x)| dx.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
