В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Обозначение: a = lim r(u, v) = lim r(M ).BB◦Символом (u, v) → (u0 , v0 ) (или M → M0 ) обозначим базу проколотых окрестностей U(M0 ) точкиM0 (u0 , v0 ). Еслиlim(u,v)→(u0 ,v0 )r(u, v) = r(u0 , v0 ), то векторную функцию r(u, v) называют непрерывной в точке(u0 , v0 ) ∈ E. Если M0 (u0 , v0 ) — точка множества E, (u0 , v0 ) ∈ E, в которой существуетr(u0 + ∆u, v0 ) − r(u0 , v0 ),∆u→0∆ulimто этот предел (вектор) называют частной производной векторной функции r(u, v) в точке (u0 , v0 ) по перемен∂ному u и обозначают r ′u (u0 , v0 ) или ∂ur(u0 , v0 ).
Аналогично,r ′v = lim∆v→0r(u0 , v0 + ∆v) − r(u0 , v0 )∂r(u0 , v0 ).=∆v∂vПодобно скалярному случаю определяются частные производные векторной функции высших порядков.Если в пространстве R3 введена декартова система координат Oxyz, то r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и n∂ x(u, v) ∂ n y(u, v) ∂ n z(u, v)∂ n r(u, v)=,,.∂ k u ∂ n−k v∂uk ∂v n−k ∂uk ∂v n−k ∂uk ∂v n−kВекторная функция r(u, v) называется дифференцируемой в точке (u0 , v0 ) ∈ E, если существуют такиепостоянные векторы a, b (в R3 ) и такая векторная функция ε(∆u, ∆v), что∆r = r(u, v) − r(u0 , v0 ) = a · ∆u + b · ∆v + ε(∆u, ∆v) · ρ,pгде ∆u = u − u0 , ∆v = v − v0 , ρ = (∆u)2 + (∆v)2 иlimε(∆u, ∆v) = 0 = lim ε(∆u, ∆v) = ε(0, 0), так(∆u,∆v)→(0,0)ρ→0что векторная функция ε(∆u, ∆v) непрерывна в точке (0, 0).Аналогично скалярному случаю убеждаемся, что a = ru (u0 , v0 ), b = rv (u0 , v0 ) и таким образом∆r =∂r∂rdu +dv + ε · ρ,∂u∂vгде du = ∆u, dv = ∆v, и lim ε = 0.ρ→0Векторная функция∂r∂rdu +dv,∂u∂vлинейная относительно du и dv, называется дифференциалом векторной функции r(u, v).
По определению,dr =∆r = dr + ε · ρ, lim ε = 0.ρ→0Подобно скалярному случаю, для векторной функции r(u, v) определяются дифференциалы высших порядков dk r, k ∈ N, и имеет место формула Тейлора:r(u, v) =nX1 kd r(u0 , v0 ) + 0(ρn ), ρ → 0,k!k=0где dk r(u0 , v0 ) = du ·∂∂u+ dv ·∂ k∂vr(u0 , v0 ), k = 0, n, d0 r(u0 , v0 ) = r(u0 , v0 ) и 0(ρn ) = ε(∆u, ∆v) · ρn , lim ε = 0.ρ→0453.1.2.
Поверхность в R3Рассмотрим на R2 произвольную ограниченную область D (т.е., связное открытое множество в R2 ) и еёзамыкание [D].Определение 1. Непрерывное отображение f : [D] → R3 называют элементарной поверхностью в R3 . Обозначаем f (M ) ⊂ R3 , M ∈ [D] и образ f ([D]) называют носителем этой поверхности при рассматриваемомотображении.Точка носителя поверхности, являющаяся образом по крайней мере двух различных точек замкнутой области[D], называется кратной точкой поверхности (или её точкой самопересечения).Если элементарная поверхность не имеет кратных точек; то есть, отображение f биективное, то элементарнаяповерхность называется простой.Если на R2 введена декартова система координат (u, v), то, по определению, отображение f : [D] → R3 определяет некоторую векторную функцию r(u, v), (u, v) ∈ [D], графиком которой служит введённая элементарнаяповерхность.Переменные (u, v) называются координатам поверхности или её параметрами.Определение 2.
Элементарная поверхность f (M ) ∈ R3 , M ∈ [D] ⊂ R2 , называется эквивалентной элементарной поверхности f1 (M ) ∈ R3 , M ∈ [D1 ] ⊂ R2 , если существует квазирегулярное отображение j : [D1 ] → [D],для которого f1 (M ) = (f ◦ j)(M ), M ∈ [D1 ]. Обозначение: f1 ∼ f .Согласно этому определению, поскольку существует обратное квазирегулярное отображение j −1 : [D] → [D1 ],отношение f1 ∼ f действительно является отношением эквивалентности.Определение 3. Класс эквивалентных элементарных поверхностей называют (непрерывной) поверхностьюΦ в R3 , а любое отображение f (M ) ∈ R3 , M ∈ [D] ⊂ R2 , её определяющее, называют параметризацией поверхности Φ. Векторная функция r(u, v) = f (M ) называется векторной параметризацией поверхности Φ.
Любоеквазирегулярное отображение j : [D1 ] → [D] называют допустимым преобразованием параметров плокости. Еслиj = (ϕ, ψ), то u = ϕ(u1 , v1 ), v = ψ(u1 , v1 ).Определение 4. Общий носитель всех элементарных поверхностей, составляющих данную поверхность Φ,называют носителем поверхности Φ.Определение 5. Точка (M, f (M )) элементарной поверхности f : [D] → R3 называется эквивалентной точке(M1 , f1 (M1 )) элементарной поверхности f1 : [D1 ] → R3 , если M1 = j(M ).Определение 6. Класс эквивалентных между собой точек элементарных поверхностей называется точкойповерхности Φ, а их общий носитель называется носителем этой точки поверхности Φ.Если M ∈]D[, то точка (M, f (M )) называется внутренней точкой элементарной поверхности, если M ∈ ∂D,то точка (M, f (M )) называется краевой точкой элементарной поверхности Φ.
Так как при квазирегулярныхотображениях внутренние точки области переходят о внутренние точки, а граничные точки области — в граничные точки, то все эквивалентные точки для точки, внутренней для некоторой элементарной поверхности,будут внутренними точками эквивалентных элементарных поверхностей, и порождают внутреннюю точку поверхности Φ.
Аналогичное утверждение справедливо для краевых точек поверхности Φ. Множество всех краевыхточек поверхности Φ называют её краем.Совокупность всех носителей точек поверхности составляет носитель поверхности. Точка носителя поверхности, являющаяся носителем по крайней мере двух различных точек поверхности, называется кратной точкойили точкой самопересечения поверхности. Если поверхность не имеет кратных точек, то она называется простойповерхностью.Определение 7.
Поверхность Φ принадлежит классу C 1 , если она имеет хотя бы одну параметризациюкласса C 1 .Пример 1.1. Если Φ — график непрерывной дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D] ⊂ R2 , то Φ— простая поверхность класса C 1 , задаваемая параметризацией r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), x = x(u, v) = u,y = y(u, v) = v, z = z(u, v) = f (u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 .Определение 8. Если поверхность Φ задана параметризацией f : [D] → R3 , [D] ⊂ R2 , то для любогомножества E ⊂ [D] сужение f : E → R3 называется частью поверхности Φ.EЕсли U ⊂ [D] — открытое множество, то отображение f : U → R3 называют открытом частью поверхностиΦ. Эта открытая часть поверхности Φ называется окрестностью на поверхности Φ любой её точки f (M ), гдеM ∈ U.3.1.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхностиРассмотрим произвольную поверхность Φ в R3 класса C 1 и пусть r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] — некоторая еёпараметризация класса C 1 .
Фиксируем произвольную точку (u0 , v0 ) ∈ [D]. Пусть в R3 задана декартова система46координат (x, y, z), так что r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D.Рассмотрим пересечение множества [D] с прямой v = v0 . Тогда r = r(u, v0 ) определяет некоторый путь∂r= (x′u , yu′ , zu′ ) является касательным вектором к пути Lu . АналогичноLu класса C 1 в R3 .
Вектор ru = ∂u∂rопределяется координатный путь Lv класса C 1 , для которого вектора r v = ∂v= (x′v , yv′ , zv′ ) является векторомкасательной.Определение 9. Точка r(u, v) поверхности Φ называется неособой при данной параметризации поверхности,если векторы ru и r v не коллинеарны (то есть, линейно независимы), и точка r(u, v) поверхности Φ называетсяособо точкой для данной параметризации поверхности, если векторы r u и rv коллинеарны.По определению, точка поверхности Φ класса C 1 будет неособой для данной параметризации r(u, v) тогда итолько тогда, когда векторное произведение ru × r v 6= 0; в частности, r u 6= 0, rv 6= 0.Пусть в R3 задана декартова система координат Oxyz. Тогда r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и ru = (x′u , yu′ , zu′ ),r v = (x′v , yv′ , zv′ ).Пример 1.2.
Рассмотрим график Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D], D —ограниченная область в R2 . Тогда xp= u, y = v, z = f (u, v), r = r(u, v) = (u, v, f (u, v)), (u, v) ∈ [D] и r u = (1, 0, fu′ ),r v = (0, 1, fv′ ). Поэтому |r u × r v | = 1 + (fu′ )2 + (fv′ )2 > 0, так что все точки простой поверхности Γ неособые.Рассмотрим произвольное отображение f : [a, b] → D класса C 1 , определяющее в D путь l. Если f = (ϕ, ψ),то u = ϕ(t), v = ψ(t), t ∈ [a, b]. Тогда векторная функция r = r(ϕ(t), ψ(t)), t ∈ [a, b], определяет на поверхностиΦ некоторый путь L класса C 1 . При этом, dr = r u · du + r v · dv, где du = ϕ′ (t) dt, dv = ψ ′ (t) dt.
Если точкаr(u, v) поверхности Φ не особая, то получаем, что вектор dr находится в плоскости векторов r u и r v , являясьодновременно вектором касательной к пути L в точке r(ϕ(t), ψ(t)).Определение 10. Касательной плоскостью Π к поверхности Φ в её точке r(u0 , v0 ) называют такую проходящую через r(u0 , v0 ) плоскость, в которой лежат все касательные к кривым, расположенным на поверхностии проходящим через r(u0 , v0 ).Утверждение 3.1. Если данная точка поверхности не особая, то в ней существует касательная плоскость к поверхности.
Эта плоскость Π определяется условием: векторы dr = ru · du + r v · dv и r − r 0 = r(u, v) − r(u0 , v0 ) лежатв Π. Поэтому их смешанное произведение (r − r0 , r u , r v ) = 0. Если r − r0 = (x − x0 , y − y0, z − z0 ), r u = (x′u , yu′ , zu′ ),r v = (x′v , yv′ , zv′ ), то уравнение касательной плоскости имеет видx − x0 y − y0 z − z0 ′ xuyu′zu′ = 0 ′ xvyv′zv′ ′xu yu′ zu′и коэффициентами при (x − x0 ), (y − y0 ), (z − z0 ) служат миноры матрицы.x′v yv′ zv′Пример 1.3. График Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D], D — ограниченнаяобласть в R2 , имеет r = (u, v, f (u, v)), (u, v) ∈ [D], и в каждой точке (x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ, где (x0 , y0 ) ∈ D, z0 = f (x0 , y0 ),имеет касательную плоскость с уравнением z − z0 = fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ).Определение 11.
Прямая, проведённая через точку касания поверхности с касательной плоскостью, иперпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке r(u0 , v0 ). Уравнениенормалиx − x0y − y0z − z0 ′yu zu′ = zu′ x′u = x′u yu′ ′yv zv′ zv′ x′v x′v yv′ и по крайней мере один из определителей не равен нулю, так как r u × r v 6= 0.В векторной форме единичным вектором нормали ν к поверхности Φ в неособой точке r(u, v) служит векторr u ×rv|r u ×rv | = ν.Теорема 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
