В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Неособая (особая) при данной параметризации точка поверхности класса C 1 будет неособой(особой) и при любой другой параметризации этой поверхности, а плоскость, касательная к поверхности внеособой точке при одной параметризации поверхности, будет касательной и при другой её параметризации. Пусть r(u, v), (u, v) ∈ [D], и p(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ [D1 ], суть две параметризации поверхности Φ класса C 1 .Тогда существует допустимое отображение (квазирегулярное)u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v)(1)r(u, v) = p(ϕ(u, v), ψ(u, v)), (u, v) ∈ [D].(2)компакта [D] на компакт [D1 ], что47Продифференцировав тождество (2), получимr ′u = ϕ′u pu1 + ψu′ pv1r v = ϕ′v pu1 + ψv′ pv1 .(3)Преобразование (3) векторов pu1 , pv1 в векторы r u , r v не вырождено в D, так как определитель ′ ϕu ψu′ ϕ′u ϕ′v D(ϕ, ψ) ′ϕv ψv′ = ψu′ ψv′ = D(u, v)и якобианD(ϕ,ψ)D(u,v)6= 0, (u, v) ∈ [D]. Из (3) следует, чтоr u × r v = (ϕ′u pu1 + ψu′ pv1 ) × (ϕ′v pu1 + ψv′ pv1 ) =D(ϕ, ψ)(p × pv1 ).D(u, v) u1(4)Поскольку D(ϕ,ψ)D(u,v) 6= 0, то одновременно r u × r v 6= 0 и pu1 × pv1 6= 0 и плоскость Π, образованная векторамиr u и r v , совпадает с плоскостью Π1 , образованной векторами pu1 и pv1 .

Определение 12. Поверхность Φ класса C 1 , допускающая параметризацию класса C 1 , относительно которойвсе точки поверхности Φ неособые, называется гладкой поверхностью.Пример 1.4. График Γ непрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y) на компакте [D] являетсяпростой гладкой поверхностью.3.1.4. Явные представления поверхностиПусть Φ — поверхность класса C 1 с параметризацией r(u, v) = (x(u,v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ [D], и (u0 , v0 ) ∈x′u yu′ zu′D — внутренняя неособая точка; то есть, r u × r v 6= 0 в (u0 , v0 ).

Тогдаиx′v yv′ zv′sy ′|ru × r v | = u′yv2 ′zuzu′ ′ + ′zvzv2 ′xux′u ′ + ′xvxv2yu′ >0yv′ ′xв (u0 , v0 ) и хотя бы один из определителей под знаком корня отличен от нуля. Пусть u′xvПо теореме о неявной функции для отображенияx = x(u, v), y = y(u, v)yu′ 6= 0 в точке (u0 , v0 ).yv′ (5)существуют такие окрестности U и V соответственно точек (u0 , v0 ) и (x0 , y0 ), x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), чтоотображение (5) будет диффеоморфизмом областей U и V и в V существует непрерывно дифференцируемаябиекция V на U, задаваемая формулами u = u(x, y), v 6= v(x, y), (x, y) ∈ V. Тогда функция z = z(u, v) =z(u(x, y), v(x, y)) непрерывно дифференцируема в области V и её график составляет часть F поверхности Φ,соответствующую окрестности U точки (u0 , v0 ) ∈ D.

Другими словами, часть F поверхности Φ допускает явноезадание в виде графика некоторой функции z = z(u(x, y), v(x, y)), (x, y) ∈ V.Лемма 1. Пусть функция z = f (x, y) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности U точки(x0 , y0 ) и пусть z0 = f (x0 , y0 ). Тогда у точки (x0 , y0 , z0 ) существует такая окрестность W в пространствеR3 : Oxyz и такая окрестность V на касательной плоскости Π к графику Γ функции z = f (x, y) в точке(x0 , y0 , z0 ), что пересечение графика Γ с окрестностью W взаимно однозначно проектируется на окрестностьV при проектировании в направлении, перпендикулярном плоскости Π. Обозначим fx0 = fx′ (x0 , y0 ), fy0 = fy′ (x0 , y0 ). Если fx0 = fy0 = 0, то касательная плоскость Π к графикуΓ в точке(x0, y0 , z0 ) параллельна координатной плоскости xOy, и мы имеем W = U × [z0 − δ, z0 + δ], δ > 0, иV = (x, y, z) (x, y) ∈ U, z = z0 .22Пусть fx0 +fy0 > 0 и, для определённости, fx0 6= 0.

Вектор ν = (fx0 , fy0 , −1) параллелен нормали к поверхностиΓ в точке (x0 , y0 , z0 ). Поэтому уравнение произвольной прямой, параллельной нормали к Γ в точке (x0 , y0 , z0 )имеет в векторной форме видr = r 0 + a + νt, t ∈ (−∞, +∞), r = (x, y, z),(1)где r 0 = (x0 , y0 , z0 ) и a — вектор, параллельный касательной плоскости Π. Вектор a можно записать в видеa = (α, β, αfx0 + βfy0 ), где α, β ∈ R, поскольку aν = αfx0 + βfy0 − (αfx0 + βfy0 ) = 0.48Исключая параметр t из уравнения (1), получаем в координатной формеx = x0 + α + fx0′ t fy0y = y0 + β + fy0′ t fx0z = z0 + (αfx0 + βfy0 ) − t,так чтоили(x − x0 − α)fy0 = (y − y0 − β)fx0[z − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = −[x − x0 − α]((x − x0 − α)fy0 − (y − y0 − β)fx0 = 0x − x0 − α + [z − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = 0.(2)Подставляя в систему (2) значение z = f (x, y), получим систему уравнений для определения координат x иy точки пересечения прямой (1) с графиком Γ функции z = f (x, y).

Имеем((x − x0 − α)fy0 − (y − y0 − β)fx0 = 0.(3)x − x0 − α + [f (x, y) − z0 − (αfx0 + βfy0 )]fx0 = 0Якобиан J (x, y) системы (3) по переменным x и y имеет вид fy0−fx0 J (x, y) = = (1 + fx′ fx0 + fy′ fy0 )fx0 .1 + fx′ fx0 fy′ fx0 Левые части уравнений системы (3) являются непрерывно дифференцируемыми функциями по переменнымx, y, α, β. Значения x = x0 , y = y0 и α = β = 0 удовлетворяют уравнениям системы (3).

Кроме того, J (x0 , y0 ) =22(1 + fx0 + fy0 )fx0 6= 0. Согласно теореме о локальном диффеоморфизме, существует такая окрестность U0 точки(x0 , y0 ), U0 ⊂ U, и такая окрестность V0 точки (0, 0) на плоскости параметров α и β, что система уравнений (3)имеет единственное решениеx = x(α, β)(4)y = y(α, β),которое образует непрерывно дифференцируемую биекцию окрестностей U0 и V 0 . Можно считать, что V0 — круг радиуса ε > 0; то есть, V0 = (α, β) α2 + β 2 < ε2 , ε > 0. Тогда для любоговектора a, у которого α2 + β 2 < ε2 , прямая (1) имеет, и при том единственную, точку пересечения с графикомсужения функции f на окрестность U0 точки (x0 , y0 ). Координаты x и y этой точки пересечения находятся поформуле (4), а координата z = f (x, y).Так какqp|a| = α2 + β 2 + (αfx0 + βfy0 )2 > α2 + β 2 ,то из условия |a| < ε следует условие α2 + β 2 < ε2 , и следовательно, прямая (1) пересекает график Γ функцииz = f (x, y) в единственной точке.

3.2. Ориентируемые поверхности3.2.1. Ориентация гладкой поверхностиВ этом параграфе предполагается, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых координат.Это значит, что в пространстве точек (x, y, z) рассматриваются только такие упорядоченные базисы e1 , e2 , e3 , которые получаются из упорядоченного базиса i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) только такими ортогональнымипреобразованиямиem = cm1 i + cm2 j + cm3 k, m = 1, 2, 3,у которых определительc11c21c31c12c22c32c13 c23 = +1.c33 Рассмотрим произвольную гладкую поверхность Φ ⊂ R3 и некоторую её параметризацию r = r(u, v), (u, v) ∈[D], класса C 1 .

Тогда r u × r v 6= 0 для всех (u, v) ∈ [D], и значит, в каждой точке поверхности Φ определёнединичный нормальный векторru × rvν=,(1)|r u × r v |49который является непрерывной функцией аргументов (u, v) ∈ [D]; то есть, на поверхности Φ существует непрерывная единичная нормаль.Определение1. Всякаянепрерывная единичная нормаль ν = ν(u, v); (u, v) ∈ [D], гладкой поверхностиΦ = r(u, v) (u, v) ∈ [D] называется ориентацией поверхности Φ.Понятно, что если вектор ν является ориентацией поверхности Φ, то и вектор −ν является ориентациейповерхности Φ, и других ориентаций на Φ нет.

Одна из двух ориентаций ν или −ν (произвольно выбранная)называется положительной, а другая — отрицательной.В пространстве R3 с правой системой координат принято для гладкой поверхности Φ, заданной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], класса C 1 , считать положительной ориентацией нормальный единичный вектор(1).Поверхность Φ с положительной ориентацией будем обозначать символом Φ+ , поверхность Φ с отрицательной ориентацией обозначим через Φ− .

Поверхность, у которой фиксирована одна из ориентаций, называетсяориентированной поверхностью.3.2.2. Сохранение ориентации при допустимых отображенияхПусть положительно ориентированная гладкая поверхность Φ задана параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈[D], класса C 1 , и единичный нормальный вектор определяется формулой (1). Рассмотрим произвольное допустимое преобразование параметров u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v), (u, v) ∈ [D], (u1 , v1 ) ∈ [D1 ]. Обозначим p(u1 , v1 ) =p(ϕ(u, v), ψ(u, v)) = r(u, v). ТогдаD(φ, ψ)(p × pv1 ).ru × rv =D(u, v) u1Следовательно, векторы ru ×rv и pu1 ×pv1 направлены в одну сторону только тогда, когда якобиан D(ϕ,ψ)D(u,v) > 0во всех точках (u, v) ∈ D.Таким образом, для поверхностей, у которых выбрана ориентация, допустимыми преобразованиями параметров будем считать только такие квазирегулярные отображение компактов из R2 , у которых якобианы положительные.3.2.3.

Ориентация графика функции двух переменныхРассмотрим график Γ функции z = f (x, y), непрерывно дифференцируемой на компакте [D], D — область вR2 . Тогда r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), rx = (1, 0, fx′ ), r y = (0, 1, fy′ ) ииСледовательно,ir x × r y = 10−fx′j01k fx′ = −fx′ · i − fy′ · j + k,f′ y−fy′1.ν = q,q,q′2′2′2′21 + fx + fy1 + fx + fy1 + fx′2 + fy′21cos(ν, k) = q>01 + fx′2 + fy′2для всех (x, y) ∈ D.Таким образом, положительная ориентация на графике Γ функции z = f (x, y) образует острый угол с осьюOz.

Характеристики

Список файлов лекций