В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. . , Φm .Пусть на Φ заданы непрерывна функция F (M ), M ∈ Φ, и непрерывна векторная функция a = (P, Q, R). Поопределению,ZZZZm ZZm ZZXXF ds =F ds иa ds =a ds.k=1 ΦkΦk=1Φ+Φ+k4. Основные операции теории поля4.1. Инварианты линейного оператора4.1.1. Взаимные базисы векторов в R3В этом и двух последующих пунктах мы напоминаем известный материал из курса линейной алгебры.Обозначим символом M множество всех векторов в R3 . Векторы r i , i = 1, 2, 3, образуют базис в R3 , если(r 1 r2 r3 ) 6= 0. Базис rk , k = 1, 2, 3, называют взаимным к базису r i , i = 1, 2, 3, если(1, i = kkkr i r = δi =0, i 6= k.Теорема 4.1.
Для произвольного базиса ri , i = 1, 2, 3, существуют единственный взаимный базис r k , k =1, 2, 3, иr2 × r 3r3 × r1r 1 × r2r1 =, r2 =, r3 =.(r 1 r 2 r 3 )(r 1 r 2 r 3 )(r 1 r 2 r 3 ) Рассмотрим матрицы kgki k и g ki , где gki = r k ri , g ki = rk r i . Матрицы взаимно обратны и симметричны(из-за симметрии скалярного произведения). Кроме тогоr k = g k1 r 1 + g k2 r 2 + g k3 r 3 = g ki r i , k = 1, 2, 3r k = gk1 r 1 + gk2 r 2 + gk3 r 3 = gki r i , k = 1, 2, 3.(1)4.1.2.
Преобразование базисов в R3′Рассмотрим взаимные базисы r i , r i , i = 1, 2, 3, и r i′ , r i , i′ = 1, 2, 3 и формулы перехода от старого базиса r iк новому базису r i′ , и обратно:′r i′ = bii′ r i , r i = bii ri′ .(2) i ′ Тогда матрицы bi′ и bii взаимно обратные.Рассмотрим формулы перехода для взаимных базисов:′′′ri = b̃ii r i , r i = b̃ii′ r i(3) ′ и матрицы b̃ii , b̃ii′ взаимно обратные.Теорема 4.2. ′ ′ i bi′ = b̃ii′ и bii = b̃ii .На основании этой теоремы и формул (2), (3), заключаем, что′r i′ = bii′ r i , r i = bii ri′ ,′′′r i = bii r i , r i = bii′ ri , ′и матрицы bii′ , bii взаимно обратные.57(4)4.1.3.
Преобразование координатiПусть r i , r — взаимные базисы и x ∈ M. Тогдаx = x1 r 1 + x2 r 2 + x3 r 3 = xi r i ,x = x1 r 1 + x2 r 2 + x3 r 3 = xi r i .(5)Числа (x1 , x2 , x3 ) называют ковариантными координатами вектора x, а числа (x1 , x2 , x3 ) — контравариантными координатами вектора x. По определению и свойству линейности скалярного произведения,x · rk = xi r i r k = xi δki = xk , k = 1, 2, 3,x · r k = xi r i r k = xi δik = xk , k = 1, 2, 3,(6)и значит, формулы (5) принимают видx = (x · ri )r i , x = (x · ri )r i .(формулы Гиббса)′Рассмотрим новые взаимные базисы r i′ , r i , связанные со старыми базисами формулами (4).
Тогда, в силу(4) и (6) и свойства линейности скалярного произведения,xi′ = x · r i′ = bii′ (x · r i ) = bii′ xi , i′ = 1, 2, 3 (то есть, ковариантные координаты вектора изменяются с той же матрицей bii′ , что и базисы), а′′′′xi = x · r i = bii (x · r i ) = bii xi , i′ = 1, 2, 3(то есть, контравариантные координаты вектора изменяются с обратной матрицей по отношению к базисам).4.1.4. Дивергенция линейного оператораРассмотрим произвольный линейный оператор A : M → M; то есть, такое отображение A из M в M, чтоA(λ1 x + λ2 y) = λ1 Ax + λ2 Ayдля любых λ1 , λ2 ∈ R и x, y ∈ M.Теорема 4.3.r i · Ar i = ri · Ar iдля любого линейного оператора A : M → M и любых взаимных базисов r i , r i , i = 1, 2, 3.
По определению, ri Ar i = r 1 Ar 1 + r 2 Ar 2 + r 3 Ar 3 . Аналогично для ri · Ar i . Согласно формулам (1),r k = g ki ri , r k = gkj r j .Поэтому, в силу свойств линейности оператора A и скалярного произведения, имеемrk Ar k = g ki r i A(gkj r j ) = g ki gkj r i Arj = δji r i Ar j = r j Ar j = r k Ar k , где использовано также утверждение, что матрицы g ki и kgkj k взаимно обратные. Теорема 4.4.
(Инвариантность относительно преобразования базисов и координат векторов).′r i Ar i = r i Ar i′′для любого линейного оператора A : M → M и для любых взаимных базисов r i , ri и r i′ , r i .′′ Согласно формулам (4), r i = bii r i′ , r i = bik′ r k , и следовательно, как и в доказательстве теоремы 4.3,′′′′′′′r i Ar i = bik′ rk A(bii r i′ ) = bik′ bii rk Ar i′ = δki ′ rk Ar i′ = ri Ar i′ .Определение 1.
Суммаri · Ar i = r 1 Ar 1 + r 2 Ar 2 + r 3 Ar 3называется дивергенцией линейного оператора A : M → M и обозначается div A = r i Ar i = r i Ar i (теорема 4.3).Характеристика div A не зависит от выбора базиса (теорема 4.4); то есть, есть инвариант относительнопреобразования базисов и координат векторов.584.1.5. Ротор линейного оператораТеорема 4.5.r i × Ar i = ri × Ar iдля любого линейного оператора A : M → M и любых взаимных базисов r i , r i , i = 1, 2, 3.Теорема 4.6.′r i × Ar i = r i × Ar i′′для любых взаимных базисов ri , r i , i = 1, 2, 3, и ri′ , ri , i′ = 1, 2, 3.Доказательства теорем 4.5 и 4.6 дословно повторяют доказательства теорем 4.3 и 4.4, соответственно, сединственной заменой знака скалярного произведения (·) на знак (×) векторного произведения.Определение 2.
Векторr i × Ar i = r 1 × Ar1 + r 2 × Ar 2 + r 3 × Ar 3называется ротором линейного оператора A : M → M и имеет обозначениеrot A = r i × Ar i = ri × Ar i .Характеристика rot A является инвариантом относительно преобразований координат и векторов в R3 .4.1.6. Координатная запись div A и rot AРассмотрим ортонормированный базис i, j, k в R3 . Ему взаимный взаимный базис — также i, j, k.
Линейный◦оператор A : M → M можно задать в виде матрицы A следующим образом:iAi = a11 iAj = a12 iAk = a13◦ jAi = a21 jAj = a22 jAk = a23 = A.kAi = a31 kAj = a32 kAk = a33◦Тогда div A = r i Ar i = iAi + jAj + kAk = a11 + a22 + a33 — след матрицы A. Ротор rot A = r i × Ar i =i × Ai + j × Aj + k × Ak. При этом,i × Ai = i × (a11 i + a21 j + a31 k) = a21 (i × j) + a31 (i × k) = a21 k − a31 jj × Aj = j × (a12 i + a22 j + a32 k) = a12 (j × i) + a32 (j × k) = −a12 k + a32 i = a32 i − a12 kk × Ak = k × (a13 i + a23 j + a33 k) = a13 (k × i) + a23 (k × j) = a13 j − a23 i.Поэтомуrot A = (a32 − a23 )i + (a13 − a31 )j + (a21 − a12 )k.4.2.
Характеристики дифференцируемых полей4.2.1. Дифференцируемые скалярные поляПусть D — непустое открытое множество в R3 . Отображение (функцию) u : D → R назовём скалярнымполем, определённым в D, и используем обозначение u(M ), M ∈ D, где M — произвольная точка множестваD. Отображение p : D → M называют векторным полем, определённым в D. Отображение p : D → M называютвекторным полем, определённым в D, и обозначают p(M ), M ∈ D.Для произвольной фиксированной точки M ∈ D обозначим через ∆r вектор M M ′ = ∆r, M ′ ∈ D. Такимобразом, каждой точке M ∈ D сопоставлено векторное поле ∆r.
Фиксированный вектор g ∈ M порождаетсялинейную форму Lg (∆r) = g · ∆r. Это определение полностью согласуется с соответствующим понятием вслучае, когда на R3 задана некоторая декартова система координат (x, y, z), в которой ∆r = (∆x, ∆y, ∆z) иg = (A, B, C); тогда g · ∆r = A∆x + B∆y + C∆z — линейная функция в R3 относительно (∆x, ∆y, ∆z).Определение 1. Скалярное поле u(M ) называют дифференцируемым во внутренней точке M ∈ D, еслисуществует такой вектор g ∈ M (выбор которого зависит только от M ), что в некоторой окрестности U(M ) ⊂ Dдля любой точки M ′ ∈ U(M ) приращение ∆u = u(M ′ ) − u(M ) можно представить в виде∆u = g · ∆r + o(ρ), ρ → +0, где ρ = ∆r — длина вектора ∆r.Утверждение 4.7.
Если представление (1) существует, то оно единственное.59(1)Допустим, что для двух векторов g, h ∈ M справедливы представления∆u = g · ∆r + o(ρ), ∆u = h∆r + o(ρ), ρ → +0.Тогдаo(ρ)o(ρ)(g − h)∆r · ∆r = o(ρ) и (g − h)e = =, ρ → +0,∆r ρ(2)где e — единичный вектор вектора ∆r. Переходя в (2) к пределу при ρ → +0, получим (g − h)e = 0 для любогоединичного вектора e. Следовательно, g − h = 0 и g = h. Скалярное поле называют дифференцируемым на открытом множестве D ⊂ R3 , если оно дифференцируемов каждой его точке.Определение 2. Вектор g = g(M ) в разложении (2) называют градиентом дифференцируемого скалярногополя u(M ) и обозначают grad u.Введённое понятие не зависит от выбора системы координат в R3 и grad u — векторное поле в D, еслискалярное поле u(M ) дифференцируемо в открытом множестве D.На основании определения (1) несложно доказать свойства градиента:grad(u ± v) = grad u ± grad v; grad(uv)+ v grad u; = u grad vgradvgrad c = 0; grad cu = c grad u, grad uv = v grad u−u, v 6= 0.2v4.2.2.
Производная по направлению скалярного поляРассмотрим скалярное поле u(M ), определённое на открытом множестве D ⊂ R3 . Фиксируем точку M ∈D и окрестность U(M ) ⊂ D. Фиксируем единичный вектор e ∈ M. Рассмотрим такую произвольную точку M ′ ∈ U(M ), для которой вектор M M ′ коллинеарен вектору e, так что M M ′ = ∆r = te и |t| = M M ′ = ∆r .Обозначим ∆e u = u(M ′ ) − u(M ).Определение 3. Если существует lim ∆te u = l, то число l называют производной скалярного поля u в точкеt→0M по направлению e и обозначают символом∂u∂e .Итак,∂u∂e (M )= limt→0∆e ut ,M M ′ = te.Утверждение 4.8.
Если скалярное поле u(M ) дифференцируемо в точке M ∈ D, толюбого направления e. Согласно определению 1,∆u = grad u · ∆r + o(ρ), ρ → +0.∂u∂e= grad u · e дляСогласно определению 3, ∆r = te. Поэтому, ∆e u = (grad u · e)t + o(|t|), t → 0, иo(|t|)∆e ulim= lim (grad u · e) += grad u · e;t→+0 tt→0tто есть,∂u∂e= grad u · e. 4.2.3. Выражение для градиента в декартовой системе координатРассмотрим базис i, j, k, порождающий правую систему координат в R3 : Oxyz.
Тогда u = u(M ) = u(x, y, z)иgrad u = i(grad u · i) + j(grad u · j) + k(grad u · k),так что∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u=,=,=.∂x ∂j∂y ∂k∂z∂iПоэтомуgrad u =∂u∂u∂ui+j+k.∂x∂y∂z4.2.4. Дифференцируемые векторные поляОпределение 4. Векторное поле p(M ) называется дифференцируемым во внутренней точке M открытогомножества D ⊂ R3 , если существует такая окрестность U(M ) ⊂ D и такой линейный оператор A : M → M, чтодля любой точки M ′ ∈ U(M ) справедливо представление ∆p = A∆r + o ∆r , ∆r = ρ → +0,(3)60в котором ∆p = p(M ′ ) − p(M ), ∆r = M M ′ , и limρ→+0o(ρ)ρ= 0.Выбор линейного оператора A зависит только от точки M ∈ D.Утверждение 4.9.
Если представление (3) существует, то оно единственное. Пусть ∆p = A∆r + o ∆r и ∆p = B∆r + o ∆r , ∆r → 0. Тогда (A − B)∆r = o ∆r , ∆r → 0. Если ∆r = ρe, ρ = ∆r , то (A − B)e = o(ρ)ρ , ρ → 0, и после перехода к пределу при ρ → 0, получим, что (A − B)e = 0для любого единичного вектора e ∈ M. Значит, A = B. Если векторное p(M ) дифференцируемо в каждой точке открытого D, то p(M ) называют дифференцируемым в D.Определение 5. Положим div A = div p и rot A = rot p.4.2.5. Производная векторного поля по направлениюПусть векторное поле p(M ) по определено на открытом множестве D ⊂ R3 и точка M ∈ D — произвольная.Пусть e ∈ M — произвольный единичный вектор.
В окрестности U(M ) ⊂ D рассмотрим такие точки M ′ ∈ U(M ),для которых вектор M M ′ коллинеарен вектору e, так что M M ′ = te, и обозначим ∆pe (M ) = p(M ′ ) − p(M ),|M M ′ | = |t|.∆pe (M)tОпределение 6. Если существует limt→0= l, то вектор l называют производной векторного поля p(M )в точке M ∈ D по направлению e. Обозначение: l =∂p∂e .Теорема 4.10. Если векторное поле p(M ) дифференцируемо в точке M ∈ D, то для любого единичного∂pвектора e в точке M существует ∂p∂e и ∂e = Ae, где линейный оператор A определяется разложением (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
