В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Проверим справедливость утверждения леммы для некоторой окрестности любой точки M поверхностиΦ, заданной векторной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] класса C 1 . Так как n(M ) 6= 0, то выберем такуюдекартову систему координат Oxyz, в которой ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ) имеет cos α > 0, cos β > 0, cos γ > 0.Тогда r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и ′yu zu′ zu′ x′u x′u yu′ n(M ) = ′,,yv zv′ zv′ x′v x′v yv′ и все определители не равны нулю. Выше (пункт 3.1.4, лемма 1) установлено, что существуют такие окрестностиU1 (M ), U2 (M ), U3 (M ) на Φ, которые являются графиками функций переменных (x, y), (y, z), (x, z). Окрестность3TUi (M ) искомая.U(M ) =i=1Допустим теперь, что утверждение леммы в общем случае не верно.
Согласно допущению, для каждогочисла δn = n1 > 0, n ∈ N, можно указать такую связную часть Φn поверхности Φ, diam Φn = n1 , которая непроектируется на все координатные плоскости ни в одной декартовой системе координат. На каждой Φn выберемточку Mn ∈ Φn . Последовательность (Mn ) точек компакта Φ имеет сходящуюся подпоследовательность (Mnk ),lim Mnk = M0 и M0 ∈ Φ. Будем считать, что сама (Mn ) имеет lim Mn = M0 ∈ Φ.n→+∞k→+∞По предыдущему, существует такая окрестность U(M0 ) на Φ, которая однозначно проектируется на все трикоординатные плоскости в некоторой декартовой системе координат.
Так как lim δn = 0, то существует индексn→+∞N ∈ N, что для всех n > N справедливо Φn ∩ U(M0 ) 6= ∅. Противоречие со свойствами частей Φn ⊂ Φ, n ∈ N. 4.4.5. Случай IIПоверхность Φ — кусочно–гладкая.mSПо условию, Φ =Φk и каждая поверхность Φk , k = 1, m — гладкая. Согласно лемме из предыдущегоk=1пункта, для каждой Φk , k = 1, m, существует такое число δk > 0, что справедливо утверждение леммы. ВыберемnSk jδ = min(δ1 , δ2 , . .
. , δm ), δ > 0. Разобьём каждую поверхность Φk =Φk , diam Φjk = δ, чтобы каждая часть Φjkj=1однозначно проектировалась на все координатные плоскости в некоторой декартовой системе координат.m nSSk jΦk , и согласно свойству аддитивности поверхностного интеграла второго рода и предыдуТогда Φ =щему случаю,ZZ Φ+k=1 k=1∂R ∂Q−∂y∂zdy dz +=nk Z Z m XX∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P−dy dz +−dz dx +−dx dy =∂y∂x∂z∂x∂x∂yk=1 j=1∂P∂R−∂z∂xdz dx +∂Q ∂P−∂x∂ydx dy =Φj+k=nk Z Zm XXk=1 j=1rot p · ν dsслучай IΦj+k=nk Zm XXk=1 j=1 j+∂Φkp · t dl =m ZXP dx + Q dy + R dz,k=1Lkпоскольку криволинейные интегралы по общим участкам границ ∂Φik , j = 1, nk , k = 1, m, проходятся по противоположным направлениям и криволинейный интеграл первого рода обладает свойством аддитивности.664.4.6.
Замечание. Понятие внешнего дифференцирования дифференциальной формыв R3Положим dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dz ∧ dz = 0, dy ∧ dx = −dx ∧ dy, dz ∧ dy = −dy ∧ dz, dz ∧ dx = −dx ∧ dz иd(P dx + Q dy + R dz) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz. Тогда∂P∂P∂P∂Q∂Q∂Qdx +dy +dz ∧dx+dx +dy +dz ∧dy+d(P dx+Q dy+R dz) = dP ∧dx+dQ∧dy+dR∧dz =∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂R∂R∂R∂P∂P∂Q∂Q∂R∂Rdx +dy +dz ∧dz = −dx∧dy +dz ∧dx+dx∧ dy −dy ∧dz −dz ∧dx+dy ∧dz =+∂x∂y∂z∂y∂z∂x∂z∂x∂y∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P=−dy ∧ dz +−dz ∧ dx +−dx ∧ dy.∂y∂z∂z∂x∂x∂yТаким образом, формула Стокса принимает видZdω =Zω,∂ΦΦ+гдеω = P dx + Q dy + R dz.4.5.
Формула Остроградского4.5.1.3Пусть Ω — такая ограниченная область в R , которая является кубируемым цилиндроидом относительно всехтрёх координатных плоскостей в R3 с декартовой системой координат Oxyz, и граница — замкнутая поверхность∂Ω = Φ принадлежит классу C 1 .Теорема 4.13. Если функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на замкнутой ограниченной области[Ω], непрерывно дифференцируемы внутри Ω и сходятся несобственные интегралыZZZZZZZZZ∂P∂Q∂Rdx dy dz,dx dy dz,dx dy dz,∂x∂y∂zΩтоZZZ Ω∂P∂Q ∂R++∂x∂y∂zΩгде Φ+Ωdx dy dz =ZZ(1)(P dy dz + Q dz dx + R dx dy),Φ+обозначает внешнюю сторону замкнутой поверхности Φ = ∂Ω.В силу симметричных условий на область Ω нужно доказать одно из равенствZZZZZZZZZZZZZZZ∂P∂Q∂Rdx dy dz =P dy dz;dx dy dz =Q dz dx,dx dy dz =R dx dy.∂x∂y∂zΩΩΦ+Φ+Ω(2)Φ+Остальные равенства в (2) доказываются аналогично и равенство (1) следует из равенств (2) на основаниисвойства линейности несобственных кратных интегралов и поверхностных интегралов второго рода.Докажем третье из равенств (2).
По условию, поверхности Φ является объединением графиков Φ1 и Φ2функций z = f1 (x, y), z = f2 (x, y), определённых в некоторой области D = пр.Oxy Φ в R2 , и f1 (x, y) 6 f2 (x, y)при (x, y) ∈ [D]. Область D квадрируема, а ориентация Φ+ определяется на графике Φ2 функции z = f2 (x, y)−верхней стороной Φ+2 , а на графике Φ1 функции z = f1 (x, y) — нижней стороной Φ1 .Рассмотрим произвольное исчерпывание {Dn } области D квадрируемыми компактами Dn , n ∈ N, и выберемпоследовательность (εn ), εn > 0, n ∈ N, таким образом, чтобы εn+1 < εn < n1 , n ∈ N, иf1 (x, y) + εn+1 < f1 (x, y) + εn < f2 (x, y) − εn < f2 (x, y) − εn+1 , (x, y) ∈ [Dn ].Тогда, по условию теоремы и определению кратного несобственного интеграла,ZZZZZZ∂R∂Rdx dy dz = limdx dy dz,n→+∞∂z∂zΩΩnгде Ωn , n ∈ N, обозначает цилиндроид (x, y, z) ∈ R3 f1 (x, y) + εn 6 z 6 f2 (x, y) − εn , (x, y) ∈ Dn , n ∈ N.67(3)Используя формулу повторного интегрирования для кратного интеграла, имеемZZZ∂Rdx dy dz =∂zΩnZZ[Dn ]=ZZdx dyf2 (x,y)−εnZ∂Rdz =∂zf1 (x,y)+εnZZ[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy =[Dn ][R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y))] dx dy +[Dn ]ZZ[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f2 (x, y))] dx dy+[Dn ]+ZZ[R(x, y, f1 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy = In + In1 + In2 .
(4)[Dn ]Докажем, чтоlim Ini = 0, i = 1, 2,(5)n→+∞проверим это утверждение для i = 1.Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как функция R(x, y, z) равномерно непрерывна на компакте[Ω], то существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для любых точек (x′ , y ′ , z ′ ), (x′′ , y ′′ , z ′′ ) ∈ [Ω], для которых|x′ − x′′ | < δ, |y ′ − y ′′ | < δ, |z ′ − z ′′ | < δ, выполняется неравенство |R(x′ , y ′ , z ′ ) − R(x′′ , y ′′ , z ′′ )| < пл.ε D . Выберемx′ = x′′ = x, y ′ = y ′′ = y, (x, y) ∈ D, и z ′ = f2 (x, y), z ′′ = f2 (x, y) − εn .
Тогда |z ′ − z ′′ | = εn , n ∈ N. Так какlim εn = 0, то существует такой индекс N ∈ N, N = Nδ = Nε , что для всех n ∈ N, n > Nε , справедливоn→+∞неравенство 0 < εn < δ. Поэтому|R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| <для всех (x, y) ∈ [D] и всех n ∈ N, n > Nε .Значит,ZZ 1In 6|R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| dx dy 6εпл. Dε· пл. Dn < ε, n ∈ N, n > Nε ,пл. D[Dn ]или lim In1 = 0. Итак, утверждение (5) доказано.
Согласно свойствам двойного несобственного интеграла,n→+∞lim In = limn→+∞ZZn→+∞[Dn ][R(x, y, f2 (x, y))−R(x, y, f1 (x, y))] dx dy =ZZR(x, y, f2 (x, y)) dx dy−DZZR(x, y, f1 (x, y)) dx dy.D(6)Далее, по определению поверхностных интегралов второго рода,ZZZZR(x, y, f2 (x, y)) dx dy =R(x, y, z) dx dyDиZZ(7)Φ+2R(x, y, f1 (x, y)) dx dy = −DZZ(8)R(x, y, z) dx dy.Φ−1Объединяя формулы (3)–(8), получимZZZZZZZZZ∂Rdx dy dz =R(x, y, z) dx dy +R(x, y, z) dx dy =R(x, y, z) dx dy,∂zΩΦ+2Φ−1Φ+то есть, третью формулу в (2). Теорема доказана.
4.5.2. Инвариантная запись формулы ОстроградскогоСчитаем функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) компонентами векторного поля p = (P, Q, R), определённого∂Q∂Rна [Ω]. Тогда ∂P∂x + ∂y + ∂z = div p. По предположению, в каждой точке гладкой поверхности Φ = ∂Ω существуетнепрерывная нормаль, единичный вектор которой имеет компоненты ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ). ТогдаZZZZZZP dy dz + Q dz dx + R dx dy =(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds =p · ν dsΦ+ΦΦ68есть поток векторного поля p через поверхность Φ.
Кроме того,ZZZZZZ ∂Q ∂R∂P++dx dy dz =div p dv.∂x∂y∂zΩΩПоэтому формула (1) принимает инвариантный видZZZZZdiv p dv =p · ν ds.Ω(9)Φ=∂Ω4.5.3.Теорема 4.14. Формула (1) остаётся справедливой, если область Ω ⊂ R3 можно с помощью гладкихповерхностей разбить на конечное число областей Ωk , k = 1, m, каждая из которых имеет вид, указанный вусловиях теоремы пункта 4.5.1 в некоторой декартовой системе координат (своей для каждого k, k = 1, m).ZZZ Ω∂P∂Q ∂R++∂x∂y∂zm ZZZ X∂P∂Q ∂Rdx dy dz =++dx dy dz =∂x∂y∂z=k=1 ΩkmX ZZZk=1 Ωk(9)div p · dv =nk Z Zm XXk=1 j=1p · ν ds =ZZP dy dz + Q dz dx + R dx dy,∂Ω+Φjkи последнее равенство имеет место, так как поверхностные интегралы по общим кускам границы соседнихобластей Ωk , Ωk+1 берутся по противоположным ориентациям, и значит, их суммы равны нулю, а также в силусвойства аддитивности поверхностных интегралов второго рода.
4.5.4. Замечание. О дифференцировании 2–формы в R3∂P∂P∂Pdx +dy +dz ∧dy∧dz+d(P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy) = dP ∧dy∧dz+dQ∧dz∧dx+dR∧dx∧dy =∂x∂y∂z∂Q∂Q∂Q∂R∂R∂R∂P∂Q+dx +dy +dz ∧ dz ∧ dx +dx +dy +dz ∧ dx ∧ dy =dx ∧ dy ∧ dz +dy ∧ dz ∧ dx+∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂x∂y∂R∂P∂Q∂R∂P∂Q ∂R+dz ∧ dx ∧ dy =dx ∧ dy ∧ dz +dx ∧ dy ∧ dz +dx ∧ dy ∧ dz =++dx ∧ dy ∧ dz∂z∂x∂y∂z∂x∂y∂zи формула Остроградского принимает видZΩdω =Zω,∂Ω+гдеω = P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy.4.6. Точные и замкнутые дифференциальные формы4.6.1.Пусть дифференциальная форма P dx + Q dy задана в области D ⊂ R2 и P (x, y), Q(x, y) непрерывны в D.Определение 1. Интегралы дифференциальной формы P dx + Q dy в области D зависят только от начала иконца пути интегрирования, если для любых двух точек A, B области D интегралы этой формы по всем путямкласса C 1 в D с началом A и концом B равны между собой.Теорема 4.15.
Интегралы дифференциальной формы в области D зависят только от начала и конца путиинтегрирования тогда и только тогда, когда её интегралы по всем замкнутым путям класса C 1 в D равнынулю.R Необходимость. Обозначим для краткости дифференциальную форму P dx + Q dy = ω. Пусть ω =L1Rω для любых путей L1 , L2 класса C 1 в D с общим началом и общим концом. Пусть L — произвольныйL2замкнутый путь класса C 1 в D с непрерывно дифференцируемой параметризацией f : [a, b] → D, f (a) = f (b).69RЕсли путь L одноточечный, то есть f = const, тоω = 0 (по определению). Пусть L — неодноточечный путь.LТогда существует c ∈ (a, b), что f (c) 6= f (a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
