Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 21

Файл №1118423 В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу) 21 страницаВ.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423) страница 212019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Проверим справедливость утверждения леммы для некоторой окрестности любой точки M поверхностиΦ, заданной векторной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] класса C 1 . Так как n(M ) 6= 0, то выберем такуюдекартову систему координат Oxyz, в которой ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ) имеет cos α > 0, cos β > 0, cos γ > 0.Тогда r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) и ′yu zu′ zu′ x′u x′u yu′ n(M ) = ′,,yv zv′ zv′ x′v x′v yv′ и все определители не равны нулю. Выше (пункт 3.1.4, лемма 1) установлено, что существуют такие окрестностиU1 (M ), U2 (M ), U3 (M ) на Φ, которые являются графиками функций переменных (x, y), (y, z), (x, z). Окрестность3TUi (M ) искомая.U(M ) =i=1Допустим теперь, что утверждение леммы в общем случае не верно.

Согласно допущению, для каждогочисла δn = n1 > 0, n ∈ N, можно указать такую связную часть Φn поверхности Φ, diam Φn = n1 , которая непроектируется на все координатные плоскости ни в одной декартовой системе координат. На каждой Φn выберемточку Mn ∈ Φn . Последовательность (Mn ) точек компакта Φ имеет сходящуюся подпоследовательность (Mnk ),lim Mnk = M0 и M0 ∈ Φ. Будем считать, что сама (Mn ) имеет lim Mn = M0 ∈ Φ.n→+∞k→+∞По предыдущему, существует такая окрестность U(M0 ) на Φ, которая однозначно проектируется на все трикоординатные плоскости в некоторой декартовой системе координат.

Так как lim δn = 0, то существует индексn→+∞N ∈ N, что для всех n > N справедливо Φn ∩ U(M0 ) 6= ∅. Противоречие со свойствами частей Φn ⊂ Φ, n ∈ N. 4.4.5. Случай IIПоверхность Φ — кусочно–гладкая.mSПо условию, Φ =Φk и каждая поверхность Φk , k = 1, m — гладкая. Согласно лемме из предыдущегоk=1пункта, для каждой Φk , k = 1, m, существует такое число δk > 0, что справедливо утверждение леммы. ВыберемnSk jδ = min(δ1 , δ2 , . .

. , δm ), δ > 0. Разобьём каждую поверхность Φk =Φk , diam Φjk = δ, чтобы каждая часть Φjkj=1однозначно проектировалась на все координатные плоскости в некоторой декартовой системе координат.m nSSk jΦk , и согласно свойству аддитивности поверхностного интеграла второго рода и предыдуТогда Φ =щему случаю,ZZ Φ+k=1 k=1∂R ∂Q−∂y∂zdy dz +=nk Z Z m XX∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P−dy dz +−dz dx +−dx dy =∂y∂x∂z∂x∂x∂yk=1 j=1∂P∂R−∂z∂xdz dx +∂Q ∂P−∂x∂ydx dy =Φj+k=nk Z Zm XXk=1 j=1rot p · ν dsслучай IΦj+k=nk Zm XXk=1 j=1 j+∂Φkp · t dl =m ZXP dx + Q dy + R dz,k=1Lkпоскольку криволинейные интегралы по общим участкам границ ∂Φik , j = 1, nk , k = 1, m, проходятся по противоположным направлениям и криволинейный интеграл первого рода обладает свойством аддитивности.664.4.6.

Замечание. Понятие внешнего дифференцирования дифференциальной формыв R3Положим dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dz ∧ dz = 0, dy ∧ dx = −dx ∧ dy, dz ∧ dy = −dy ∧ dz, dz ∧ dx = −dx ∧ dz иd(P dx + Q dy + R dz) = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz. Тогда∂P∂P∂P∂Q∂Q∂Qdx +dy +dz ∧dx+dx +dy +dz ∧dy+d(P dx+Q dy+R dz) = dP ∧dx+dQ∧dy+dR∧dz =∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂R∂R∂R∂P∂P∂Q∂Q∂R∂Rdx +dy +dz ∧dz = −dx∧dy +dz ∧dx+dx∧ dy −dy ∧dz −dz ∧dx+dy ∧dz =+∂x∂y∂z∂y∂z∂x∂z∂x∂y∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P=−dy ∧ dz +−dz ∧ dx +−dx ∧ dy.∂y∂z∂z∂x∂x∂yТаким образом, формула Стокса принимает видZdω =Zω,∂ΦΦ+гдеω = P dx + Q dy + R dz.4.5.

Формула Остроградского4.5.1.3Пусть Ω — такая ограниченная область в R , которая является кубируемым цилиндроидом относительно всехтрёх координатных плоскостей в R3 с декартовой системой координат Oxyz, и граница — замкнутая поверхность∂Ω = Φ принадлежит классу C 1 .Теорема 4.13. Если функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на замкнутой ограниченной области[Ω], непрерывно дифференцируемы внутри Ω и сходятся несобственные интегралыZZZZZZZZZ∂P∂Q∂Rdx dy dz,dx dy dz,dx dy dz,∂x∂y∂zΩтоZZZ Ω∂P∂Q ∂R++∂x∂y∂zΩгде Φ+Ωdx dy dz =ZZ(1)(P dy dz + Q dz dx + R dx dy),Φ+обозначает внешнюю сторону замкнутой поверхности Φ = ∂Ω.В силу симметричных условий на область Ω нужно доказать одно из равенствZZZZZZZZZZZZZZZ∂P∂Q∂Rdx dy dz =P dy dz;dx dy dz =Q dz dx,dx dy dz =R dx dy.∂x∂y∂zΩΩΦ+Φ+Ω(2)Φ+Остальные равенства в (2) доказываются аналогично и равенство (1) следует из равенств (2) на основаниисвойства линейности несобственных кратных интегралов и поверхностных интегралов второго рода.Докажем третье из равенств (2).

По условию, поверхности Φ является объединением графиков Φ1 и Φ2функций z = f1 (x, y), z = f2 (x, y), определённых в некоторой области D = пр.Oxy Φ в R2 , и f1 (x, y) 6 f2 (x, y)при (x, y) ∈ [D]. Область D квадрируема, а ориентация Φ+ определяется на графике Φ2 функции z = f2 (x, y)−верхней стороной Φ+2 , а на графике Φ1 функции z = f1 (x, y) — нижней стороной Φ1 .Рассмотрим произвольное исчерпывание {Dn } области D квадрируемыми компактами Dn , n ∈ N, и выберемпоследовательность (εn ), εn > 0, n ∈ N, таким образом, чтобы εn+1 < εn < n1 , n ∈ N, иf1 (x, y) + εn+1 < f1 (x, y) + εn < f2 (x, y) − εn < f2 (x, y) − εn+1 , (x, y) ∈ [Dn ].Тогда, по условию теоремы и определению кратного несобственного интеграла,ZZZZZZ∂R∂Rdx dy dz = limdx dy dz,n→+∞∂z∂zΩΩnгде Ωn , n ∈ N, обозначает цилиндроид (x, y, z) ∈ R3 f1 (x, y) + εn 6 z 6 f2 (x, y) − εn , (x, y) ∈ Dn , n ∈ N.67(3)Используя формулу повторного интегрирования для кратного интеграла, имеемZZZ∂Rdx dy dz =∂zΩnZZ[Dn ]=ZZdx dyf2 (x,y)−εnZ∂Rdz =∂zf1 (x,y)+εnZZ[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy =[Dn ][R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y))] dx dy +[Dn ]ZZ[R(x, y, f2 (x, y) − εn ) − R(x, y, f2 (x, y))] dx dy+[Dn ]+ZZ[R(x, y, f1 (x, y)) − R(x, y, f1 (x, y) + εn )] dx dy = In + In1 + In2 .

(4)[Dn ]Докажем, чтоlim Ini = 0, i = 1, 2,(5)n→+∞проверим это утверждение для i = 1.Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как функция R(x, y, z) равномерно непрерывна на компакте[Ω], то существует такое число δ = δ(ε) > 0, что для любых точек (x′ , y ′ , z ′ ), (x′′ , y ′′ , z ′′ ) ∈ [Ω], для которых|x′ − x′′ | < δ, |y ′ − y ′′ | < δ, |z ′ − z ′′ | < δ, выполняется неравенство |R(x′ , y ′ , z ′ ) − R(x′′ , y ′′ , z ′′ )| < пл.ε D . Выберемx′ = x′′ = x, y ′ = y ′′ = y, (x, y) ∈ D, и z ′ = f2 (x, y), z ′′ = f2 (x, y) − εn .

Тогда |z ′ − z ′′ | = εn , n ∈ N. Так какlim εn = 0, то существует такой индекс N ∈ N, N = Nδ = Nε , что для всех n ∈ N, n > Nε , справедливоn→+∞неравенство 0 < εn < δ. Поэтому|R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| <для всех (x, y) ∈ [D] и всех n ∈ N, n > Nε .Значит,ZZ 1In 6|R(x, y, f2 (x, y)) − R(x, y, f2 (x, y) − εn )| dx dy 6εпл. Dε· пл. Dn < ε, n ∈ N, n > Nε ,пл. D[Dn ]или lim In1 = 0. Итак, утверждение (5) доказано.

Согласно свойствам двойного несобственного интеграла,n→+∞lim In = limn→+∞ZZn→+∞[Dn ][R(x, y, f2 (x, y))−R(x, y, f1 (x, y))] dx dy =ZZR(x, y, f2 (x, y)) dx dy−DZZR(x, y, f1 (x, y)) dx dy.D(6)Далее, по определению поверхностных интегралов второго рода,ZZZZR(x, y, f2 (x, y)) dx dy =R(x, y, z) dx dyDиZZ(7)Φ+2R(x, y, f1 (x, y)) dx dy = −DZZ(8)R(x, y, z) dx dy.Φ−1Объединяя формулы (3)–(8), получимZZZZZZZZZ∂Rdx dy dz =R(x, y, z) dx dy +R(x, y, z) dx dy =R(x, y, z) dx dy,∂zΩΦ+2Φ−1Φ+то есть, третью формулу в (2). Теорема доказана.

4.5.2. Инвариантная запись формулы ОстроградскогоСчитаем функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) компонентами векторного поля p = (P, Q, R), определённого∂Q∂Rна [Ω]. Тогда ∂P∂x + ∂y + ∂z = div p. По предположению, в каждой точке гладкой поверхности Φ = ∂Ω существуетнепрерывная нормаль, единичный вектор которой имеет компоненты ν(M ) = (cos α, cos β, cos γ). ТогдаZZZZZZP dy dz + Q dz dx + R dx dy =(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds =p · ν dsΦ+ΦΦ68есть поток векторного поля p через поверхность Φ.

Кроме того,ZZZZZZ ∂Q ∂R∂P++dx dy dz =div p dv.∂x∂y∂zΩΩПоэтому формула (1) принимает инвариантный видZZZZZdiv p dv =p · ν ds.Ω(9)Φ=∂Ω4.5.3.Теорема 4.14. Формула (1) остаётся справедливой, если область Ω ⊂ R3 можно с помощью гладкихповерхностей разбить на конечное число областей Ωk , k = 1, m, каждая из которых имеет вид, указанный вусловиях теоремы пункта 4.5.1 в некоторой декартовой системе координат (своей для каждого k, k = 1, m).ZZZ Ω∂P∂Q ∂R++∂x∂y∂zm ZZZ X∂P∂Q ∂Rdx dy dz =++dx dy dz =∂x∂y∂z=k=1 ΩkmX ZZZk=1 Ωk(9)div p · dv =nk Z Zm XXk=1 j=1p · ν ds =ZZP dy dz + Q dz dx + R dx dy,∂Ω+Φjkи последнее равенство имеет место, так как поверхностные интегралы по общим кускам границы соседнихобластей Ωk , Ωk+1 берутся по противоположным ориентациям, и значит, их суммы равны нулю, а также в силусвойства аддитивности поверхностных интегралов второго рода.

4.5.4. Замечание. О дифференцировании 2–формы в R3∂P∂P∂Pdx +dy +dz ∧dy∧dz+d(P dy∧dz+Q dz∧dx+R dx∧dy) = dP ∧dy∧dz+dQ∧dz∧dx+dR∧dx∧dy =∂x∂y∂z∂Q∂Q∂Q∂R∂R∂R∂P∂Q+dx +dy +dz ∧ dz ∧ dx +dx +dy +dz ∧ dx ∧ dy =dx ∧ dy ∧ dz +dy ∧ dz ∧ dx+∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂x∂y∂R∂P∂Q∂R∂P∂Q ∂R+dz ∧ dx ∧ dy =dx ∧ dy ∧ dz +dx ∧ dy ∧ dz +dx ∧ dy ∧ dz =++dx ∧ dy ∧ dz∂z∂x∂y∂z∂x∂y∂zи формула Остроградского принимает видZΩdω =Zω,∂Ω+гдеω = P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy.4.6. Точные и замкнутые дифференциальные формы4.6.1.Пусть дифференциальная форма P dx + Q dy задана в области D ⊂ R2 и P (x, y), Q(x, y) непрерывны в D.Определение 1. Интегралы дифференциальной формы P dx + Q dy в области D зависят только от начала иконца пути интегрирования, если для любых двух точек A, B области D интегралы этой формы по всем путямкласса C 1 в D с началом A и концом B равны между собой.Теорема 4.15.

Интегралы дифференциальной формы в области D зависят только от начала и конца путиинтегрирования тогда и только тогда, когда её интегралы по всем замкнутым путям класса C 1 в D равнынулю.R Необходимость. Обозначим для краткости дифференциальную форму P dx + Q dy = ω. Пусть ω =L1Rω для любых путей L1 , L2 класса C 1 в D с общим началом и общим концом. Пусть L — произвольныйL2замкнутый путь класса C 1 в D с непрерывно дифференцируемой параметризацией f : [a, b] → D, f (a) = f (b).69RЕсли путь L одноточечный, то есть f = const, тоω = 0 (по определению). Пусть L — неодноточечный путь.LТогда существует c ∈ (a, b), что f (c) 6= f (a).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
759,95 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее