В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда базисы в касательной плоскости Π преобразуются с помощью матϕ′u ψu′рицы. Следовательно, координаты векторов преобразуются с помощью транспонированной матрицыϕ′v ψv′ ′′ϕu ϕv= J ; то есть, J — матрицы Якоби отображения u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v).ψu′ ψv′Если матрицу первой квадратичной формы для представления r = r(u, v) обозначить через A, а для представления r = p(u1 , v1 ) через A1 , то есть,E FA=, E = r 2u , F = r u · r v , G = r 2vFGE1 F1A1 =, E1 = p2u , F1 = pu · pv , G1 = p2v ,F1 G1то, как известно из курса линейной алгебры, A = J ∗ A1 J , где J ∗ — транспонированная матрица к J . Значит,для соответствующих определителей имеем равенство 2 E F E1 F1 ϕ′u ϕ′v 222 D(u1 , v1 ) · ′=илиEG−F=(EG−F).(1)1 11 F G F1 G1 ψu ψv′ D(u, v) 3.3.2.
Площадь гладкой поверхностиДлину дуги мы определяем как точную верхнюю грань длин вписанных ломанных. Однако определитьпо аналогии площадь поверхности как точную верхнюю грань площадей вписанных многогранников нельзя,поскольку последняя может быть бесконечной даже для простейших кривых поверхностей, как, например, дляповерхности прямого кругового цилиндра (этот пример предложен немецким математиком Шварцем, XIX в., ион обычно приводится в любом учебном пособии по многомерному математическому анализу). Но для гладкихкривых длину можно определить также как точную нижнюю грань (или предел) длин описанных ломанных.Этот принцип положен в основу определения сложного понятия площади гладкой поверхности. Качественноопишем этот процесс.Рассмотрим гладкую поверхность Φ, заданную параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ D, где D — областьв R2 (u, v) и [D] — квадрируемый компакт.
Рассмотрим на R2 (u, v) сетку шага h = 21n , n ∈ N, с квадратами Qk ,k ∈ N, пл. Qk = h2 = 41n , k ∈ N, и выберем N ∈ N таким, чтобы для любого n > N части Φk поверхности Φ,получаемые отображением r компактов ]D[∩Qk , можно проектировать на касательные плоскости, построенныев каждой точке на Φk . Последнее возможно в силу результатов, изложенных в пунктах 3.1.3 и 3.1.4. Рассмотримтеперь разбиение T компакта [D] на ячейки σk = [D] ∩ Qk , k = 1, m, и выберем на каждой σk произвольнуюточку (uk , vk ), которой соответствует точка Pk (uk , vk ) ∈ Φk . Пусть Fk , k = 1, m, обозначает проекцию части Φk накасательную плоскость Πk к Φk в точке Pk . Так как r(u+h, v)−r(u, v) = r u h+o(h), r(u, v+h)−r(u, v) = r v h+o(h),h → 0, то с точностью до бесконечно малых порядка o(h2 ), h → 0, можно читать, что площадь пл.Fk пластинкиFk равна площади параллелограмма на Πk , натянутого на векторы r u h и r v h в точке Pk (uk , vk ).
Последняя поопределению равна |r u h × r v h| = |r u × rv | (uk , vk )h2 , так что можно считать, что пл. Fk ∼= |r u × r v | (uk , vk )·пл. σk ,k = 1, m. Таким образом, суммарная площадь пластинок Fk , k = 1, m, образующих «чешую», покрывающуюповерхность Φ, приблизительно совпадает с интегральной суммойmXk=1|ru × r v | (uk , vk )∆σk53интегралаRR[D]|ru × r v | du dv, и значит, стремится к нему при стремлении к нулю диаметра разбиения T (приn → +∞). Этот предел и принимают по определению за площадь поверхности Φ:ZZпл. Φ =|r u × r v | du dv.[D]2 22 22Известно, что a × b + ab = |a| b .
Поэтому |r u × rv | = r 2u r 2v − (r u r v )2 = EG − F 2 иZZ pEG − F 2 du dv.пл. Φ =(2)[D]Формула (2) не зависит от выбора параметризации поверхности Φ. Действительно, пусть p(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈[D1 ] — другая параметризация поверхности Φ. ТогдаZZ pZZ pZZ q D(u1 , v1 ) 22 du1 dv1 =E1 G1 − F1 du1 dv1 =EF − G EF − G2 du dv = пл. Φ.пл. Φ1 =D(u, v) D[D1 ][D1 ]3.3.3. Поверхностные интегралы первого родаПусть Φ — гладкая поверхность в R3 , r = r(u, v) — её параметризация класса C 1 , (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 , D —область в R2 и [D] — квадрируемый компакт.
Пусть функция F (M ) определена в точках M поверхности Φ, такчто на [D] определена функция (F ◦ r)(u, v). Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений компакта[D] и базу d(T ) → 0 на P. Для произвольного размеченного разбиения Tζ ∈ P с ячейками Dk , k = 1, n,nSDk = [D], и набором ζ точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ Dk , k = 1, n, поверхность Φ разбивается на части Φk , k = 1, n,k=1nSΦk = Φ, и каждая Φk задаётся параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ Dk . При этом существуют площадиRR √пл. Φk =EG − F 2 du dv.k=1DkРассмотрим интегральную суммуσ(F ; Tζ ) =nX(3)(F ◦ r)(ξk , ηk )пл.
Φk .k=1Определение 1. Число I = lim σ(F ; Tζ ) (если предел существует) называется интегралом первого родаd(t)→0RRфункции F на гладкой поверхности Φ. Обозначение: I =F ds.ΦТеорема 3.3. Если функция F (M ) непрерывна на гладкой поверхности Φ и r(u, v) — некоторая векторная12параметризация поверхностиRR Φ класса C , (u, v) ∈ [D] ⊂ R , D — область и [D] — квадрируемый компакт, топоверхностный интегралF ds существует иΦZZΦF ds =ZZ[D]p(F ◦ r)(u, v) EG − F 2 du dv.Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tζ компакта [D] с ячейками Dk , k = 1, n,(4)nSDk = [D]k=1и с набором ζ = (ζ1 , . . . , ζn ) точек ζk = (ξk , ηk ) ∈ Dk , k = 1, n. В силу свойства аддитивности двойного интеграла,числоZZn ZZppX2I=(F ◦ r)(u, v) EG − F du dv =(F ◦ r)(u, v) EG − F 2 du dv(5)k=1 Dk[D]и число I существует, так как подинтегральная функция непрерывна на [D] по условию теоремы.
Для каждогоk, 1 6 k 6 n,ZZ pпл. Φk =EG − F 2 du dvDk54и следовательно, по определению (3) и свойству линейности двойного интеграла,σ(F ; Tζ ) =nXk=1(F ◦ r)(ξk , ηk )ZZ pn ZZpXEG − F 2 du dv =(F ◦ r)(ξk , ηk ) EG − F 2 du dv.(6)k=1 DkDkНа основании (5) и (6) имеем оценки n ZZpX|σ(F ; Tζ ) − I| = [(F ◦ r)(ξk , ηk ) − (F ◦ r)(u, v)] EG − F 2 du dv 6k=1DkZZZZ pnnpXX26|(F ◦ r)(ξk , ηk ) − (F ◦ r)(u, v)| EG − F du dv 6ω(F ◦ r; Dk )EG − F 2 du dv =k=1 Dk=1k=nXk=1ω(F ◦ r; Dk )пл. Φk 6 ω(F ◦ r; Tζ )DknXk=1пл. Φk = ω(F ◦ r; Tζ ) · пл.
Φ, (7)в которых ω(F ◦ r; Dk ), k = 1, n, обозначает колебание непрерывной функции (F ◦ r)(u, v) на компакте Dk , аω(F ◦ r; Tζ ) = max ω(F ◦ r; Dk ). В силу непрерывности функции (F ◦ r)(u, v), lim ω(F ◦ r; Tζ ) = 0, и согласно16k6n(7), существуетd(T )→0lim σ(F ; Tζ ) = I. Последнее, по определению 1, равносильно утверждению (4) теоремы. d(T )→0Доказанная теорема позволяет нам ввести определение 2, эквивалентное эквивалентное определению 1 длянепрерывных функций.Определение 2. Пусть гладкая поверхность Φ ⊂ R3 : Oxyz задана параметризациейr = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))класса C 1 на квадрируемом компакте [D], D — область в R2 : uOv.
Если на поверхности Φ задана непрерывнаяфункций F = F (x, y, z), такRR что непрерывна функция (F ◦ r)(u, v) = F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ [D], топоверхностный интегралF ds определяется формулойΦZZΦF (x, y, z) ds =ZZ[D]pF (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG − F 2 (u, v) du dv.3.3.4. Поверхностный интеграл второго родаПусть i, j, k — единичные координатные векторы правой декартовой системы координат в R3 : Oxyz.
Длягладкой поверхности Φ ⊂ R3 с векторной параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D] ⊂ R2 класса C 1 , где компакт[D] квадрируем, рассмотрим её положительную ориентацию Φ+ , определяемую нормалью n = r u × r v . Тогдаr(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ [D], иijk ′D(y, z)D(z, x)D(x, y)n = r u × r v = xu yu′ zu′ =i+j+k.D(u, v)D(u, v)x′ y ′ z ′ D(u, v)vvvnРассмотрим единичный нормальный вектор ν = |n|и его углы α, β, γ с ортами i, j, k, соответственно, так чтоν = (cos α, cos β, cos γ).Пусть на поверхности Φ задана векторная функция a = (a◦r)(u, v) = (P, Q, R) и P = P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),Q = Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), R = R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).RRОпределение 3. Поверхностным интеграломa ds второго рода вектора a по ориентируемой поверхностиΦ+ называют интегралΦ+ZZa ds =Φ+ZZΦгде (a · ν) — скалярное произведение векторов a и ν.55(a · ν) ds,(8)Формулу (8) называют векторной записью поверхностного интеграла второго рода.
Его координатной записью называют формулуZZZZa ds =P dy dz + Q dz dz + R dx dy.(9)Φ+Φ+Запись (9) представляет собой формулу интегрирования по ориентируемой поверхности дифференциальной2–формы в R3 , получающейся из дифференциальной 1–формы посредством операции внешнего дифференцирования (но только в случае R3 ). Интегрирование дифференциальных форм более высокого порядка, чем 1,относят к общим объектам изучения в курсах многомерного математического анализа и дифференциальнойгеометрии. На отделении механики этот материал излагается в параллельно читаемом курсе дифференциальнойгеометрии (чем, кстати, объясняется уменьшение числа академических часов в курсе математического анализа).Укажем способ вычисления интегралов (8) и (9). Согласно определениям (8) и (9),ZZZZZZZZP dy dz + Q dz dx + R dx dy =a ds =(a · ν) ds =(P cos α + Q cos β + R cos γ) ds.(10)Φ+Φ+ΦΦТак какru × rv1ν== √|r u × r v |EG − F 2тоix′ ux′vjyu′yv′k 1zu′ = √EG − F 2zv′ ′yu ′ yv ′zu1 ′cos β = ν · j = √2EG − F zv ′xu1 ′cos γ = ν · k = √2EG − F xv1cos α = ν · i = √EG − F 2и значит, с учётом (10) и (4),ZZΦ+a ds =ZZ [D] ′yu ′ yv ′yu1 ′P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √2EG − F yv ′xu1 ′+ R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √2EG − F xv ′zzu′ i + u′zv′ zvzu′ ,zv′ x′u ,x′v yu′ ,yv′ ′xx′u j + u′x′v xv yu′ k ,yv′ 1zu′ + Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √zv′ EG − F 2ZZyu′ p2EG − F du dv =yv′ [D]P ∂x ∂u ∂x∂vQ∂y∂u∂y∂v ′zu ′ zvx′u +x′v ZZR ∂z (a, ru , rv ) du dv,∂u du dv =∂z ∂v[D]где (a, ru , rv ) — смешанное произведение векторов a, r u , r v .RRЕсли Q = R = 0, (u, v) ∈ [D], получаем поверхностный интегралP (x, y, z) dy dz.
Аналогично определяютсяΦ+RRRRинтегралыQ(x, y, z) dz dx иR(x, y, z) dx dy.Φ+Φ+Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений компакта [D] и базу d(T ) → 0 на P. Для произвольного Tζ ∈ P рассмотрим интегральную суммуσ1 (P ; Tζ ) =nXk=1P (x(ξk , ηk ), y(ξk , ηk ), z(ξk , ηk )) cos αk · пл. Φk .Можно доказать, чтоZZP (x, y, z) dy dz = lim σ1 (P ; Tζ ).d(T )→0Φ+Аналогично можно получить записи двух других интегралов.563.3.5. Поверхностные интегралы по кусочно–гладким поверхностямПусть поверхность Φ склеена из m гладких поверхностей Φ1 , . . . , Φm и пусть Φ+ — та ориентация поверхности+Φ, которая получается склеиванием ориентируемых поверхностей Φ+1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
