В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ff< δ, i = 1, 2, что∧ iδiδПродолжим размеченные разбиения T ∧τ i , i = 1, 2, отрезка [c,! d], до размеченных разбиений Tτi , i = 1, 2,∧ iδотрезка [a, b] таким образом, чтобы диаметры d Tτiδi = d T ∧τ i < δ, i = 1, 2, и вне отрезка [c, d] разбиения!∧ iδT ∧τ i , i = 1, 2, имели бы одинаковые точки разбиения и одинаковые точки в наборах τi , i = 1, 2. Тогда 1δ2δσf (L; Tτ ) − σf (L; Tτ ) = σ∧12 fи согласно критерию Коши, не существует∧ 1δL; T ∧τ 1!− σ∧f!L; T ∧τ 2 > ε0 ,∧ 2δlim σf (L; Tτ ).
Последнее противоречит с условием теоремы иd(T )→0завершает доказательство. Теорема 2.8. (Свойство аддитивности). Пусть пути L1 и L2 принадлежат открытому множеству Dв R3 и конец пути L1 совпадает с началом пути L2 . Если дифференциальная форма L ≡ P dx + Q dy + R dz40интегрируема по каждому пути Li , i = 1, 2, то она интегрируема по композиции L = L1 + L2 этих путей иZP dx + Q dy + R dz =2 ZXi=1 LL(6)P dx + Q dy + R dz.i По определению, путь L обладает непрерывной параметризацией f : [a, c] → D и существует такая точкаb, a < b < c, что отображение f1 : [a, b] → D параметризует путь L1 , а отображение f2 : [b, c] → D параметризуетпуть L2 .
По условию, существуетZIi =P dx + Q dy + R dz, i = 1, 2.LiРассмотрим произвольное число ε > 0. Существуют такие числа δi > 0, i = 1, 2, что для любого размеченного разбиения Tτii отрезка ∆i , i = 1, 2, с диаметром d Tτii < δi для соответствующих интегральных суммвыполняются неравенстваσi (L; Tτi ) − Ii < ε , i = 1, 2.(7)i3Рассмотрим отображение F : D → R3 с компонентами (P, Q, R).
Так как отображение F непрерывно в D инепрерывно отображение f : [a, c] → D, то композиция F ◦ f непрерывна на [a, c], а следовательно ограниченана [a, c], то есть, существует такое число C > 0, что норма kF ◦ f (t)k 6 C для всех t ∈ [a, c]. Кроме того,отображение f , непрерывное на [a, c], равномерно непрерывно на [a, c]; то есть, существует такое число δ3 > 0,εчто kf (t′ ) − f (t′′ )k < 9Cдля всех t′ , t′′ ∈ [a, c], для которых |t′ − t′′ | < δ3 .Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ).
Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tτ отрезка [a, c] с d(Tτ ) < δ.Возможны два случая:1◦ Точка b — точка разбиения Tτ . Тогдаσf (L; Tτ ) = σf1 (L; Tτ11 ) + σf2 (L; Tτ22 )для некоторых размеченных разбиений Tτii отрезков ∆i и d(Tτii ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δi , i = 1, 2. Поэтому, в силу(7), ε ε|σf (L; Tτ ) − (I1 + I2 )| 6 σf1 (L; Tτ11 ) − I1 + σf2 (L; Tτ22 ) − I2 < + < ε.3 32◦ Существует такое k, что tk−1 < b < tk . Определим размеченное разбиение Tτ11 отрезка [a, b] с точкамиделения a = t0 < t1 < .
. . < tk−1 < tk = b. Тогда d(Tτ11 ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δ1 . Определим размеченное разбиениеTτ22 отрезка [b, c] с точками деления c = t20 < t21 = tk < . . . < t2n−k = tn = c. Тогда d(Tτ22 ) 6 d(Tτ ) < δ 6 δ2 .Для соответствующих интегральных сумм имеем соотношениеσf (L; Tτ ) − [σf1 (L; Tτ11 ) + σf2 (L; Tτ22 )] == P (ξk , ηk , ζk )∆xk +Q(ξk , ηk , ζk )∆yk +R(ξk , ηk , ζk )∆zk −2X[P (ξki , ηki , ζki )∆xik +Q(ξki , ηki , ζki )∆yki +R(ξki , ηki , ζki )∆zki ]i=1и2Xεεσfi (L; Tτii ) 6 3C · max {kf (tk ) − f (tk−1 )k , kf (b) − f (tk−1 )k , kf (b) − f (tk )k} < 3C ·= ,σf (L; Tτ ) −9C3i=1(8)так как d(Tτii ) < δ 6 δi , i = 1, 2.Итак, в обоих случаях |σf (L; Tτ ) − (I1 + I2 )| < ε для любого размеченного разбиения Tτ отрезка [a, c] сd(Tτ ) < δ; то есть, I1 + I2 = lim σf (L; Tτ ), что равносильно (6). d(T )→02.2.3.
Интегралы по координатамRRRRЕсли Q = R = 0 на D, то вместо P dx + 0 dy + 0 dz пишут P dx. Аналогично определяются Q dy и R dz.LLLLРассмотрим произвольную параметризацию f : [a, b] → D пути L. Для произвольного размеченного разбиения Tτ отрезка [a, b] точками деления a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ = (τ1 , . . . , τn ) точекτk ∈ [tk−1 , tk ], тогда, по определению,ZnXP dx = limP (ξk , ηk , ζk )∆xk ,d(T )→0Lk=141ZQ dx = limZR dx = limd(T )→0Ld(T )→0LnXQ(ξk , ηk , ζk )∆yk ,nXR(ξk , ηk , ζk )∆zk .k=1k=1В силу свойства линейности предела функции по базе,ZZZZP dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz.LLLL2.2.4.
Интегралы по замкнутому путиПусть L — замкнутый путь в D и f : [a, b] → D — какая–либо его параметризация. Рассмотрим произвольнуюc, a 6 c 6 b. Тогда L = L[a,c] + L[c,b] , где L[a,c] — часть пути L, соответствующая сужению функции f на [a, c];аналогично определяется L[c,b]. Так как L — замкнутый путь, то f (a) = f (b). Поэтому существует также путьLc = L[c,b] + L[a,c] . Если f (c) 6= f (a) (то есть, если a < c < b), то пути L и Lc имеют различные начала, и значит,это — разные пути. Однако, если дифференциальная форма L = P dx + Q dy + R dz интегрируема по L, то онаинтегрируема и по Lc , причёмZZP dx + Q dy + R dz = P dx + Q dy + R dz.LLc Согласно теореме 2.7, дифференциальная форма L интегрируема на L[a,c] и на L[c,b] , причём, согласносвойству аддитивности,ZZZP dx + Q dy + R dz =P dx + Q dy + R dz +P dx + Q dy + R dz.LL[a,c]L[c,b]Но тогда, снова по свойству аддитивности, дифференциальная форма L интегрируема и по пути Lc с тем жеинтеграломZZZP dx + Q dy + R dz =P dx + Q dy + R dz +P dx + Q dy + R dz.LcL[c,b]L[a,c]2.3.
Существование и вычисление криволинейных интегралов2.3.1. Существование криволинейного интеграла второго родаПусть дифференциальная 1–форма L = L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz определена наоткрытом множестве D пространства R3 , путь L лежит в D и имеет параметризацию f : [a, b] → D, [a, b] ⊂ R1 ,и f (ϕ, ψ, χ).Теорема 2.9. Если функции P, Q, R непрерывны в D, а путь L непрерывен и спрямляем (то есть,R имеетдлину), то дифференциальная форма P dx+Q dy+R dz интегрируема по пути L; то есть, существует P dx+LQ dy + R dz.
Согласно условию теоремы и теореме Жордана, функции ϕ, ψ, χ непрерывны на отрезке [a, b] и имеютна нём ограниченное изменение. Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений отрезка [a, b] и базуd(T ) → 0 на P. Пусть Tτ ∈ P задаётся точками разбиения a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b и набором τ точекτ = (τ1 , . . . , τn ), τk = [tk−1 , tk ], k = 1, n. Интегральную суммуσf (L; Tτ ) =nX[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ],(1)k=1в которой ξk = ϕ(τk ), ηk = ψ(τk ), ζk = χ(τk ), k = 1, n, и ∆xk = ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 ), ∆yk = ψ(tk ) − ψ(tk−1 ),∆zk = χ(tk ) − χ(tk−1 )), k = 1, n, можно рассматривать как сумму трёх интегральных сумм Стилтьеса длякомпозиций функций P ◦ f , Q ◦ f , и R ◦ f , соответственно, по функциям ϕ, ψ, χ, отвечающих размеченномуразбиению Tτ отрезка [a, b].
Так как функции P ◦ f, Q◦ f, R◦ f непрерывны на [a, b] как композиции непрерывных42функций P, Q, R и непрерывного отображения f , то они интегрируемы по Стилтьесу по функциям ограниченнойвариации ϕ, ψ, χ, соответственно. Поэтому, существуютlimd(T )→0nXP (ξk , ηk , ζk )∆xk =k=1limd(T )→0limd(T )→0nX(P ◦ f )(t)dϕ(t),(2)Zb(Q ◦ f )(t)dψ(t),(3)Zb(R ◦ f )(t)dχ(t),(4)aQ(ξk , ηk , ζk )∆yk =k=1nXZbaR(ξk , ηk , ζk )∆zk =k=1aи согласно (1) и свойству линейности предела функции по базе, существует lim σf (L; Tτ ), с одной стороны,d(T )→0Rпо определению равный P dx + Q dy + R dz, а, с другой стороны, в силу (2)–(4), равный суммеLZba(P ◦ f )(t)dϕ(t) +Zba(Q ◦ f )(t)dψ(t) +Zba(R ◦ f )dχ(t).Таким образом, при выполнении условий теоремы 2.9,ZP dx + Q dy + R dz =ZbaL(P ◦ f )(t)dϕ(t) +Zba(Q ◦ f )(t)dψ(t) +Zba(R ◦ f )(t)dχ(t).(5)2.3.2.
Вычисление криволинейного интеграла второго родаТеорема 2.10. Пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны на открытом множестве D пространства R3 , путь L, лежащий в D, принадлежит классу C 1 и f : [a, b] → D — непрерывно дифференцируемая параметризация пути L с компонентами f = (ϕ, ψ, χ). Тогда дифференциальная форма P dx + Q dy + R dzинтегрируема по L иZP dx + Q dy + R dz =Zb[P (ϕ(t), ψ(t), χ(t))ϕ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t), χ(t))ψ ′ (t) + R(ϕ(t), ψ(t), χ(t))χ′ (t)] dt.(6)aL Для произвольной параметризации f : [a, b] → D пути класса C 1 её компоненты ϕ, ψ, χ имеют на [a, b]ограниченное изменение (в силу ограниченности на [a, b] производных этих функций и теоремы Лагранжа иконечных приращениях).
Поэтому, согласно теореме 2.9 справедлива формула (5). Более того, интегралы Стилтьеса в формуле (5) можно вычислить через интегралы Римана (как это доказано в теории интеграла Стилтьеса)в видеZba(P ◦ f )(t)dϕ(t) +Zb=Zbaa(Q ◦ f )(t)dψ(t) +Zba′(R ◦ f )(t)dχ(t) =P (ϕ(t), ψ(t), χ(t))ϕ (t) dt +Zb′Q(ϕ(t), ψ(t), χ(t))ψ (t) dt +aZbR(ϕ(t), ψ(t), χ(t))χ′ (t) dt. (7)aФормула (6) теперь следует из формул (5) и (7) и свойства линейности определённого интеграла. 432.3.3. Криволинейные интегралы первого родаРассмотрим путь L класса C 1 , лежащий в открытом множестве D пространства R3 и пусть f : [a, b] → D —его непрерывно дифференцируемая параметризация с компонентами f = (ϕ, ψ, χ).Длина |L| пути L вычисляется по формулеZb q222|L| =|ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dtaи не зависит от выбора параметризации f .
Более того, спрямляемая любая часть L[a,τ ] пути L, параметризуемаясужением отображения f на отрезок [a, τ ] ⊂ [a, b]. Таким образом, определена функцияZτ q222l(τ ) =|ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt, τ ∈ [a, b],aи l(τ ) > 0, τ ∈ [a, b], l(τ ) ↑↑ на [a, b] и l : [a, b] → [0, |L|]. Более того, функция l(τ ) непрерывно дифференцируемаяна [a, b] иq|ϕ′ (t)|2 + |ψ ′ (t)|2 + |χ′ (t)|2 dt.dl(t) =(8)Обратная функция t = j(l), l ∈ [0, |L|], непрерывно дифференцируема и строго возрастает на [0, |L|], иотображает этот отрезок на [a, b]. Поэтому, композиция g = f ◦ j, g : [0, |L|] → D, также является непрерывнодифференцируемой параметризацией исходного пути L. Её компоненты g = (g1 , g2 , g3 ) имеют вид g1 (l) = ϕ(j(l)),g2 (l) = ψ(j(l)), g3 (l) = χ(j(l)), l = [0, |L|].RОпределение 1.
Пусть функция F (x, y, z) определена в D. Криволинейным интегралом первого рода F (x, y, z) dtLот функции F (x, y, z) по кривой L называют определённый интегралZ|L|F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl0(если он существует), то есть, по определению,ZLZ|L|F (x, y, z) dl = F (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl.(9)0Теорема 2.11. Если функция F (x, y, z) непрерывна в точках множества пути L класса C 1 , тоZF (x, y, z) dl =ZbaLq222F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) |ϕ′ (t)| + |ψ ′ (t)| + |χ′ (t)| dt.(10) Так как функция F (x, y, z) непрерывна на множестве точек пути L, то функция F (g1 (l), g2 (l), g3 (l))непрерывна на отрезке [0, |L|] и интегрируема на нём, так что существует определённый интеграл в правойчасти формулы (9) и, по определению 1, существует криволинейный интеграл в левой части формулы (9), исправедливо само равенство (9).
Проведя в определённом интеграле в правой части (9) замену переменнойинтегрирования t = j(l), получим равенствоZ|L|ZbF (g1 (l), g2 (l), g3 (l)) dl = F (ϕ(t), ψ(t), χ(t))dl(t),(11)a0в правой части которого стоит интеграл Стилтьеса для функции F (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) по функции l(t). Этот интеграл, с учётом выражения (8), вычисляется по формулеZbaF (ϕ(t), ψ(t), χ(t))dl(t) =ZbaqF (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) |ϕ′ (t)|2 + |ψ ′ (t)|2 + |χ′ (t)|2 dt.Объединяя формулы (9), (11) и (12), получим формулу (10). 44(12)3.
Поверхностные интегралы3.1. Элементы теории поверхностей3.1.1. Векторная функция двух переменныхПусть на плоскости R2 задана декартова прямоугольная система координат uOv и непустое открытое множество E ⊂ R2 . Если каждой точке M (u, v) ∈ E поставлен в соответствие некоторый вектор r(M ) = r(u, v) ∈ R3 ,то говорят, что на множестве E задана векторная функция двух переменных.Рассмотрим базу B на E ⊂ R2 . Постоянный вектор a ∈ R3 называется пределом векторной функцииr(M ) = r(u, v) по базе B, если для любого числа ε > 0 существует такой элемент Bε базы B, что для всех точекM (u, v) ∈ Bε справедливо неравенство |r(u, v) − a| < ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
