В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поскольку |f (x)| >0, то последнее предположение, согласно признаку сравнения несобственных кратных интегралов, означает, чтоZlim|f (x)| dx = +∞n→+∞Knдля любого квадрируемого (кубируемого) исчерпывания (Kn ; n ∈ N) множества D. Поэтому, не ограничиваяобщности, можно считать, что для квадрируемого (кубируемого) исчерпывания {Kn n ∈ N} множества D справедливо свойствоZZ|f (x)| dx > 3Kn+1|f (x)| dx + 2n + 2, n ∈ N.(7)KnОбозначим через Pn замыкание множества Kn+1 \]Kn [. Тогда Kn+1 = Kn ∪ Pn , ]Kn [ ∩ ]Pn [= ∅ и, в силусвойства аддитивности кратных интегралов, неравенство (7) переходит в неравенствоZZ|f (x)| dx > 2 |f (x)| dx + 2n + 2, n ∈ N.(8)PnKnКроме того, на основании (6), имеемZ|f (x)| dx =PnZf+ (x) dx +PnZf− (x) dx.(9)PnФиксируем n ∈ N и предположим, чтоZf+ (x) dx >PnZf− (x) dx.PnТогда, на основании (8) и (9), имеем,Zf+ (x)|, dx >PnZ|f (x)| dx + n + 1.(10)KnРазобьём компакт Pn на конечное число ячеек Pni , i = 1, m, чтобыZmX0 6 f+ (x) dx −mi ∆σi 6 1,(11)i=1Pnгде mi = infi f+ (x) и ∆σi = пл.
Pni (= об . Pni ), i = 1, m. Объединяя (1) и (11), получаемPnmXmi ∆σi >i=1Так как mi > 0, то оставляем вmPZ|f (x)| dx + n.(12)Knmi ∆σi лишь те слагаемые, в которых mi > 0. Объединение соответ-i=1ствующих ячеек Pni обозначим Pn′ . На компакте Pn′ функция f+ (x) > 0, и значит, f+ (x) = f (x) > 0, x ∈ Pn′ , анеравенство (12) принимает видZZmXf (x) dx >mi ∆σi >|f (x)| dx + n.(13)Pn′i=1Kn34Положим Kn∗ = Kn ∪ Pn′ , ]Pn′ [ ⊂ ]Pn [ и ]Kn [ ∩ ]Pn′ [ ⊂ ]Kn [ ∩ ]Pn [= ∅. Так как f (x) > − |f (x)| иZZf (x) dx > − |f (x)| dx,KnKnто на основании (13) и свойства аддитивности кратных интегралов получаем неравенствоZZZZZf (x) dx =f (x) dx + f (x) dx >f (x) dx + |f (x)| dx + n > n.K∗nЕсли предположить, чтонеравенствоKnRPnf− (x) dx >Pn′RPnKn(14)Knf+ (x) dx, то, поскольку f− (x) = −f (x) для всех x ∈ Pn′ , получаемZ(15)f (x) dx < −n.K∗nОбъединяя (14) и (15), получаемZ f (x) dx > n, n ∈ N.K∗n(16)Поскольку система {Kn ; n ∈ N} образует исчерпывание открытого множества D и Kn∗ = Kn ∪ Pn′ , ]Pn′ [⊂]Pn [,∞∞SS∗Pn = [Kn+1 \Kn ], то ]Kn [ ∩ ]Pn′ [= ∅, и поэтому Kn∗ ⊂]Kn+1[.
Кроме того,Kn∗ = D, так какKn = D. Такимn=1n=1образом, система {Kn∗ ; n ∈ N} образует квадрируемое (кубируемое)исчерпывание множества D, и поэтому нераRвенство (16) показывает, что несобственный интеграл f (x) dx расходится. Последнее противоречит сделанномуDвыше предположению, и теорема доказана полностью. 352. Криволинейные интегралы2.1. Пути в Rn2.1.1.Непрерывное отображение f : I → Rn , n > 1, невырожденного отрезка I ⊂ R, I = [a, b], a < b, называютдугой Жордана f в Rn . Тогда f = (f1 , . . . , fn ) и fi = fi (t), t ∈ [a, b], i = 1, n.Пусть j : J → I — строго возрастающее отображение отрезка J = [c, d] на отрезок [a, b] = I.
Так как Iсвязное множество и функция j строго возрастает на отрезке J = [c, d], то j — непрерывная функция на [c, d]и существует обратная функция j −1 : [a, b] → [c, d], j −1 строго возрастает и непрерывна на [a, b]. Отображениеg = f ◦ j, g : J → Rn , определяет дугу Жордана g в Rn , которую называют эквивалентной дуге f . Обозначение:g ∼ f . Проверим выполнение свойств отношения эквивалентности:1. f ∼ f (рефлексивность);2.
из g ∼ f следует f ∼ g (симметричность);3. из h ∼ g и g ∼ f следует h ∼ f (транзитивность).1. Рассмотрим j = i : I → I — тождественное отображение. Тогда i строго возрастает на I и f = f ◦ i; то есть,f ∼ f.2. Если f ∼ g, то g = f ◦ j, где функция j строго возрастает на отрезке J и j : J → I. Тогда обратноеотображение j −1 строго возрастает на отрезке I, j −1 : I → J и f = g ◦ j −1 ; так что g ∼ f .3. Если h ∼ g и g ∼ f , то h = g ◦ k, g = f ◦ j, так что h = f ◦ (j ◦ k) и (j ◦ k) строго возрастает на некоторомотрезке K = [p, q], так что h ∼ f .Множество эквивалентных дуг Жордана называется непрерывным путём L в Rn . Каждая эквивалентнаядуга Жордана f , f : I → Rn , f (t) = (f1 (t), .
. . , fn (t)), t ∈ I, называется параметризацией пути L. Если g ∼ f , тодуга g, g : J → Rn , g(τ ) = (g1 (τ ), . . . , gn (τ )) является другой параметризацией пути L.Лемма 1. Каждый непрерывный путь можно параметризовать дугой, параметр которой пробегает любой заданный невырожденный отрезок на R. Пусть f — некоторая параметризация пути L, f : [a, b] → Rn и [c, d] — произвольный невырожденный−cотрезок на R. Отображение t = j(τ ) = a+ τd−c(b−a) называют аффинной параметризацией; оно строго возрастает,непрерывно на [c, d] и отображает этот отрезок на отрезок [a, b].
Тогда g = f ◦ j непрерывна на [c, d] и так какa = j(c), b = j(d), то f (a) = g(c) и f (b) = g(d) и f ∼ g, так что g также будет параметризацией пути L. Пусть f и g — любые две параметризации пути L в Rn ; f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn . Так как f ∼ g, тосуществует строго возрастающее отображение j : [c, d] → [a, b], что g = f ◦ j (при этом отображение j непрерывнопо теореме о гомеоморфизме отрезков).
Поскольку a = j(c), b = j(d), то f (a) = g(c) и f (b) = g(d). Точкаf (a) = (f1 (a), . . . , fn (a)) ∈ L называется началом пути L, точка f (b) = (f1 (b), . . . , fn (b)) — концом пути L. Еслиf (a) = f (b), путь L называют замкнутым.Пример 1.1. Для произвольных точек A = (A1 , . . . , An ) и B = (B 1 , . . .
, B n ) путь L = [A, B], определяемыйпараметрическими уравнениями xk = (1 − t)Ak + tB k , t ∈ [0, 1], k = 1, n, называют прямолинейным отрезком[A, B] в Rn с начальной точкой A и конечной точкой B.2.1.2. Противоположные путиОбозначим σu,v — симметрию отрезка [u, v] ⊂ R, относительно его середины u+v2 . Симметрия задаётся формулойσu,v (t) = u + v − t, t ∈ [u, v].u+vu+v2В частности, σu,v 2= 2 , σu,v (u) = v и σu,v (v) = u.
Отображение σu,v ↓↓ на [u, v]. При этом σu,v=−1σu,v ◦ σu,v = 1u,v — тождественное отображение, и следовательно, σu,v = σu,v .Пусть f и g — параметризации пути L в Rn ; f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn и g = f ◦ j, j : [c, d] → [a, b], j ↑↑.Тогдаg ◦ σc,d = f ◦ j ◦ σc,d = (f ◦ σa,b ) ◦ (σa,b ◦ j ◦ σc,d ).Отображение σa,b ◦j ◦σc,d ↑↑ на [c, d] и отображает этот отрезок на [a, b]. Поэтому g ◦σc,d ∼ f ◦σa,b ; то есть, f ◦σa,bи g ◦ σc,d — параметризации одного и того же пути.
Назовём этот путь противоположным пути L и обозначимчерез −L. Началом пути −L служит конец f (b) = g(d) пути L, а концом пути −L служит начало f (a) = g(c)2пути L. Так как σa,b= 1a,b , то −(−L) = L.362.1.3. Простые путиДуга Жордана может иметь точки самопересечения или даже самоналожения. То же относится и к путямв Rn .
Незамкнутый путь называется простым, если он допускает биективную параметризацию. Очевидно, чтотогда все параметризации простого пути биективны. Пример: прямолинейный отрезок [A, B] в Rn .Теорема 2.1. Множество точек простого незамкнутого пути в Rn гомеоморфно невырожденному отрезку (на R). При этом каждое множество точек из Rn , гомеоморфное невырожденному отрезку (на R)является множеством точек ровно двух (взаимно противоположных) простых незамкнутых путей.В частности, направленный отрезок из R2 служит множеством точек единственного простого незамкнутогопути с тем же началом. Поэтому мы будем отождествлять график непрерывной функции g(x) на невырожденномотрезке [a, b], направленный слева направо, с простым незамкнутым путём L, заданным параметрическимиуравнениями.x = t, y = g(t) t ∈ [a, b].Замкнутый путь называют простым, если он допускает параметризацию h с невырожденным отрезком [a, b],обладающую свойством, что если h(x) = h(y), и x < y, то x = a, y = b.
Очевидно, все остальные параметризацииобладают этим свойством.Пример 1.2. Окружность Γ на R2 , задаваемая параметрическими уравнениями: x = R cos t, y = R sin t,R > 0, t ∈ [0, 2π] — простой незамкнутый путь в R2 .Теорема 2.2. Множеством точек простого незамкнутого пути на R2 гомеоморфно окружности. Приэтом, каждое множество точек плоскости, гомеоморфное окружности, является множеством точек ровнодвух (взаимно противоположных) простых замкнутых путей с заданным началом, которым может служить любая точка множества.2.1.4. Композиция путейПусть конец пути L служит началом пути M .
Тогда из L и M можно образовать составной путь N следующимобразом. Пусть f и g — какие-либо параметризации путей L и M , соответственно; то есть, f : [a, b] → Rn ,g : [a, b] → Rn , и f (b) = g(a). Рассмотрим произвольное c > b, и положим g = g ◦ j, где j : [b, c] → [a, b] строговозрастающее (например, аффинное) отображение; то есть,j(t) = a +t−b(b − a), t ∈ [b, c].c−bТогда g является параметризацией пути M , g : [b, c] → Rn , и f (b) = g(b). Отображения f и g можно простейшим образом «склеить», положив(f (t), если t ∈ [a, b];h(t) =(1)g(t), если t ∈ [b, c].Так как f непрерывно слева в t = b, а g непрерывна справа в t = b и f (b) = g(b), то h(t) непрерывно вточке t = b.
Значит, h : [a, c] → Rn является параметризацией некоторого пути N . Этот же путь N получитсяпри любом другом выборе параметризаций путей L и M . Путь N назовём композицией путей L и M и будемобозначать L + M = N .Рассмотрим произвольный конечный набор путей {Li }, i = 1, m, в котором конец пути Li совпадает с началомпути Li+1 для всех i = 1, m − 1. Если уже определён смысл композиции m − 1 путей L1 , . . .
, Lm−1 , то подкомпозицией L1 , . . . , Lm−1 , Lm понимается путь (L1 + . . . + Lm−1 ) + Lm .Если пути Li , i = 1, m — прямолинейные отрезки, то их композиция называется ломаной линией.2.1.5. Пути класса C 1Путём класса C 1 будем называть путь, допускающий непрерывно дифференцируемую параметризацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
