В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Примером пути класса C 1 служит прямолинейный отрезок.Теорема 2.3. Композиция путей класса C 1 есть путь класса C 1 . Пусть L и M класса C 1 имеют непрерывно дифференцируемые параметризации f : [a, b] → Rn , g : [a, b] →nR и f (b) = g(a). Если c > b и j : [b, c] → [a, b] — аффинное отображение, то g = g ◦ j — непрерывно дифференцируемо на [b, c]. Однако, отображение h, определяемое формулой (1), может не быть дифференцируемымв точке t = b (хотя отображение h(t) = (h1 (t), . . . , hn (t)) имеет левую и правую производные в точке t = b, нопроизводные могут не совпадать).
Поэтому склеим дуги f и g более гладко. Положим(f ◦ ja,b (t), если t ∈ [a, b];h(t) =g ◦ jb,c (t), если t ∈ [b, c],37где ju,v (t) = u +v−u2′1 − cos π(t−u), t ∈ [u, v]. Поскольку ju,v(t) =v−uπ2sin π(t−u)v−u , t ∈ [u, v], и0, если t = u;′ju,v(t) = > 0, если t ∈ (u, v);0, если t = v,то ju,v строго возрастает на [u, v].Отображения f ◦ ja,b и g ◦ ja,b являются параметризациями путей L и M . Отображение h(t) непрерывно дифференцируемо на полуинтервалах [a, b) и (b, c] (как композиция непрерывно дифференцируемых отображений).1nПусть h(t) = (h (t), .
. . , h (t)), и(f i ◦ ja,b (t), если t ∈ [a, b];ih (t) =i = 1, n.g i ◦ jb,c (t), если t ∈ [b, c],iii′′′′Так как ja,b(b) = jb,c(b) = 0 и (h )′лев. (b) = (f i )′лев (b)ja,b(b) = 0, (h )′прав (b) = (g i )′прав (b)jb,c(b) = 0, то(h )′ (b) = 0, i = 1, n. Далее, при t → b − 0 имеемi′(h )′ (t) = (f i )′ (ja,b (t))ja,b(t) → (f i )′ (b) · 0 = (hi )′ (b), i = 1, n,а при t → b + 0 имеемii′(h )′ (t) = (g i )′ (jb,c (t))jb,c(t) → (g i )′ (b) · 0 = (h )′ (b), i = 1, n.iПоэтому, производные всех функций (h )′ (t), i = 1, n, непрерывны в точке t = b.′Итак, производное отображение h (t) непрерывно на [a, c], и параметризация h(t) : [a, c] → Rn задаёт компо1зицию путей L + M = N класса C .
Следствие 2.1. Всякая ломаная — путь класса C 1 .Так как симметрия отрезка относительно своей середины является непрерывно дифференцируемым отображением, то получаем:Следствие 2.2. Если L есть путь класса C 1 , то и противоположный ему путь −L будет путём классаC .12.1.6.
Длина путиТеорема 2.4. Все параметризации одного и того же пути имеют одинаковую длину. Пусть f и g — параметризации пути L, так что g = f ◦ j, f : [a, b] → Rn , g : [c, d] → Rn , j : [c, d] → [a, b],отображение j строго возрастает, и f = (f1 , . . . , fn ), g = (g1 , . . . , gn ). Рассмотрим множество P и P ′ всехразбиений отрезков [a, b] и [c, d], соответственно. Тогда j порождает биекцию множеств P и P ′ .
Действительно,рассмотрим произвольное разбиение T ′ ∈ P ′ с точками c = τ0 < τ1 < . . . < τm−1 < τm = d и положим tk = j(τk ),k = 0, m. Тогда a = t0 < t1 < . . . < tm−1 < tm = b есть некоторое разбиение T отрезка [a, b]. Поскольку обратноеотображение j −1 также строго возрастает, то заключаем, что каждое разбиение T отрезка [a, b] порождаетнекоторое разбиение T ′ отрезка [c, d]. Для периметров σ(T ′ , g) и σ(T ; f ) вписанных в L ломаных имеемvvm uXnm uXXXuu nt (gi (τk ) − gi (τk−1 ))2 =t (fi (tk ) − fi (tk−1 ))2 = σ(T ; f ),σ(T ′ ; g) =k=1i=1k=1i=1так что sup σ(T ′ ; g) T ′ ∈ P ′ = sup σ(T ; f ) T ∈ P , и следовательно, длины дуг Жордана f и g совпадают.2.2.
Понятие и основные свойства криволинейного интеграла2.2.1. Дифференциальные 1–формы в R3Дифференциальной 1–формой на открытом множестве D ⊂ R3 называется семейство однородных линейных функций на R3 , зависящее от параметра u = (x, y, z), пробегающего D.Всякая однородная линейная функция на R3 имеет вид P · h + Q · k + R · l, где P, Q, R — постоянныеи (h, k, l) ∈ R3 . Поэтому дифференциальная 1–форма на D задаётся тремя функциями P (x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z), определёнными на D, и имеет видL(x, y, z)(h, k, l) = P (x, y, z) · h + Q(x, y, z) · k + R(x, y, z) · l.38(1)Если функция F (x, y, z) дифференцируема в D, то её дифференциал dF (x, y, z) есть дифференциальная1–форма, задаваемая формулойdF (x, y, z)(h, k, l) = Fx′ (x, y, z) · h + Fy′ (x, y, z) · k + Fz′ (x, y, z) · l.В частности, для координатных функций F (x, y, z) = x, F (x, y, z) = y, F (x, y, z) = z имеем соотношенияdx(h, k, l) = h, dy(h, k, l) = k, dz(h, k, l) = l,подставляя которые в (1), получим формулуL(x, y, z)(h, k, l) = P (x, y, z) dx(h, k, l) + Q(x, y, z) dy(h, k, l) + R(x, y, z) dz(h, k, l)для всех (h, k, l) ∈ R3 , и значит,L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz.(2)— общий вид дифференциальной 1–формы на открытом множестве в R3 .Поэтому, в частности,dF (x, y, z) = Fx′ (x, y, z) dx + Fy′ (x, y, z) dy + Fz′ (x, y, z) dz.2.2.2.
Понятие криволинейного интеграла (второго рода)Пусть даны:1. дифференциальная 1–форма L = L(x, y, z) = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz на открытом множестве D ∈ R3 и функции P , Q, R — непрерывны в D;2. путь L в D с параметризацией f : [a, b] → D, D ⊂ R3 , и f = (f 1 , f 2 , f 3 ).Рассмотрим множество P всех размеченных разбиений отрезка [a, b] и базу d(T ) → 0 на P. Пусть Tτ ∈ Pзадаётся точками a = t0 < t1 < . .
. < tn−1 < tn = b и набором τ точек τ = (τ1 , . . . , τn ), τk ∈ [tk−1 , tk ], k = 1, n.Составим интегральную суммуσf (L; Tτ ) =nX[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ],(3)k=1в которой ξk = f 1 (τk ), ηk = f 2 (τk ), ζk = f 3 (τk ), k = 1, n, и ∆xk = f 1 (tk ) − f 1 (tk−1 ), ∆yk = f 2 (tk ) − f 2 (tk−1 ),∆zk = f 3 (tk ) − f 3 (tk−1 ), k = 1, n.Определение 1. Если существует lim σf (L, Tτ ) = I, то число I называют интегралом дифференциальнойd(T )→01–формы L вида (2) по пути L и обозначаютZI = P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz,(4)Lили короче,ZP dx + Q dy + R dz.LИнтеграл (4) называют также криволинейным интегралом второго рода от функций P, Q, R по пути L.Теорема 2.5. Криволинейный интеграл (4) не зависит от выбора параметризации пути L. Рассмотрим две параметризации пути L — f : [a, b] → D и g : [c, d] → D.
Тогда g = f ◦j, где j : [c, d] → [a, b]— аффинная параметризация.Рассмотрим произвольное размеченное разбиение Tτ′ ′ отрезка [c, d] точками c = t′0 < t′1 < . . . < t′n−1 < t′n = dи набором τ ′ = (τ1′ , . . . , τn′ ), τk′ ∈ [t′k−1 , t′k ], k = 1, n. Тогда точки tk = j(t′k ), k = 0, n, и набор τ = (τ1 , . .
. , τn ),τk = j(τk′ ), k = 1, n, образуют размеченное разбиение Tτ отрезка [a, b], для которого интегральная суммаσf (L, Tτ ) =nX[P (ξk , ηk , ζk )∆xk + Q(ξk , ηk , ζk )∆yk + R(ξk , ηk , ζk )∆zk ] =k=1=nXk=1[P (f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 1 (tk ) − f 1 (tk−1 )) + Q(f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 2 (tk ) − f 2 (tk−1 ))++ R(f 1 (τk ), f 2 (τk ), f 3 (τk ))(f 3 (tk ) − f 3 (tk−1 ))] =+ Q(g1(τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 2 (t′k )−g2(t′k−1 ))nX[P (g 1 (τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 1 (t′k ) − g 1 (t′k−1 ))+k=11+ R(g (τk′ ), g 2 (τk′ ), g 3 (τk′ ))(g 3 (t′k ) − g 3 (t′k−1 ))] = σg (L, Tτ′ ′ ).39Еслиlim σf (L, Tτ ) = I, то для произвольного числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любогоd(T )→0размеченного разбиения Tτ с d(Tτ ) < δ справедливо |I − σf (L; Tτ )| < ε.Так как j : [c, d] → [a, b] непрерывна, то она равномерно непрерывна на [c, d], и следовательно, для числа′′′ ′′′′′δ > 0 существует такое число η > 0, то |j(t′ ) −Так как j(t′k ) = tk , j(t )| < δ для любых t , t ∈ [c, d], |t − t | < η.′′′k = 0, n, то |tk − tk−1 | < δ, если tk − tk−1 < η, k = 0, n.
Следовательно, |I − σg (L; Tτ ′ )| < ε для любогоразмеченного разбиения Tτ′ ′ с d(Tτ′ ′ ) < η; то есть, I = limσg (L; Tτ′ ′ ). ′d(T )→0Теорема 2.6. Дифференциальная форма P dx + Q dy + R dz интегрируема по пути L тогда и только тогда,когда она интегрируема по противоположному пути −L. При этомZZP dx + Q dy + R dz = − P dx + Q dy + R dz.(5)L−L Пусть f — какая–либо параметризация пути L и f : [a, b] → D. Рассмотрим произвольное размеченноеразбиение Tτ отрезка [a, b] точками a = t0 < t1 < .
. . < tn−1 < tn = b и набором τ = (τ1 , . . . , τn ), τk ∈ [tk−1 , tk ],k = 1, n. Симметрия σa,b преобразует размеченное разбиение Tτ в размеченное разбиение T τ отрезка [a, b]точками a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b, где tn−k = σa,b (tk ), k = 0, n, и τ n−k = σa,b (τk ), k = 1, n.Отображение f = f ◦ σa,b является, по определению, параметризацией пути −L. Для соответствующихинтегральных сумм имеем соотношениеσf (L; Tτ ) = −σf (L; T τ ),так как ∆xk = −∆xk , ∆yk = −∆yk , ∆zk = −∆z k , k = 1, n.
Согласно свойству линейности предела функции побазе, существуетZlim σf (L; T τ ) = − lim σf (L; Tτ ) = − P dx + Q dy + R dz,d(T )→0d(T )→0Lчто равносильно (5). Так как −(−L) = L, то верно и обратное утверждение. Теорема 2.7. Дифференциальная форма L = P dx + Q dy + R dz, интегрируемая по пути L, интегрируемапо каждой части пути L.∧∧Рассмотрим параметризацию f : [a, b] → D пути L и рассмотрим произвольную часть L пути L. Тогда∧путь L определяется сужением f : [c, d] → D отображения f на [c, d] ⊂ [a, b].∧Допустим, что дифференциальная форма L= P dx + Q dy + R dz не интегрируема по пути L; то есть, что не∧Rсуществует P dx + Q dy + R dz как lim σ∧ L; T ∧τ .d(T )→0∧fLСогласно критерию Коши существования предела по базе, найдётся число ε0 > 0 и для! любого числа δ >∧ iδ∧ iδ0 существуют размеченные разбиения T ∧τ i , i = 1, 2, отрезка [c, d] с диаметрами d T ∧τ i!!∧ 1δ∧ 2δ σ∧ L; T ∧τ 1 − σ∧ L; T ∧τ 2 > ε0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
