В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поэтому Γ+ называется верхней стороной поверхности Γ, а Γ− — нижней стороной поверхности Γ.3.2.4.Определение ориентации не переносится на негладкие поверхности.pПример2.1. Конус z =x2 + y 2 , x2 + y 2 6 a2 , a > 0. Векторное представление имеет вид r(u, v) =√222(u, v, u2 + v 2 ), u + v 6 a , иuvru = 1, 0, √, r v = 1, 0, √, (u, v) 6= (0, 0).u2 + v 2u2 + v 2√uvru × rv = − √, −√, 1 , |r u × r v | = 2,u2 + v 2u2 + v 250иuv1ν(u, v) = − √ √, −√ √,√.22 u2 + v 22 u2 + v 2Так как не существуетu√,2(u,v)→(0,0)u + v2limто не существуетlim(u,v)→(0,0)v√,2(u,v)→(0,0)u + v2limν(u, v).Значит, на конусе нельзя выбрать нормаль, непрерывную на [D] = (u, v) u2 + v 2 6 a2 .Пример 2.2. Любая часть любого ненулевого двугранного угла является примером негладкой поверхности,на которой нормаль (при любом её выборе) имеет целую прямую точек разрыва.3.2.5.
Склеивание поверхностейБудем говорить, что у поверхности Φ = {r = r(u, v), (u, v) ∈ [D]}, (D — область в R2) её край ∂Φ являетсякривой, если граница ∂D области D является кривой (точнее, носителем кривой) и ∂D = (u(t), v(t)) t ∈ [a, b] ;то есть, область D ⊂ R2 односвязная, ограниченная замкнутой кривой. t ∈ [a, b] .В этом случае, край ∂Φ можно рассматриватьввидекривойL=∂Φ=r(u(t),v(t))Пусть заданы поверхности Φi = r(ui , vi ) (ui , vi ) ∈ [Di ] , i = 1, 2, . . .
, m, у которых∂Di = (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [ai , bi ] , i = 1, m.Значит, края∂Φi = Li = r i (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [ai , bi ] , i = 1, m.Предположим, что для некоторых пар (i, j), i, j = 1, m, i 6= j, задано конечно число nij = nji отрезков[akij , bkij ] ⊂ [ai , bi ], akij 6 bkij , и отрезков [akji ] ⊂ [aj , bj ], akji 6 bkji , и k = 1, 2, . . . , nij = nji , причём как отрезки[akij , bkij ], так и отрезки [akji , bkji ] попарно не имеют общих внутренних точек, и пусть ϕkij : [akij , bkij ] → [akji , bkji ] —строго возрастающие гомеоморфизмы.Гомеоморфизмы ϕkij называются склеивающими гомеоморфизмами, если для любого ti ∈ [akij , bkij ] имеет местоусловие склеиванияr i (ui (ti ), vi (ti )) = r j (uj (ϕkij (ti )), vj (ϕkij (ti ))) = rj (uj (tj ), vj (tj )).(2)Рассмотрим кривые Lkij ,Lkij = r i (ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [akij , bkij ] .Векторная функция r = r j (uj (tj ), vj (tj )), tj ∈ [akji , bkji ], в силу равенства (2) также является параметризациейкривой Lkij , так как гомеоморфизм ϕkij есть допустимое преобразование параметра кривой Lkij .Будем предполагать также, что при j ′ 6= j отрезки [akij , bkij ] и [alij ′ , blij ′ ], k = 1, 2, .
. . , nij ; l = 1, 2, . . . , nij ′ , неимеют общих внутренних точек, и следовательно, каждый конец отрезка [akij , bkij ] может принадлежать ещё неболее, чем одному отрезку [alij ′ , blij ′ ]. Это условие означает, что каждая кривая склейки Lkij является частьютолько двух кривых Li и Lj , образующих края поверхностей Φi и Φj .Поверхности Φi и Φj называются соседними, если они склеиваются по крайней мере по одной кривой Lij .Система склеивающих гомеоморфизмов ϕkij называется связной, если для любых поверхностей Φp и Φq израссматриваемой системы поверхностей в этой системе существуют такие поверхности Φi1 , .
. . , Φir , что Φi1 = Φp ,Φir = Φq , и каждая поверхность Φiν является соседней с Φiν+1 ; то есть, склеена с ней по одной или по несколькимкривым с помощью соответствующих склеивающих гомеоморфизмов ϕiν ,iν+1 для ν = 1, 2, . . . , r − 1.Определение 2. Система поверхностей Φ1 , Φ2 , . . . , Φm со связной системой склеивающих гомеоморфизмовϕkij называется поверхностью, склеенной из поверхностей Φ1 , . . . , Φm по кривым Lkij и обозначается Φ = {Φi }.Если Φ = {Φi } — склеенная поверхность, то совокупность всех дуг, являющихся такими частями кривыхLi = ∂Φi , что никакие точки этих частей, кроме, быть может, концевых, не склеиваются ни с какими точкамидругих кривых ∂Φi , называется краем ∂Φ склеенной поверхности Φ.
Край склеенной поверхности состоит изконечного числа замкнутых контуров.p222Пример2.3.СфераS:x+y+z=1получаетсясклеиваниемдвухполусферS:z=1 − x2 − y 2 и1p2222S2 : z = − 1 − x − y , x + y 6 1.p Действительно, поверхность S1 задаётся параметризациейr(u,v)=(u,v,1 − u21 − v12 ), u21 + v12 6 1,11111p2222а поверхность S2 — параметризацией r 2 (u2 , v2 ) = (u2 , v2 , − 1 − u2 − v2 ), u2 + v2 6 1.51ui = cos ti , vi = sin ti , ti ∈ [0, 2π]. Кривые Li = Граница ∂Di области Di , i = 1, 2, задаётся параметризациейr(ui (ti ), vi (ti )) ti ∈ [0, 2π] , i = 1, 2. Отрезки [akij , bkij ] = [0, 2π] = [akij , bkij ], и гомеоморфизм ϕkij = ϕ : [0, 2π] →[0, 2π] — тождественный; то есть, t1 = t2 . Условие (2) склеивания выполнено, так какqq22r 1 (u1 (t1 ), v1 (t1 )) = (cos t1 , sin t1 , 1 − cos t1 − sin t1 = 0) = (cos t2 , sin t2 , 0 = 1 − cos2 t2 − sin2 t2 ) = r2 (u2 (t2 ), v2 (t2 )).Склеенная поверхность S имеет пустую границу.
3.2.6. Ориентация склеенной поверхностиПоверхность Φ = {Φi }, склеенная из гладких поверхностей Φ1 , . . . , Φm , называется кусочно–гладкой поверхностью.Пример поверхности двугранного угла показывает, что на кусочно–гладкой поверхности нельзя, вообще говоря, ввести понятие ориентируемости в терминах непрерывной нормали.Более того, при склеивании поверхностей даже «гладким образом» у склеенных поверхностей могут возникнуть качественно новые особенности. Пример служит лист Мёбиуса.Опишем другой подход к понятию ориентации, основанный на склеивании поверхностей, края которых сутьзамкнутые кривые.Пусть Φ = r(u, v) (u, v) ∈ [D] — гладкая поверхность,краемкоторой является кривая.
Тогда границей ∂Dобласти D на R2 является замкнутая кривая ∂D = (u(t), v(t)) t ∈ [a, b] . На плоскости R2 задана правая система декартовых координат. Будем считать положительным на кривой ∂D направление против часовой стрелки.Положительная ориентация кривой ∂D, в силу отображения r(u(t), v(t)), t ∈ [a, b], порождает вполне определённую ориентацию края ∂Φ поверхности Φ. Эта ориентация края ∂Φ поверхности Φ называется согласованнойvс ориентацией ν = |rruu ×r×rv | .Естественность такого определения поясним следующим образом. Рассмотрим поверхность Φ = Γ — графикнепрерывно дифференцируемой функции z = f (x, y), (x, y) ∈ [D].
Тогда′′−f1−fyx,q,qν = q1 + fx′2 + fy′21 + fx′2 + fy′21 + fx′2 + fy′2и cos νk = √11+fx′2 +fy′2> 0; то есть, вектор нормали ν образует с осью Oz острый угол и с концевой точки векторанормали ν ориентация края ∂Φ = L поверхности Φ = Γ является положительной.Очевидно, что если ориентация ν рассматриваемой гладкой поверхности Φ согласована с ориентацией еёкрая ∂Φ, то ориентация −ν согласована с противоположной ориентацией кривой ∂Φ.Таким образом, задание ориентации ν гладкой поверхности Φ равносильно заданию ориентации кривой ∂Φ,являющейся краем поверхности Φ.
Поэтому ориентированный край ∂Φ гладкой поверхности Φ будем называтьориентацией поверхности Φ.Пусть Φ1 и Φ2 — две гладкие поверхности, у которых края ∂Φ1 и ∂Φ2 — кривые и пусть эти поверхности склеены по кривым γ1 , . . . , γm , являющимся частями краёв ∂Φ1 и ∂Φ2 поверхностей Φ1 и Φ2 . Ориентации краёв ∂Φ1и ∂Φ2 (поверхностей Φ1 и Φ2 ) называются согласованными, если каждая из них порождает на склеивающихсякривых γ1 , . .
. , γm противоположные ориентации.Определение 3. Поверхность Φ, склеенная из поверхностей Φ1 , . . . , Φm называется ориентируемой, еслисуществуют такие ориентации краёв ∂Φ1 , . . . , ∂Φm поверхностей Φ1 , . . . , Φm , что для любых двух соседних поверхностей Φi и Φj их ориентации ∂Φi и ∂Φj согласованы.Пример 2.4. Двугранный угол — ориентируемая поверхность.Если указанной в определении 3 совокупности ориентаций ∂Φi не существует, то поверхность Φ называетсянеориентируемой. Пример — лист Мёбиуса.Край ориентированной склеенной поверхности Φ = {Φi }, как край всякой склеенной поверхности, состоит изконечно числа замкнутых контуров.
При этом, заданная согласованная ориентация склеенной ориентируемойповерхности Φ = {Φi } порождает определённые ориентации на указанных кривых. Эти ориентации, вместевзятые, составляют ориентацию края ∂Φ склеенной поверхности Φ.Можно показать, что всякая кусочно–гладкая поверхность, являющаяся границей некоторой области трёхмерного пространства, ориентируема.Пример 2.5.
Сфера S : x2 +y 2 +z 2 = 1 имеет внешнюю и внутреннюю стороны в зависимости от направлениянормали (наружу или внутрь).523.3. Поверхностные интегралы3.3.1. Первая квадратичная форма поверхностиРассмотрим гладкую поверхность Φ, заданную параметризацией r = r(u, v), (u, v) ∈ [D], D — область в R2 .Векторы r u и r v порождают касательную плоскость Π в каждой точке поверхности Φ и векторы r u , r v образуютбазис на Π. Векторы, лежащие на Π, обозначим dr, а координаты вектора dr в базисе r u , r v обозначим через du,dv. Таким образом,dr = r u du + r v dv.Тогда2|dr| = (r u du + rv dv)2 = r 2u du2 + 2ru r v du dv + r 2v dv 2 .Обозначим E = r2u , F = r u r v , G = rv2 . Квадратичная форма|dr|2 = E du2 + 2F du dv + G2 dv 2(1)называется первой квадратичной формой поверхности Φ.По определению, первая квадратичная форма положительно определена, и значит, EG − F 2 > 0.Рассмотрим квазирегулярное отображение u1 = ϕ(u, v), v1 = ψ(u, v) компакта [D] на компакт [D1 ], ипусть r(u, v) = p(ϕ(u, v), ψ(u, v)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
