В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 20
Текст из файла (страница 20)
По условию теоремы разложение (3) ∆p = A∆r + o ∆r , ∆r = ρ → 0справедливо для любой точки M ′ ∈ U(M ). Для тех точек M ′ ∈ U(M ), для которых M M ′ = te имеем ∆r = te и∆p = A(te) + o(|t|) = tAe + o(|t|), t → 0,откуда∆po(|t|)∂plim= lim Ae += Ae и= Ae.t→0t→0 tt∂e4.2.6. Инварианты векторного поля в декартовой системе координатРассмотрим в R3 декартову систему координат (x, y, z), определяемую правым ортонормированным базисомi, j, k.
Пусть векторное поле p(M ) имеет в этом базисе координаты p = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Предположим, что p(M ) дифференцируемо в точке M (x, y, z) открытого множества D в R3 . Тогда∂p∂p∂p∂p∂p∂p== Ai,== Aj,== Ak,∂x∂y∂z∂i∂j∂k◦и значит, матрица A линейного оператора A имеет вид ∂P ∂P∂x ∂Q ∂x∂R∂xПоэтому∂P∂z∂Q ∂z ∂R∂z∂y∂Q∂y∂R∂ydiv p = div AA =◦= A.∂P∂Q ∂R++∂x∂y∂zиrot p = rot A =∂R ∂Q−∂y∂zгде формальный вектор ∇ =i+∂∂∂∂x , ∂y , ∂z∂P∂Q−∂z∂xj+∂Q ∂P−∂x∂yчитается «вектор набла».61 i∂k = ∂xPj∂∂yQk ∂ ∂z = ∇ × p,R4.2.7.Непосредственно проверяется, что справедливы следующие утверждения.Теорема 4.11.rot grad u = 0, div grad u = ∆u =∂2u ∂2u ∂2u+ 2 + 2 , grad rot p = 0, div rot p = 0.∂x2∂y∂zРассмотрим частный случай, когда p = (P, Q, 0), P = P (x, y), Q = Q(x, y).
В этом случае, rot p =4.3. Формула Грина∂Q∂x−∂P∂yk.4.3.1. Формулировка теоремы и её частный случайПусть D — ограниченная конечносвязная область на плоскости Π : Oxy, граница ∂d = Γ которой состоит изn + 1 замкнутых кривых L0 , L1 , . . . , Ln класса C 1 , причём все Li , i = 1, n, находятся внутри L0 (Li ⊂ Int L0 , i =1, n) и для всех i 6= j, i, j = 1, n, кривая Li расположена во внешности кривой Lj (Li ⊂ Ext Lj , i 6= j).Теорема 4.12. Если функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны на замыкании [D] = D ∪ гр. D, имеют непрерывные частные производные первого порядка в D (то есть, P, Q ∈ C 1 (D)) и сходятся несобственные интегралZZZZ∂Q∂Pdx dy,dx dy,∂x∂yDDто несобственный интегралZZ IZn ZX∂Q ∂P−dx dy =P dx + Q dy =P dx + Q dy +P dx + Q dy.∂x∂yDk=1 −LkΓ+(1)L+0 Случай I: область D односвязная и стандартная относительно обеих координатных осей.Это значит, что ∂D = Γ = L0 и L0 = Λx1 ∪ Λx2 , где Λx1 , Λx2 — графики некоторых непрерывно дифференцируемых функций y = ϕ1 (x), y = ϕ2 (x), x ∈ [a, b], ϕ1 (x) < ϕ2 (x) для x ∈ (a, b) и ϕ1 (x) = ϕ2 (x) только приx = a и x = b, а также L0 = Λy1 ∪ Λy2 , где Λy1 , Λy2 — графики некоторых непрерывно дифференцируемых функцийx = ψ1 (y), x = ψ2 (y), y ∈ [c, d], ψ1 (y) < ψ2 (y) для y ∈ (c, d) и ψ1 (y) = ψ2 (y) только при y = c и y = d.Мы получим формулу (1), если докажем, чтоZZZZZ Z∂Q∂Pdx dy =Q dy и−dx dy =P dx.(2)∂x∂yDL+0DL+0Установим справедливость второй формулы в (2).
По условию, L0 = Λx1 ∪Λx2 . КривыеΛxi , i = 1, 2, спрямляемыи поэтому пл. Γ = пл. L0 = 0, так что область D квадрируема. Построим некоторое (специального вида) исчер2. Для этого рассмотрим отрезкипывание области D квадрируемыми компактами {Dn }, n ∈ N, n > N = b−a[an , bn ], an = a + n1 , bn = b − n1 , n > N , и для фиксированного n > N рассмотрим такое число εn > 0, εn < n1 ,чтобы функции y = ϕn1 (x) = ϕ1 (x) + εn и y = ϕn2 (x) = ϕ2 (x) − εn , x ∈ [an , bn ], обладали свойствомϕ1 (x) + εn < ϕ2 (x) − εn , x ∈ [an , bn ],Λn1 , Λn2так что графикифункций y = ϕn1 (x) и ϕn2 (x), x ∈ [an , bn ], не пересекались.
Обозначим через Dn замыканиеобласти в D, ограниченной кривыми Λn1 , Λn2 и прямыми x = an , x = bn . Выбираем εn+1 > 0, чтобы εn+1 < εn и1εn+1 < n+1. Тогдаϕ1 (x) + εn+1 < ϕ1 (x) + εn < ϕ2 (x) − εn < ϕ2 (x) − εn+1 , x ∈ [an+1 , bn+1 ].Поэтому Dn ⊂]Dn+1 [, n ∈ N, и∞SDn = D. Поскольку граница ∂Dn имеет пл. ∂Dn = 0, то все Dn —n=1квадрируемые компакты, исчерпывающие открытое множество D.Согласно определению компактов Dn ,ZZ∂Pdx dy =∂yZbnanDn−Zbnandxϕ2 (x)−εZ n∂Pdy =∂yanϕ1 (x)+εnP (x, ϕ1 (x)) dx +Zbn[P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ1 (x) + εn )] dx =Zbnan[P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))] dx +62ZbnanZbnP (x, ϕ2 (x)) dx−an[P (x, ϕ1 (x)) − P (x, ϕ1 (x) + εn )] dx.(3)Последние два интеграла в правой части (3) обозначим I1n и I2n , соответственно, и докажем, что lim I1n =n→+∞lim I2n = 0.n→+∞Рассмотрим произвольное число ε > 0.
Так как P (x, y) непрерывна на замыкании [D], то она равномерноεнепрерывна на [D], и значит, существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что |P (x′ , y ′ ) − P (x′′ , y ′′ )| < b−aдля всех (x′ , y ′ ),′′ ′′′′′′′′′′′′′′(x , y ) ∈ [D], у которых |x − x | < δ, |y − y | < δ. Выберем x = x = x, y = ϕ2 (x), y = ϕ2 (x) − εn . Тогда|x′ − x′′ | = 0 < δ и |y ′ − y ′′ | = εn .
Так как lim εn = 0, то для δ > 0 существует Nδ = Nε ∈ N, что 0 < εn < δn→+∞для всех n > Nε .Следовательно,|P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))| <εb−a(4)для всех n > N , n > Nε . Значит, на основании (4),bZ nε(bn − an ) < ε|I1n | = [P (x, ϕ2 (x) − εn ) − P (x, ϕ2 (x))] dx 6b−aanдля всех n > max(N, Nε ); то есть, lim I1n = 0.Аналогично, lim I2n = 0.n→+∞n→+∞Учитывая эти утверждения, получаем из (3), чтоZZ∂Pdx dy = limn→+∞∂yDZZDnbZnZbn∂Pdx dy = lim P (x, ϕ2 (x)) dx − P (x, ϕ1 (x)) dx =n→+∞∂yanan=ZbaP (x, ϕ2 (x)) dx −ZbaP (x, ϕ1 (x)) dx = −ZP dxΓ+и вторая формула в (2) доказана. Аналогично доказывается и первая формула в (2).
Таким образом, формула(1) доказана в частном случае I. 4.3.2. Инвариантная запись формулы (1) в случае I∂PРассмотрим векторное поле p = (P (x, y), Q(x, y), 0). Тогда rot p = ∂Q−∂x∂y k иZZ ∂Q ∂P−∂x∂yDdx dy =ZZrot p · k dσ.DЕсли обозначить через t единичный вектор касательной к кривой Γ, тоZZP dx + Q dy = (p · t) dlΓΓ+и формула (1) примет видZZrot p · k dσ =DZ(5)(p · t) dl.Γ+4.3.3. Случай IIОбласть D можно разбить с помощью конечного числа гладких кривых Λk на конечно число областей Dk ,k = 1, m, каждая из которых удовлетворяет случаю I в некоторой декартовой системе координат, своей дляmSкаждой Dk , и D =Dk .k=1В каждой квадрируемой области Dk , k = 1, m, по предыдущему, справедлива формулаZZ ZZZZ∂Q ∂P−dx dy =rot p · nu dσ =p · t dl =P dx + Q dy,∂x∂yDkDk+∂Dk63+∂Dk(6)где ν = k.В силу свойства аддитивности кратных несобственных интегралов, имеемZZ m ZZ X∂Q ∂P∂Q ∂P−dx dy =−dx dy.∂x∂y∂x∂yk=1 Dk(7)DКаждая кривая Γk = ∂Dk , k = 1, m, состоит из конечного числа частей Λjk кривых Λk и частей границы∂D = Γ.
При этом каждая Λjk встречается в формулах (6) дважды для соседних областей Dk и Dk+1 и этиучастки границ областей Dk и Dk+1 обходятся в противоположных направлениях. Поэтому, используя теоремуоб интегрировании 1–формы по противоположным путям и свойство аддитивности криволинейного интегралапервого рода,Zm ZXP dx + Q dy = P dx + Q dy,(8)k=1+∂DkΓ+где Γ = ∂D.Объединяя формулы (7) и (8), получимZZ Z∂Q ∂P−dx dy = P dx + Q dy∂x∂yDΓ+и случай II доказан. Доказательство теоремы в общем случае изложено в учебнике В. А. Ильин, Э.Г.
Позняк. Основы математического анализа, часть II: М., изд. «Наука», 1973, 447 с.4.4. Формула Стокса4.4.1. Формулировка теоремыРассмотрим произвольную кусочно–гладкую поверхность Φ в R3 : Oxyz, ∂Φ = Γ которой состоит из m замкнутых гладких кривых L1 , . . . , Lm . Пусть G — область в R3 , содержащая Φ (Φ ⊂ G). Пусть функции P (x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в G. Эти функции можно рассматривать как компонентынекоторого векторного поля p = (P, Q, R), непрерывно дифференцируемого в G.
Тогда ijk ∂∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P∂∂ i+j+k.rot p = ∂x ∂y ∂z =−−−∂y∂z∂z∂x∂x∂yPQ RТеорема (формула Стокса).ZZZZ Z∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂Prot p · ν ds =−dy dz +−dz dx +−dx dy = P dx + Q dy + R dz, (1)∂y∂z∂z∂x∂x∂yΦΦ+Γ+гдеZΓ+P dx + Q dy + R dz =n ZXP dx + Q dy + R dzk=1Lkи направление на каждой Lk , k = 1, m, выбрано согласованным с положительной ориентацией Φ+ поверхностиΦ.4.4.2. Случай IПоверхность Φ гладкая, край ∂Φ = Γ поверхности Φ состоит из одной замкнутой гладкой кривой L и поверхность Φ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В этом случае положительная ориентация Φ+ поверхности Φ задаётся нормалью n = r u × rv , единичныйвектор nu которой имеет компоненты nu = (cos α, cos β, cos γ).
Формула (1) принимает видZ Z Z∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂P−cos α +−cos β +−cos γ ds =P dx + Q dy + R dz(1′ )∂y∂z∂z∂x∂x∂yΦL+64и формула (1’) будет доказана, если будут доказаны формулыZZ Z∂P∂Pcos β −cos γ ds =P dx,∂z∂yΦ(2)L+ZZ Z∂Q∂Qcos γ −cos α dx =Q dy,∂x∂zZZ ∂R∂Rcos α −cos β∂y∂xΦ(3)L+Φds =Z(4)R dz.L+Поскольку в рассматриваемом случае все формулы однотипны, то установим справедливость формулы (2).По предположению, поверхность Φ является графиком некоторой непрерывно дифференцируемой функцииz = f (x, y), определённой в односвязной области D = пр.Oxy Φ и граница ∂D = Λ — замкнутая кривая, причёмΛ = пр.Oxy ∂Φ = пр.Oxy L.
Имеем∂f∂fn = − ,− ,1∂x∂yиfy′1cos β = − q, cos γ = q.1 + fx′2 + fy′21 + fx′2 + fy′2Следовательно, левая часть в (2) принимает видI=ZZ ∂P∂Pcos β −cos γ∂z∂yΦds =ZZ ∂P ′ ∂P−fy −cos γ ds =∂z∂yΦZZ ZZ∂P∂′ ∂P=−+ fydx dy = −[P (x, y, f (x, y))] dx dy, (5)∂y∂z∂yDтак какD∂∂P∂P ′P (x, y, f (x, y)) =+f .∂y∂y∂z yСогласно формуле Грина и (5), имеемZZZ∂P (x, y, f (x, y)) dx dy =P (x, y, f (x, y)) dx.−∂yDΛ+Поскольку Λ = пр.Oxy L и положительное направление Λ+ соответствует положительному направлению L+ ,то, по определению,ZZP (x, y, f (x, y)) dx =P (x, y, z) dx.(7)Λ+L+Объединяя формулы (5), (6) и (7), получим формулу (2). Формулы (3) и (4) доказываются аналогично.
4.4.3. Инвариантная запись формулы СтоксаРассмотрим на гладкой кривой L = ∂Φ единичный вектор касательной t = (cos θ1 , cos θ2 , cos θ3 ). ТогдаZZP dx + Q dy + R dz = p · t dl, p = (P, Q, R),LL+иZZ Φ+∂R ∂Q−∂y∂zdy dz +∂P∂R−∂z∂xdz dx +∂Φ ∂P−∂x∂ydx dy =ZZν · rot p ds,Φгде ν = (cos α, cos β, cos γ) — единичная нормаль на Φ. Формула Стокса принимает видZZZrot p · ν ds = p · t dl.ΦL65(8)4.4.4.Лемма 1. Для любой гладкой поверхности Φ существует такое число δ > 0, что любая связная частьповерхности Φ диаметра δ однозначно проектируется на координатные плоскости некоторой декартовойсистемы координат (вообще говоря, своей для каждой части поверхности Φ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
