В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть пути L1 и L2 определяются параметризациями f : [a, c] → Dи f : [c, b] → D. Тогда пути L1 и −L2 будут из класса C 1 , имеют общее начало f (a) = f (b) и общий конец f (c).Согласно предположению,ZZω=L1Но L = L1 + L2 , и значит,Zω=LZZω+L1ω.−L2ω=L2Zω−L1Zω = 0.−L2Достаточность. Пусть интегралы дифференциальной формы ω по любым замкнутым путям класса C 1 вD равны нулю.
И пусть L1 и L2 — произвольные пути класса C 1 в D, имеющие общее начало и общий конец.Тогда −L2 тоже путь класса C 1 в D. Так как L = L1 + (−L2 ) — замкнутый путь класса C 1 в D, тоZZZZZω− ω= ω+ω = ω = 0,L1L2L1−L2Lи значит,Zω=L1Zω.L24.6.2. Точные дифференциальные формыОпределение 2. Дифференциальную форму P dx+Q dy в области D называют точной, если в D существуеттакая дифференцируемая функция F (x, y), что P dx + Q dy = dF в D. ТогдаP =∂F∂F, Q=.∂x∂yФункцию F называют первообразной дифференциальной формы P dx + Q dy в области DФункцию F называют также потенциалом векторного поля p = (P, Q) в D и тогда p = grad F .Теорема 4.16.
Интегралы дифференциальной формы P dx + Q dy, заданной в области D, зависят толькоот начала и конца пути интегрирования класса C 1 в D тогда и только тогда, когда эта форма — точная вD. Необходимость. Фиксируем некоторую точку M0 (x0 , y0 ) области D и рассмотрим произвольную точкуM (x, y) ∈ D. Так как открытое множество D — область, то есть связное множество, то существует ломанаяM0 M с началом M0 и концом в M , которая целиком лежит в D. ПоложимZF (x, y) = F (M ) =P dx + Q dy.M0 MРассмотрим точку M1 (x + h, y) и добавим к ломанной M0 M новое звено M M1 . Согласно свойству аддитивностикриволинейного интеграла и теореме о среднем для определённого интеграла от непрерывной функции,F (x + h, y) − F (x, y)1=hhZ1P dx+Q dy−hM0 M1Z1P dx+Q dy =hM0 MZ1P dx =hMM1где ξ лежит между x и x + h и dy = 0 на M M1 .Так как lim P (ξ, y) = P (x, y), то существуетh→0limh→0F (x + h, y) − F (x, y)= P (x, y)hи P (x, y) = ∂F∂x .Аналогично доказывается формула Q(x, y) =∂F∂y.70ZMM11P dx =hx+hZP (t, y) dt = P (ξ, y),xДостаточность.
Пусть P dx + Q dy = dF в D и L — произвольный путь класса C 1 в D с началом в точке A иконцом в точке B. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую параметризацию f : [a, b] → D пути L; f (a) = A,f (b) = B, и f = (ϕ, ψ). Тогда, по определению,ZP dx + Q dy =LZb′′[P (f (t))ϕ (t) + Q(f (t))ψ (t)] dt =aZb[Fx′ (f (t))ϕ′ (t)+Fy′ (f (t))ψ ′ (t)] dta=Zba(F ◦ f )′ (t) dt == (F ◦ f )(b) − (F ◦ f )(a) = F (f (b)) − F (f (a)) = F (B) − F (A).Следствие 4.1.
Дифференциальная форма P dx+Q dy, заданная в области D, точна тогда и только тогда,когда её интегралы по всем замкнутым путям класса C 1 в D равны нулю.4.6.3. Замкнутые дифференциальные формыОпределение 3. Дифференциальную форму P dx + Q dy в области D называют замкнутой, если она локально точна; то есть, каждая точка области D обладает окрестностью, в которой эта форма точная.∂P∂yТеорема 4.17. Пусть P (x, y) и Q(x, y) — непрерывные функции с непрерывными частными производными, ∂Q∂x в области D. Для того, чтобы дифференциальная форма P dx + Q dy была замкнутой, необходимо идостаточно, чтобы∂P∂y=∂Q∂xво всех точках области D.
Необходимость. Пусть форма P dx + Q dy замкнута в D. Тогда каждая точка M (x, y) ∈ D обладаеткругом U ⊂ D, в котором эта форма имеет первообразную F (x, y), и значит, Fx′ = P , Fy′ = Q. Так как, по∂Qусловию, существуют непрерывные ∂P∂y и ∂x , то следовательно, функция F обладает непрерывными вторыми∂Q∂Q∂P′′′′′′′′производными Fxy= ∂P∂y и Fyx = ∂x , для которых, в силу теоремы Шварца, Fxy = Fyx ; то есть, ∂y = ∂x .Достаточность. Пусть M0 (x0 , y0 ) — произвольная точка области D. Существует круг U(M0 ; ρ), ρ > 0, чтоU(M0 , ρ) ⊂ D. Вместе с каждой точкой M (x, y) круга U(M0 ; ρ) в нём лежит и прямоугольник K = M0 M1 M M2 .Согласно формуле Грина,ZZZ ∂Q ∂PP dx + Q dy =−dx dy = 0,∂x∂yKM0 M1 MM2следовательно,ZP dx + Q dy =M0 M1 MZM0 M2 MТогдаF (x, y) =P dx + Q dy = F (x, y).ZZQ dy +M0 M2P dx =M2 MZyP (ξ, y) dξ(1)y0Zxx0ZxZyQ(x, η) dη(2)Q(x0 , η) dη +(так как dx = 0 на M0 M2 и dy = 0 на M2 M ), иF (x, y) =ZP dx +M0 M1ZQ dy =P (ξ, y0 ) dξ +x0M1 My0(так как dy = 0 на M0 M и dx = 0 на M1 M ).Согласно теореме о дифференцируемости интеграла по верхнему пределу, из (1) следует, что∂F(x, y) = P (x, y),∂xа из (2) следует, что∂F(x, y) = Q(x, y).∂yТак как функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны, то функция F (x, y) дифференцируема иdF = Fx′ dx + Fy′ dy = P dx + Q dy.714.6.4.
Потенциальные и соленоидальные векторные поляПусть в некоторой области Ω ⊂ R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле p(M ) = p(x, y, z),M (x, y, z) ∈ Ω.Циркуляциейвекторного поля p по замкнутой кривой L класса C 1 , расположенной в области Ω, называютRинтеграл p · t dl, где t — единичный вектор касательной к L и dl — дифференциал длины кривой L.LПотоком векторногоRR поля p через ориентированную кусочно–гладкую поверхность Φ, расположенную в Ω,называется интегралp · ν ds, где ν — единичный вектор нормали к Φ, определяющий ориентацию на Φ, и dsΦ— элемент площади поверхности на Φ.Определение 4. Векторное поле p называют потенциальным в области Ω, если циркуляция этого поля полюбой замкнутой кривой класса C 1 , расположенной в Ω, равна нулю.Определение 5.
Векторное поле p называют соленоидальным в области Ω, если поток этого поля черезлюбую кусочно–гладкую замкнутую поверхность (несамопересекающуюся), расположенную в Ω и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области Ω, равен нулю.Трехмерная область Ω называется поверхностно–односвязной, если для любой замкнутой кривой L классаC 1 , расположенной в Ω, можно указать такую ориентируемую кусочно–гладкую поверхность Φ, расположеннуюв Ω, границей которой служит L. Отметим, что упомянутая поверхность Φ удовлетворяет формуле Стокса.Теорема 4.18. Пусть в поверхностно–односвязной области Ω задано непрерывно дифференцируемое векторное поле p = (P, Q, R).
Тогда эквивалентны следующие утверждения:1◦ Векторное поле p = p(M ) потенциальное;2◦ В области Ω существует потенциальная функция u(M ) = u(x, y, z); то есть, такая функция, чтоp = grad u, или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz. В этом случае для любых точек A и B области Ω⌣и для произвольной кривой AB класса C 1 , соединяющей эти точки и расположенной в Ω,Zp · t dl = u(B) − u(A);⌣AB3◦ Векторное поле p = p(M ) безвихревое, то есть rot p = 0 в Ω.Очевидно, утверждение 3 эквивалентно соотношениям∂P∂Q ∂Q∂R ∂R∂P=,=,=.∂y∂x ∂z∂y ∂x∂zТаким образом, каждое из условий 2 и 3 представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности непрерывно дифференцируемого векторного поля p.1 −−−−→ 2x. Утверждения 1◦ ⇒ 2◦ и 2◦ ⇒ 3◦ справедливы без предположения о Применим схему y←−−−− 3поверхностной односвязности области Ω и доказываются в полной аналогии с соответствующими утверждениямитеорем пунктов 4.6.1–4.6.3.
Докажем утверждение 3◦ ⇒ 1◦ . Пусть L — произвольная замкнутая кривая классаC 1 , расположенная в Ω. Так как область Ω поверхностно односвязная, то в Ω существует кусочно–гладкаяповерхность Φ, границей которой служит L. По формуле Стокса имеемZZZp · t dl =rot p · ν ds.LΦОтсюда и из условия rot p = 0, получаемZp · t dl = 0;Lто есть, p является потенциальным полем. Пространственная область Ω называется объёмно–односвязной, если любая замкнутая, кусочно–гладкаянесамопересекающаяся ориентированная поверхность, расположенная в Ω, служит границей некоторой области, расположенной в Ω.72Теорема 4.19.
Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле p было соленоидальным вобъёмно–односвязной области Ω, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках Ω выполнялось равенствоdiv p = 0. Необходимость. Пусть в некоторой точке M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω div p 6= 0, и пусть, для определённости,div p(M0 ) = c > 0. В силу непрерывности функции div p(M ), существует такая шаровая окрестность B(M0 , ρ0 ),ρ0 > 0, в которой div p(M ) > 2c для всех M ∈ B(M0 , ρ0 ). Если S0 обозначает сферу–границу шара U(M0 , ρ0 ), то,по теореме Остроградского,ZZZZZc4 3div p dv =p · ν ds >πρ > 0,23 0S0U (M0 ,ρ0 )что противоречит свойству соленоидальности поля p(M ), согласно которому обязаноZZp · ν ds = 0.S0Достаточность.
Рассмотрим произвольную замкнутую, кусочно–связную, несамопересекающуюся, ориентируемую поверхность Φ, расположенную в Ω. Так как Ω — объёмно односвязная область, то Φ является границей некоторой подобласти Ω0 области Ω. Применяя к Ω0 и векторному полю p формулу Остроградского,получим соотношениеZZZZZdiv p dv =p · ν ds,Ω0Φиз которого и из условия div p = 0 следует соотношениеZZp · ν ds = 0.ΦПоследнее равенство, согласно определению означает соленоидальность поля p в Ω. 73.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
