В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

. yn−1 < yn = d и отрезками ∆i = [xi−1 , xi ], i = 1, m; ∆j = [yj−1 , yj ], j = 1, n. ОбозначимT12 разбиения прямоугольника K на прямоугольники σij = ∆i × ∆j , i = 1, m, j = 1, n, и пусть mij = inf f (x, y),σijMij = sup f (x, y), mi = inf g(x), Mi = sup g(x). Так как mij 6 f (x, y) 6 Mij для всех (x, y) ∈ σij , тоσij∆i∆imij ∆yj 6Zyjf (x, y) dy 6 Mij ∆yjyj−1для всех x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, m, где ∆yj = |∆j | = yj − yj−1 , j = 1, n. Поэтому,nXmij ∆yj 6j=1yn ZjXf (x, y) dy =j=1yj−1Zynf (x, y) dy = g(x) 6nXMij ∆yjj=1y0для всех x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, m, откудаnXmij ∆yj 6 mi 6 Mi 6j=1nXMij ∆yj , i = 1, m.j=1Умножив эти неравенства почленно на ∆xi = |∆i | = xi − xi−1 и просуммировав по i = 1, m, получимmnmnXXXXs(f ; T12 ) =mij ∆yj  ∆xi 6 s(g; T1 ) 6 S(g; T1 ) 6Mik ∆yj  ∆xi = S(f ; T12 ).i=1j=1i=1(2)j=1Так как функция f (x, y) интегрируема на K, то, по критерию интегрируемости, для любого числа ε > 0существует такое число δ > 0, что для всех разбиенийqT прямоугольника K с диаметром d(T ) < δ справедливонеравенство S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε.

Но diam T12 = maxi,j∆x2i + ∆yj2 < δ, если d(T1 ) <√δ2и d(T2 ) <√δ .2Следова-тельно, тогда S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < ε и в силу (2) тем более S(g; T1 ) − s(g; T1 ) < ε. В силу произвольности ε > 0отсюда вытекает, что функция g(x) интегрируема на [a, b]; причём, в силу неравенств (2),s(f ; T12 ) 6Zbg(x) dx 6 S(f ; T12 ).a19Так как иs(f ; T12 ) 6ZZf (x, y) dx dy 6 S(f ; T12 ),KтоZ ZZb 6 S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < εf(x,y)dxdy−g(x)dxaKдля всех ε > 0, откуда, в силу произвольности ε, следует равенство (1).

Совершенно аналогично доказывается следующая теорема.Теорема 1.27. Пусть K — замкнутый прямоугольник, ограниченный слева и справа прямыми x = a и x = b,а снизу и сверху — прямыми y = c и y = d; то есть, K = [a, b] × [c, d]. Если функция f (x, y) интегрируемана K и для каждого фиксированного y ∈ [c, d] интегрируема как функция от x на отрезке [a, b], то функцияRbh(y) = f (x, y) dx интегрируема на [c, d] иaZZf (x, y) dx dy =ZdcK bZ f (x, y) dx dy.(3)aСледствие 1.7. Если функция f (x, y) непрерывна на замкнутом прямоугольнике K = [a, b] × [c, d], тосправедливы обе формулы (1) и (3).

Непрерывная функция f (x, y) интегрируема на прямоугольнике K, и по свойства собственных интеRdгралов, зависящих от параметра, функция g(x) = f (x, y) dy непрерывна (и значит, интегрируема) на [a, b], аcфункция h(y) =Rbf (x, y) dx непрерывна (и интегрируема) на [c, d].

a1.5.2. Вычисление двойного интеграла по площади, заключённой между двумяграфикамиТеорема 1.28. Пусть ϕ1 (x) и ϕ2(x) — непрерывные функции на отрезке [a, b], причём ϕ1 (x) 6 ϕ2 (x) длявсех x ∈ [a, b]. Тогда K = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x) — квадрируемый компакт, и если функцияf (x, y) интегрируема на K, а для каждого фиксированного x ∈ [a, b] как функция от y интегрируема на отрезке[ϕ1 (x), ϕ2 (x)], то функцияϕZ2 (x)g(x) =f (x, y) dyϕ1 (x)интегрируема на [a, b] иZZKf (x, y) dx dy =ZbaϕZ2 (x)ϕ1 (x)f (x, y) dy  dx.(4) Множество K квадрируемо (и в частности, ограничено), поскольку его граница имеет площадь нулю(кривые L1 и L2 , задаваемые уравнениями y = ϕ1 (x) и y = ϕ2 (x) для x ∈ [a, b], имеют нулевые площади какграфики интегрируемых функций).

Кроме того, K — замкнуто. В самом деле, если (xn , yn ) ∈ K и (xn , yn ) →(x, y); то есть, xn → x, yn → y, то из свойства a 6 xn 6 b, n ∈ N, следует утверждение a 6 x 6 b и в силунепрерывности функций ϕ1 и ϕ2 , из свойства ϕ1 (xn ) 6 yn 6 ϕ2 (xn ) следует утверждение ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x), такчто (x, y) ∈ K. Таким образом, K — квадрируемый компакт.Далее, в силу своей непрерывности, ϕ1 и ϕ2 ограничены на [a, b].

Пусть c и d — какие–нибудь числа, удовлетворяющие условиям c < ϕ1 (x) и d > ϕ2 (x) для всех x ∈ [a, b]. Положим K∗ = [a, b] × [c, d] и(f (x, y) на K,∗f (x, y) =0 на K∗ \K.Тогда K∗ и f ∗ (x, y) удовлетворяют условиям предыдущей теоремы 1.26; то есть, f ∗ (x, y) интегрируема на K∗ иf (x, y) при каждом фиксированном x ∈ [a, b] интегрируема по y на [c, d]. Действительно, положим K′ = [K∗ \K],K′ — квадрируемый компакт, состоящий из двух кусков:K1′ = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, c 6 y 6 ϕ1 (x) , K2′ = (x, y) ∈ R2 a 6 x 6 b, ϕ2 (x) 6 y 6 d .∗20Функция f ∗ (x, y) интегрируема на K, поскольку совпадает там с f (x, y), и интегрируема на K′ , посколькуможет отличаться от нуля там только на графиках функций ϕ1 (x) и ϕ2 (x), а объединение этих графиков естьфигура нулевой площади.

При этом, в силу результатов пунктов 1.2.4 и 1.2.5 и свойства аддитивности двойногоинтеграла,ZZZZZZZZZZf ∗ (x, y) dx dy = 0, i = 1, 2,f ∗ (x, y) dx dy =f ∗ (x, y) dx dy +f ∗ (x, y) dx dy =f (x, y) dx dy.KiK∗KK′KНаконец, для каждого x ∈ [a, b] имеем [c, d] = [c, ϕ1 (x)] ∪ [ϕ1 (x), ϕ2 (x)] ∪ [ϕ2 (x), d], причём f ∗ (x, y) может бытьотличной от нуля на [c, ϕ1 (x)] только в точке y = ϕ1 (x) и на [ϕ2 (x), d] — только в точке y = ϕ2 (x), а на отрезке[ϕ1 (x), ϕ2 (x)], совпадая с f (x, y), интегрируема как функция от y. Следовательно, по свойствам определённогоинтеграла, f ∗ (x, y) для каждого x ∈ [a, b] как функция от y интегрируема на [c, d] иZd∗f (x, y) dy =cϕZ1 (x)∗f (x, y) dy +cϕZ2 (x)Zd∗f (x, y) dy +ϕ1 (x)∗f (x, y) dy =ϕ2 (x)ϕZ2 (x)∗f (x, y) dy =ϕZ2 (x)f (x, y) dy.ϕ1 (x)ϕ1 (x)Применяя к f ∗ (x, y) и K∗ теорему 1.26, получаемZZKf (x, y) dx dy =ZZf ∗ (x, y) dx dy =ZbaK∗Zdcf ∗ (x, y) dy  dx =ZbaϕZ2 (x)ϕ1 (x)f (x, y) dy  dx.Аналогично доказывается следующая теорема.Теорема 1.29.

Пусть ψ1 (y) и ψ2(y) — непрерывные функции на отрезке [c, d], причём ψ1 (y) 6 ψ2 (y) длявсех y ∈ [c, d]. Тогда K = (x, y) ∈ R2 c 6 y 6 d, ψ1 (y) 6 x 6 ψ2 (y) — квадрируемый компакт и если функцияf (x, y) интегрируема на K и для каждого фиксированного y ∈ [c, d] как функция от x интегрируема на отрезкеψ2R(y)[ψ1 (y), ψ2 (y)], то функция h(y) =f (x, y) dx интегрируема на [c, d] иψ1 (y)ZZf (x, y) dx dy =ZdcKψZ2 (y)ψ1 (y)f (x, y) dx dy.1.6.

Тройной интеграл1.6.1. Разбиения кубируемого телаРассмотрим произвольный кубируемый компакт V ∈ R3 : Oxyz. Разбиением T компакта V назовём всякоепредставление этого компакта в виде объединения конечного семейства {νk }, k = 1, n, кубируемых компактов,nSникакие два из которых не имеют общих внутренних точек; то есть, V =νk , ]νi [ ∩ ]νj [= ∅, i 6= j. Компакты νk ,k=1k = 1, n назовём ячейками разбиения T ; обозначим об . νk = ∆νk , k = 1, n. Если на каждом компакте νk выбратьнекоторую точку pk ∈ νk , pk = (ξk , ηk , ζk ), k = 1, n, то ячейки νk , 1 6 k 6 n, вместе с набором p = {pk } точек pk ,k = 1, n, назовём размеченным разбиением Tp компакта V. Множество всех размеченных разбиений компактаV обозначим символом P. Число d(Tp ) = max (diam νk ) называют диаметром размеченного разбиения Tp16k6nкомпакта V.Для произвольного числа δ > 0 символом Bδобозначиммножество Tp ∈ P d(Tp ) < δ .

Как и в двумерномслучае, доказывается, что семейство множеств Bδ δ > 0 образует базу на P, которую обозначим d(T ) → 0.1.6.2. Интегральные суммы и определение тройного интегралаПусть функция f (x, y, z) определена на кубируемом компакте V ∈ R3 . Для произвольного размеченногоразбиения TP тела V с ячейками νk , k = 1, n, и набором p = {pk } точек pk = (ξk , ηk , ζk ) ∈ νk , k = 1, n, числоσ(f ; Tp ) =nXf (ξk , ηk , ζk )∆νkk=121(1)называют интегральной суммой функции f , отвечающей размеченному разбиению Tp тела V.

Рассмотримотображение (функцию) Φf : P → R, задаваемую формулой Φf (Tp ) = σ(f ; Tp ) для всех Tp ∈ P, где числоσ(f ; Tp ) определяется формулой (1).Определение 1. Число I = lim Φf (если предел существует) называют тройным интегралом функцииd(T )→0RRRRRRf (x, y, z) по кубируемому компакту V ⊂ R3 и обозначаютf (x, y, z) dν. Другое обозначение: I =f (x, y, z) dx dy dz,Vтак чтоZZZf (x, y, z) dν =VZZZV(2)f (x, y, z) dx dy dz = lim Φf = lim σ(f ; Tp ).d(T )→0d(T )→0VОпределение 2.

Функцию f (x, y, z) называют интегрируемой по Риману на кубируемом компакте V ∈R3 : Oxyz, если f определена и ограничена на V и существует тройной интеграл (2).Теория тройного интеграла строится совершенно аналогично теории двойногоRRRинтеграла и тройной интегралобладает всеми аналогичными свойствами двойного интеграла. В частности,dx dy dz = об . V для любогоVRRRкубируемого компакта V иf (x, y, z) dx dy dz = 0 для любой функции f (x, y, z), определённой на компакте VVнулевого объёма.

Тройной интеграл обладает свойствами линейности, монотонности, аддитивности и допускаетоценку своего модуля. Критерий интегрируемости функции f (x, y, z) на кубируемом компакте V в терминахnnPPеё нижних и верхних сумм Дарбу s(f ; T ) =mk ∆νk , S(f ; T ) =Mk ∆νk , где mk = inf f (x, y, z), Mk =k=1νkk=1sup f (x, y, z), k = 1, n, совершенно аналогичны соответствующим критериям для двойного интеграла.νk1.6.3.

Вычисление тройного интеграла по цилиндрическому телуТеорема 1.30. Пусть K — квадрируемый компакт на плоскости xOy и [c1 , c2 ] — отрезок оси z. Еслифункция f (x, y, z) интегрируема на цилиндрическом теле V = K × [c1 , c2 ] и для каждой фиксированной точки(x, y) ∈ K как функция от z интегрируема на отрезке [c1 , c2 ], то функцияg(x, y) =Zc2f (x, y, z) dzc1интегрируема на K иZZZf (x, y, z) dx dy dz =VZZg(x, y) dx dy =KZZKcZ2 f (x, y, z) dz  dx dy.c1 Пусть T1 — разбиение компакта K на ячейки σi , i = 1, m, и T2 — разбиение отрезка [c1 , c2 ] точками zj ,j = 0, n, так что c1 = z0 < z1 < .

. . < zn−1 < zn = c2 . Положим νij = σi × [zj−1 , zj ], i = 1, m, j = 1, n. Доказано(теорема 1.9), что цилиндрические тела νij кубируемы и ∆νij = об . νij = пл. σi · (zj − zj−1 ), а их компактностьнепосредственно следует из компактности множеств σi и [zj−1 , zj ]. Ясно также, что тела νij не имеют общихвнутренних точек и вместе составляют V. Таким образом, νij — ячейки некоторого разбиения T12 тела V.

Пусть,наконец, mij = inf f , Mij = sup f , mi = inf g, Mi = sup g. Так как mij 6 f (x, y, z) 6 Mij для всех (x, y, z) = νij ,νijσiνijтоmij · ∆zj 6σiZzjzj−1f (x, y, z) dz 6 Mij · ∆zjдля всех (x, y) ∈ σi , ∆zj = zj − zj−1 . Поэтому,nXj=1mij · ∆zj 6zn ZjXj=1zj−1f (x, y, z) dz =Zc2f (x, y, z) dz = g(x, y) 6j=1c1для всех (x, y) ∈ σi , откуда следует, чтоnXj=1mij · ∆zj 6 mi 6 Mi 622nXnXj=1Mij · ∆zj , i = 1, m.Mij · ∆zjУмножив эти неравенства почленно на ∆σi > 0 и просуммировав по i, 1 6 i 6 m, получимS(f ; T12 ) =m XnXmij ∆zj ∆σi 6 s(g; T1 ) 6 S(g; T1 ) 6i=1 j=1m XnXMij ∆zj ∆σi = S(f ; T12 ).(3)i=1 j=1Так как f интегрируема на V, то для произвольного числа ε > 0 существуеттакое δ > 0, что для всех разбиеqний T тела V с d(T ) < δ имеем 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Но d(T12 ) = max (diam σi )2 + ∆zj2 < δ, если d(T1 ) < √δ2i,jи d(T2 ) < √δ2 . Следовательно, тогда S(f ; T12 ) − s(f ; T12 ) < ε, а значит, в силу (3), тем более S(g; T1 ) − s(g; T1 ) < ε.Поскольку ε произвольно, это означает, что функция g(x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K, причёмвследствие неравенства (3),ZZs(f ; T12 ) 6Так как справедливы также неравенстваs(f ; T12 ) 6g(x, y) dx dy 6 S(f ; T12 ).KZZZf (x, y, z) dx dy dz 6 S(f ; T12 ),Vто заключаем, чтоZ Z ZZZ<εf(x,y,z)dxdydz−g(x,y)dxdyVдля всех ε > 0; то есть, чтоKZZZf (x, y, z) dx dy dz =VZZg(x, y) dx dy.KТеорема 1.30’.

Характеристики

Список файлов лекций