В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(⌉A∪⌉B) ⊂ гр. ⌉A ∪ гр. ⌉B = гр. A ∪ гр. B.(3)Наконец, согласно (2) и (3),гр. (A\B) = гр. (A∩⌉B) ⊂ гр. А ∪ гр. ⌉B = гр. А ∪ гр. B.Утверждение 2. [A] = A ∪ гр. A для любого множества A в Rm . Так как A ⊂ [A] и гр. A ⊂ [A], то A∪гр. A ⊂ [A]. С другой стороны, так как [A]\A = [A]∩⌉A ⊂ [A]∩[ ⌉A] =гр. A, то [A] = A ∪ ([A]\A) ⊂ A ∪ гр. A. 1.1.2.
Квадрируемость плоской фигурыМногоугольной фигурой P на плоскости называют объединение конечного числа многоугольников, лежащих в этой плоскости. Из школьного курса известно понятие площади многоугольника. Поэтому можноговорить о площади µ(P ) многоугольной фигуры P и число µ(P ) > 0 обладает свойствами:1◦ Аддитивность. Если P1 и P2 — многоугольные фигуры без общих внутренних точек, то µ(P1 ∪ P2 ) =µ(P1 ) + µ(P2 ).52◦ Инвариантность. Если многоугольные фигуры P1 и P2 конгруэнтны (то есть, существует биекция множеств P1 и P2 , сохраняющая расстояние между точками плоскости — ортогональное преобразование плоскости), то µ(P1 ) = µ(P2 ).3◦ Монотонность. Если P1 ⊆ P2 , то µ(P1 ) 6 µ(P2 ).
По условию, P2 = P1 ∪ (P2 \P1 ) и P2 \P1 — многоугольная фигура, не имеющая общих внутренних точекс P1 . Согласно 1◦ , µ(P2 ) = µ(P1 ) + µ(P2 \P1 ) > µ(P1 ), так как µ(P2 \P1 ) > 0. Замечание. Для любой многоугольной фигуры P справедливо µ([P ]) = µ(]P [) = µ(P ).Произвольное ограниченное множество F на плоскости называют плоской фигурой. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры P , содержащиеся в F , и многоугольные фигуры Q, содержащие F . Числовоемножество {µ(P ) | P ⊂ F } ограничено сверху любым µ(Q), Q ⊃ F , а числовое множество {µ(Q) | Q ⊃ F } ограничено снизу (например, нулём).
Следовательно, существуютsup {µ(P ) | P ⊂ F } = µ∗ (F ) = µ∗ и inf {µ(Q) | Q ⊃ F } = µ∗ (F ) = µ∗ .(4)Отметим, что если не существуют P , которые содержатся в F , то полагаем µ∗ = 0.Число µ∗ называют нижней площадью фигуры F , а µ∗ — верхней площадью фигуры F , и µ∗ (F ) 6∗µ (F ).Определение 1. Плоскую фигуру F называют квадрируемой (или имеющей площадь), если µ∗ = µ∗ , иобщее значение µ = µ(F ) = µ∗ = µ∗ называют площадью фигуры F . Другое обозначение: µ(F ) = пл. F .Если F = P — многоугольная фигура, то µ(F ) = µ(P ) = µ∗ (P ) = µ∗ (P ) совпадает с площадью многоугольнойфигуры P .Теорема 1.1. Плоская фигура F квадрируема ⇔ для любого числа ε > 0 можно указать такие многоугольные фигуры P и Q, что P ⊂ F ⊂ Q и µ(Q) − µ(P ) < ε. Необходимость.
Пусть фигура F квадрируема, то есть µ∗ = µ∗ . По характеристическому свойствуточных верхних и нижних граней числовых множеств, для произвольного ε > 0 найдутся многоугольные фигурыP и Q, что P ⊂ F и Q ⊃ F иεεµ∗ − < µ(P ) 6 µ∗ и µ∗ 6 µ(Q) < µ∗ + .22Отсюда, с учётом µ∗ = µ∗ заключаем, что µ(Q) − µ(P ) < ε.Достаточность. Для любого ε > 0 существуют многоугольные фигуры P ⊂ F и Q ⊃ F , что µ(Q)−µ(P ) < ε.Так как, на основании (4), µ(P ) 6 µ∗ 6 µ∗ 6 µ(Q), то 0 6 µ∗ − µ∗ 6 µ(Q) − µ(P ) < ε и µ∗ = µ∗ в силупроизвольности ε > 0.
Теорема 1.2. Для квадрируемости плоской фигуры F необходимо и достаточно, чтобы для любого числаε > 0 существовали такая содержащая F квадрируемая фигура G и такая содержащаяся в F квадрируемаяфигура E, что µ(G) − µ(E) < ε. Необходимость установлена в теореме 1, как G = Q и E = P — квадрируемые фигуры.Достаточность. Фиксируем произвольное ε > 0 и, по условию теоремы, находим такие квадрируемыефигуры E и G, что E ⊂ F ⊂ G, иεµ(G) − µ(E) < .(5)2Так как E и G квадрируемы, то как и в доказательстве теоремы 1, находим многоугольные фигуры Q ⊃ G иP ⊂ E, для которых µ(Q) − µ(G) < 4ε и µ(E) − µ(P ) < 4ε .
На основании последних неравенств и неравенства (5)заключаем, что µ(Q) − µ(P ) < ε, и так как P ⊂ E ⊂ F ⊂ G ⊂ Q, то, по теореме 1, F — квадрируемая фигура. 1.1.3. Фигуры нулевой площадиПлоская фигура F квадрируема и пл. F = µ(F ) = 0 тогда и только тогда, когда µ∗ (F ) = 0 (ибо тогда иµ∗ (F ) = 0, так что µ∗ (F ) = µ∗ (F )). Другими словами, фигура F имеет нулевую площадь тогда и только тогда,когда она содержится в многоугольной фигуре сколь угодно малой площади.Понятно, что всякая часть фигуры площади 0 квадрируема и имеет площадь 0, и что объединение двух (аследовательно, и любого конечного числа) фигур нулевой площади есть фигура нулевой площади.
Последнееутверждение является также следствием такого понятного свойства, которое приведём без доказательства.Утверждение 3. Каковы бы ни были плоские фигуры F1 , . . . , Fm , всегдаmm[X∗µFj 6µ∗ (Fj )(6)j=1j=1Утверждение 4. Всякая спрямляемая плоская кривая имеет нулевую площадь.6 Пусть L — спрямляемая кривая и |L| — её длина. Разобьём эту кривую с помощью n + 1 точек начасти длины n1 |L|. Примем каждую из этих n + 1 точек за центр квадрата со стороной n2 |L|. Объединение всехтаких квадратов представляет собой многоугольную фигуру, описанную (очевидно?) вокруг L, и площадью,2не превосходящей суммы площадей составляющих её квадратов; то есть, не большей числа n42 |L| (n + 1). Так24как |L| — фиксировано, а n можно выбрать произвольно большим, то число n2 |L| (n + 1) может быть сделаноменьше любого заданного числа ε > 0; то есть, кривую L можно заключить в многоугольную фигуру скольугодно малой площади.
Утверждение 5. График Γf функции f , интегрируемой по Риману на отрезке [a, b] действительной оси,имеет нулевую площадь. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно критерию интегрируемости функции на отрезке, найдётся такое разбиение T отрезка [a, b], у которого верхняя S(f ; T ) и нижняя s(f ; T ) суммы Дарбу связаныотношениями 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Геометрически разность S(f ; T ) − s(f ; T ) есть площадь некоторой ступенчатой многоугольной фигуры Q, содержащей Γf (материал второго семестра), и пл. Q < ε. По определению,пл.
Γf = 0. В частности, график Γf любой непрерывной на отрезке [a, b] функции f есть фигура нулевой площади.1.1.4. Критерий квадрируемости плоской фигурыТеорема 1.3. Плоская фигура F квадрируема тогда и только тогда, когда её граница ∂F имеет площадьнуль. Необходимость. Пусть F — квадрируемая плоская фигура и ε > 0 — произвольное число. Находиммногоугольные фигуры P и Q, P ⊂ F ⊂ Q, чтобы µ(Q) − µ(P ) < ε (по теореме 1). Так как µ([Q]) = µ(Q) иµ(]P [) = µ(P ) и [Q] =]P [∪([Q]\]P [), то ε > µ([Q])− µ(]P [) = µ([Q]\]P [). Поскольку многоугольная фигура [Q]\]P [содержит ∂F , то согласно определению 2 и утверждению 2, µ(∂F ) = 0.Достаточность.
Впишем плоскую фигуру F в квадрат R со сторонами, параллельными координатным осямна плоскости, и прямыми, параллельными этим осям, разобьём R на элементарные квадраты со стороной h. Эторазбиение квадрата R условимся называть сеткой с шагом h.Лемма 1. Если граница ∂F фигуры F содержится в многоугольной фигуре площади, меньшей ε, то можно выбрать такой шаг h сетки, что ∂F содержится в объединении элементарных квадратов сетки, общаяплощадь которой меньше 32ε. Любая многоугольная фигура площади, меньшей ε, есть объединение конечного числа треугольников,не имеющих общих внутренних точек; каждый треугольник равен объединению двух прямоугольных треугольников (без общих внутренних точек); каждый прямоугольный треугольник содержится во вдвое большем поплощади прямоугольнике; каждый прямоугольник содержится в объединении не более, чем вдвое большейплощади конечного числа квадратов; каждый квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате состоронами, параллельными осям координат.Итак, любая многоугольная фигура площади, меньшей ε, содержится в объединении конечного числа квадратов со сторонами, параллельными осям координат, и общей площади, меньшей 8ε.Из указанного конечного числа квадратов выберем квадрат с наименьшей стороной и возьмём шаг h сетки, равным половине длины стороны этого квадрата.
При таком выборе h каждый указанный квадрат будетсодержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадь которых не больше учетверённойплощади данного квадрата. Поэтому вся многоугольная фигура площади, меньшей ε, содержится в объединенииэлементарных квадратов сетки, общая площадь которых меньше 32ε. Согласно этой лемме, если граница ∂F плоской фигуры F имеет площадь нуль, то для любого ε > 0 выбираемтакой шаг h сетки, что вся ∂F будет содержаться в объединении элементарных квадратов сетки, общая площадькоторых меньше 32ε.Объединение всех элементарных квадратов, состоящих только из внутренних точек ]F [ фигуры F , представляет собой многоугольную фигуру P , содержащуюся в F , а объединение этой фигуры P со всеми элементарными квадратами, содержащими точки границы ∂F фигуры F , представляет собой многоугольную фигуру Q,содержащую F , и при этом, µ(Q) − µ(P ) < 32ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
