В.И. Гаврилов - Конспект лекций по математическому анализу (1118423), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.4.2. Свойство монотонностиТеорема 1.19. Если функции g(x, y) и h(x, y) интегрируемы на квадрируемом компакте на плоскостиΠ : xOy и g(x, y) 6 h(x, y) для всех (x, y) ∈ K, тоZZZZg(x, y) dx dy 6h(x, y) dx dy.(2)KK Для любого размеченного разбиения Tζ компакта K имеем σ(g; Tζ ) 6 σ(h; Tζ ), откуда, на основаниисвойства монотонности предела по базе d(T ) → 0 получаем формулу (2). 1.4.3. Теоремы о среднем значении для двойного интегралаТеорема 1.20. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K с ненулевой площадью иm 6 f (x, y) 6 M для всех (x, y) ∈ K, тоZZ1f (x, y) dy dy 6 M(3)m6пл. KK(интегральное среднее функции заключено в тех же границах, что и функция).
Согласно свойствам линейности и монотонности,ZZZZZZm · пл. K =m · dx dy 6f (x, y) dx dy 6M dx dy = M · пл. KKKKи деление на пл. K > 0 даёт (3). Теорема 1.21. (о среднем значении). Интегральное среднее непрерывной функции f (x, y) на связном квадрируемом компакте K с ненулевой площадью равно её значению в некоторой точке этого компакта.
Так как f (x, y) непрерывна на компакте K, то по теореме Вейерштрасса она ограничена на K и существуют (xi , yi ) ∈ K, i = 1, 2, что f (x1 , y1 ) = inf f (x, y) = m и f (x2 , y2 ) = sup f (x, y) = M . Поскольку m 6 f (x, y) 6 M ,KKто по теоремеRR1.20 справедливо (3). В силу связности компакта K, существует точка (ξ, η) ∈ K, в которойf (x, y) dx dy. f (ξ, η) = пл.1 KK1.4.4.
Интегрируемость модуля и оценка двойного интегралаТеорема 1.22. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемом компакте K, то |f (x, y)| также интегрируема на K и справедлива оценкаZ Z ZZf (x, y) dx dy 6|f (x, y)| dx dy.(4)KK16 Интегрируемая на K функция f (x, y) ограничена на K; то есть, |f (x, y)| 6 C, C > 0, (x, y) ∈ K.
Так какдля произвольного множества E ⊂ K справедливо ω(|f | , E) 6 ω(f ; E), то для любого разбиения T компакта Kс ячейками σk , k = 1, m, справедливы оценкиS(|f | ; T ) − s(|f | ; T ) =mXk=1ω(|f | ; σk )∆σk 6mXk=1ω(f ; σk )∆σk = S(f ; T ) − s(f ; T ).Поэтому, на основании критерия интегрируемости, из интегрируемости на K функции f (x, y) следует интегрируемость на K функции |f (x, y)|. Так как − |f (x, y)| 6 f (x, y) 6 |f (x, y)| для (x, y) ∈ K, то на основаниисвойств линейности и монотонности,ZZZZZZ−|f (x, y)| dx dy 6f (x, y) dx dy 6|f (x, y)| dx dy,KKKчто равносильно (4).
1.4.5. Свойство аддитивности двойного интегралаТеорема 1.23. Если функция f (x, y) интегрируема на квадрируемых компактах K1 и K2 , не имеющихобщих внутренних точек, и K = K1 ∪ K2 , то f (x, y) интегрируема на K и справедлива формулаZZZZZZf (x, y) dx dy =f (x, y) dx dy +f (x, y) dx dy.(5)KK1K2 Как объединение двух квадрируемых фигур, K — квадрируемая фигура, а как объединение двух компактов — компакт. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как f интегрируема на K1 и K2 , существуюттакое разбиение T ′ компакта K1 с ячейками σi′ , i = 1, n′ , n′ ∈ N, что S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) < 2ε , и такое разбиеn′Sние T ′′ компакта K2 с ячейками σj′′ , j = 1, n′′ , n′′ ∈ N, что S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < 2ε . Поскольку K1 =σi′ иi=1K2 =′′nSj=1′σj′′ , то K =nSi=1σi′ ∪′′nSj=1σj′′ =nSk=1σk , n ∈ N, и при этом ]σi′ [ ∩ ]σj′′ [ ⊂ ]K1 [ ∩ ]K2 [= ∅, i = 1, n′ , j = 1, n′′ .Таким образом, получим некоторое разбиение T компакта K, для которого S(f ; T ) = S(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) иs(f ; T ) = s(f ; T ′ ) + s(f ; T ′′ ), так чтоS(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) <ε ε+ = ε.2 2По критерию, функция f интегрируема на K.
RRRRЧтобы доказать формулу (5), обозначим I =f (x, y) dx dy, Ii =f (x, y) dx dy, i = 1, 2, и опять рассмотримKKiпроизвольное число ε > 0. Согласно определению двойного интеграла, существует такое δ1 > 0, что|I − σ(f ; Tζ )| <ε3(6)для всех размеченных разбиений Tζ компакта K с диаметрами d(Tζ ) < δ1 ; существует такое δ2 > 0, чтоI1 − σ(f ; T ′ ′ ) < εζ3(7)для всех размеченных разбиений Tζ′ ′ компакта K1 с диаметрами d(Tζ′ ′ ) < δ2 и существует такое δ3 > 0, чтоI2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < ε3(8)для всех размеченных разбиений Tζ′′′′ компакта K2 с диаметрами d(Tζ′′′′ ) < δ3 .
Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ), δ > 0,и рассмотрим такое размеченное разбиение Tζ′ ′ компакта K1 с d(Tζ′ ′ ) < δ 6 δ2 и такое размеченное разбиениеTζ′′′′ компакта K2 с d(Tζ′′′′ ) < δ 6 δ3 , у которых наборы ζ ′ и ζ ′′ не содержат общих точек (это всегда возможносделать в случае, когда внутренности ]Ki [6= ∅, i = 1, 2; случай, когда ]Ki [= ∅ для некоторого i, 1 6 i 6 2,обсудим ниже). Объединение разбиений Tζ′ ′ и Tζ′′′′ образует некоторое размеченное разбиение Tζ компакта K сd(Tζ ) < δ 6 δ1 , для которого справедлива формула σ(f ; Tζ ) = σ(f ; Tζ′ ′ )+σ(f ; Tζ′′′′ )1 . Поэтому, с учётом неравенств1 Эта формула остаётся справедливой (и даже упрощается) в случае, когда ]K [= ∅ для какого-то i, 1 6 i 6 2 (скажем, для K ),2iпоскольку тогда K2 = гр.
K2 , пл. K2 = пл. (гр. K2 ) = 0 и σ(f ; Tζ′′′′ ) = 0 для всех Tζ′′′′ .17(6)–(8), имеем оценки|I − (I1 + I2 )| = |I − σ(f ; Tζ ) − (I1 + I2 − σ(f ; Tζ ))| 6 |I − σ(f ; Tζ )| + |I1 + I2 − σ(f ; Tζ )| = |I − σ(f ; Tζ )| + ε ε ε+ I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) 6 |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < + + = ε.
(9)3 3 3В силу произвольного выбора ε > 0, число, стоящее в левой части (9), равно нулю; то есть, I = I1 + I2 , чторавносильно формуле (5). Теорема 1.24. Функция f (x, y), интегрируемая на квадрируемом компакте K, будет интегрируема налюбом квадрируемом компакте K1 ⊂ K.Рассмотрим произвольное ε > 0 и такое разбиение T компакта K на ячейки σk , k = 1, n, чтобыn PS(f ; T ) − s(f ; T ) =ω(f ; σk )∆σk < ε. Положим A = l σl ∩ K1 6= ∅ и σl′ = σl ∩ K1 для всех l ∈ A.
Ячейкиk=1σk′ квадрируемы (как пересечение двух квадрируемых фигур) и являются компактами (как пересечение комnnSSS ′пактов). Далее, K1 = K1 ∩ K = K1 ∩σk =(σk ∩ K1 ) =σl . Наконец, так как ]σl′1 [ ∩ ]σl′2 [ ⊂ ]σl1 [ ∩ ]σl2 [,k=1k=1l∈Aто ]σl′1 [ ∩ ]σl′2 [= ∅ при l1 6= l2 .
Таким образом, σl′ , l ∈ A, образуют некоторое разбиение T ′ компакта K1 , дляPкоторого S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) =ω(f ; σl′ )∆σl′ . Поскольку 0 6 ω(f ; σl′ ) 6 ω(f ; σl ) и 0 6 ∆σl′ 6 ∆σl и A ⊂ 1, n,l∈Aто S(f ; T ′ ) − s(f ; T ′ ) 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, и следовательно, функция f интегрируема на K1 (по критериюинтегрируемости). Следствие 1.5. Пусть K1 , . .
. , Kn — квадрируемые компакты, попарно без общих внутренних точек. Функция f (x, y) интегрируема на их объединении K тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом Kj ,j = 1, n, причём тогдаZZn ZZXf (x, y) dx dy =f (x, y) dx dy.j=1 KjKПрямое следствие теорем 1.23 и 1.24. Следствие 1.6. Если функция f (x, y) > 0 и интегрируема на квадрируемом компакте K, то для любогоквадрируемого компакта K1 ⊂ K справедливо неравенствоZZZZf (x, y) dx dy 6f (x, y) dx dy.K1KПрямое следствие теорем 1.23 и 1.24 и свойства монотонности двойного интеграла. 1.4.6. Интегрируемость произведения интегрируемых функцийТеорема 1.25.
Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы на квадрируемом компакте K, то их произведение интегрируемо на K. Рассмотрим сначала случай, когда g = f ; то есть докажем, что интегрируемость f влечёт интегрируемость f 2 . Так как f 2 = |f |2 , а согласно теореме 1.22, интегрируемость f влечёт интегрируемость |f |, тобез ограничения общности можно считать, что f = |f |; то есть, что f (x, y) > 0, (x, y) ∈ K. Обозначим теперьчерез ME′ и m′E точные верхнюю и нижнюю грани на множестве E ⊂ K для функции f 2 (x, y) (а ME и mEпо–прежнему точные верхняя и нижняя грани для f (x, y)).
Так как 0 6 mE 6 f (x, y) для всех (x, y) ∈ E, тоm2E 6 f 2 (x, y) для всех (x, y) ∈ E, и следовательно, m2E 6 m′E . Аналогично убеждаемся, что ME′ 6 ME2 (насамом деле здесь, как и выше, равенство, но для дальнейшего доказательства это не имеет значения). ПоэтомуME′ − m′E 6 ME2 − m2E = (ME + mE )(ME − mE ) 6 2M (ME − mE ),где M — какая-нибудь верхняя грань для f (x, y) на K (и E ⊂ K). Отсюда для произвольного разбиения Tкомпакта K на ячейки σ1 , .
. . , σm имеемS(f 2 ; T ) − s(f 2 ; T ) =mXk=1(Mk′ − m′k )∆σk 6 2MmXk=1(Mk − mk )∆σk = 2M (S(f ; T ) − s(f ; T )),и так как в силу доказанного неравенства левую его часть можно сделать сколь угодно малой, взяв достаточномалой правую, то вместе с f функция f 2 интегрируема на компакте K.18Наконец, для любых f и g справедливоfg =1[(f + g)2 − (f − g)2 ].4(8)Согласно свойству линейности двойного интеграла, интегрируемость функций f (x, y) и g(x, y) влечёт интегрируемость функций f (x, y) ± g(x, y), а значит, по доказанному, и интегрируемость их квадратов. Утверждениедоказываемой теоремы следует теперь из (8) и свойства линейности двойного интеграла. 1.5.
Вычисление двойного интеграла повторным интегрированиемВычисление двойных интегралов для некоторых областей интегрирования может быть сведено к двукратному вычислению определённых интегралов.1.5.1. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику со сторонами,параллельными координатным осямТеорема 1.26.
Пусть K — замкнутый прямоугольник, ограниченный слева и справа прямыми x = a иx = b, а снизу и сверху прямыми y = c и y = d; то есть, K = [a, b] × [c, d]. Если функция f (x, y) интегрируемана K и для каждого фиксированного x ∈ [a, b] интегрируема как функция от y на отрезке [c, d], то функцияRdg(x) = f (x, y) dy интегрируема на [a, b] иcZZf (x, y) dx dy =ZbaK dZ f (x, y) dy dx.(1)c Пусть T1 и T2 — разбиения отрезков [a, b] и [c, d] точками T1 : a = x0 < x1 < . . . < xm−1 < xm = b;T2 : c = y0 < y1 < . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
