1-4 (1118050), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ядро интегрального оператора K(x,s) называется замкнутым, еслиинтегральный оператор является невырожденным.Пусть А - вполне непрерывный самосопряженный оператор со следующейпоследовательностью характеристических чисел (неважно, конечной или бесконечной) :λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ... , которым соответствует ортонормированная последовательностьсобственных векторов ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,...

.Теорема. Вектор y принадлежит нуль-пространству оператора А ( y ∈ Ker A )тогда и только тогда, когда ( y, ϕ k ) = 0 k = 1,2,... ( ϕ k - конечная или бесконечнаяпоследовательность).Доказательство. 1) Необходимость. Нуль-пространство оператора A – этомножество векторов, соответствующих нулевому собственному значению: Ay = 0 ⋅ y .векторов,соответствующихПусть ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,... -последовательностьхарактеристическим числам (ненулевым собственным значениям). Мы доказали ранее,что векторы, соответствующие различным собственным значениям самосопряженногооператора А, являются ортогональными, поэтому ( y, ϕ k ) = 0 k = 1,2,...2) Достаточность.

Рассмотрим множество P ∈ h[a, b] , состоящее из векторов yтаких, что ( y, ϕ k ) = 0 k = 1,2,... Очевидно (докажите!), что Р - линейное пространство.Р - замкнутое линейное подпространство, т.к. для любой последовательности y n ∈ P ,n=1, 2, …,( y n , ϕ k ) = 0, k = 1,2,... и y n → y 0 , получаем в силу непрерывностискалярного произведения ( y 0 , ϕ k ) = 0, k = 1,2,... , т.е.

y 0 – элемент Р.Р – инвариантное подпространство оператора А. Пусть y ∈ P , k = 1,2,... Тогдаϕ1( Ay, ϕ k ) = ( y, Aϕ k ) = ( y, k ) =( y, ϕ k ) = 0 . Таким образом, из y ∈ P следует Ay ∈ P ,λkλkт.е. Р - инвариантное подпространство.Докажем теперь, что Р – нуль-пространство оператора А: АР=0. Допустим, чтоэто не так. Тогда существует вектор ~y ∈ P такой, что A~y ≠ 0, ~y = 1 . Следовательно,A= sup Ay = A~y > 0 . По доказанному в предыдущем параграфе оператор АP→Py∈ Py =1имеет ненулевое собственное значение, а, следовательно, и характеристическое число~λ > 0 , которому соответствует собственный вектор, который не входит впоследовательность ϕ n (иначе этот вектор был бы ортогонален сам себе).

Мы приходимк противоречию с тем, что в последовательности характеристических чиселперечислены все характеристические числа с учетом кратности. Теорема доказана.Рассмотрим теперь следующий процесс построения для интегрального оператораА с симметрическим ядром K(x,s): пусть характеристические числа упорядочены впорядке неубывания модуляλ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ n ≤ ...и им соответствует ортонормированная система ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ n ,...1) Обозначим K (1) ( x, s ) = K ( x, s ) .ϕ1 ( x) ϕ1 ( s )и пусть интегральный оператор A(2) имеетλ1(2)ядро K (x,s). Все функции ϕ 2 ,..., ϕ n ,... остаются собственными функциями и оператора2) Определим K ( 2) ( x, s ) = K ( x, s ) −A(2) , соответствующими тем же характеристическим числам λ2 ≤ ... ≤ λn ≤ ...

, посколькуb∫Kab( 2)ϕ1 ( x) ϕ1 ( s)11ϕ k ( s ) ds = ϕ k ( x) − 0 = ϕ k ( x) k = 2,3,...λ1λkλkab( x, s ) ϕ k ( s ) ds = ∫ K ( x, s ) ϕ k ( s ) ds − ∫aФункция ϕ 1 остается собственной функцией оператора A(2), но соответствующейнулевому собственному значению ядра K ( 2 ) ( x, s ) . Поэтому λ1 отсутствует впоследовательности характеристических чисел.

Докажите, что оператор A(2) не имеетдругих характеристических чисел, отличных от указанных!…nϕ ( x) ϕ i ( s)n+1) K ( n +1) ( x, s ) = K ( x, s ) − ∑ i.λii =1оператор A(n+1) с ядром K ( n+1) ( x, s ) имеет те же характеристические числа и те жесобственные функции, что и оператор A, кроме первых n характеристических чисел.Если характеристических чисел бесконечное число, то мы получаем ряд (мы небудем исследовать его сходимость).Если характеристических чисел конечное число, то:K ( n +1) ( x, s ) ≡ 0nϕ ( x) ϕ i ( s )K ( x, s ) = ∑ i. Ядро интегрального уравнения получается вырожденным.λii =1Определение. Ядро K(x,s) называется вырожденным, если оно представимо вnвиде K ( x, s ) = ∑ a j ( x) b j ( s ) на [a, b] , где функцииj =1a j ( x), b j ( s ) - непрерывны по своимаргументам на интервале [a, b] .Можно считать, что a1 ( x),..., a n ( x) – линейно независимы, и b1 ( s ),..., bn ( s ) линейно независимы.

Если это не так, число членов в сумме можно уменьшить(докажите!).Интегральный оператор с вырожденным ядром, очевидно, является вырожденным,т.е. у него всегда есть нулевое собственное значение, причем кратность нулевогозначения равна ∞ .Для отыскания других собственных значений поступим следующим образом.Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции для интегральногооператора с вырожденным ядром:bnΛ y ( x) = ∫ ∑ a j ( x) b j ( s ) y ( s ) ds .a j =1bОбозначим∫ y( s) bj( s ) ds = c j . Домножим левую и правую части на bi (x)иaпроинтегрируем от a до b:bΛ ci = ∑ c j ∫ a j ( x) bi ( x) dx, i = 1,2,..., n.j =1a$!!#!!"kij c1  Обозначим C =  % c  nK = {k ij }in, j =1и получим задачу на собственные значения исобственные векторы для матрицы K: K ⋅ C = Λ ⋅ C .

Для отыскания собственныхзначений матрицы К можно, например, решить характеристическое уравнениеdet( K − ΛE ) = 0 .Если оператор А: h[a, b] → h[a, b] , т.е. действует в вещественном линейномпространстве h[a,b], он по определению может иметь только вещественные собственныезначения. Тем не менее, при решении задач на семинарских занятиях могут находиться икомплексные собственные значения. В частности, комплексные корни может иметьзаписанное выше характеристическое уравнение.

О чем же идет речь?Дело в том, что мы можем рассматривать тот же оператор в пространственепрерывных комплекснозначных функций hC[a,b], состоящем из комплекснозначныхфункций вещественной переменной x: y ( x) = u ( x) + i v( x) x ∈ [a, b] , функции u(x), v(x)– непрерывные на [a,b] вещественные функции. Умножение на комплексное числоэлементов этого пространства определяется обычным образом. В этом пространствеbможно ввести скалярное произведение:( y1 , y 2 ) = ∫ y1∗ ( x) y 2 ( x) dx (здесь*- знакaкомплексного сопряжения).

Опишите свойства этого скалярного произведения (ониотличаются от свойств скалярного произведения в вещественном случае, в частности,( y1 , y 2 ) = ( y 2 , y1 ) * ) и проверьте, что это скалярное произведение порождает норму!Если же оператор А имеет симметрическое вещественное непрерывное ядро, тоон имеет только вещественные собственные значения и при действии в пространствеhC[a,b].Теорема. Пусть интегральный оператор с непрерывным симметрическимвещественным ядром K ( x, s ) действует в комплексном пространстве hC[a,b]. Тогда этотоператор может иметь только вещественные собственные значения.Доказательство.

Пусть Λ - собственное значение оператора А,y ( x) ≠ 0 bсоответствующая собственная функция.Тогда Λ y ( x) = ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds . Применимaоперацию комплексного сопряжения к левой и правой части и получим:bΛ∗ y ∗ ( x) = ∫ K ( x, s ) y ∗ ( s ) ds . Домножим первое равенство на y*(x), второе на y(x)иaпроинтегрируем от a до b.bПолучим:bbΛ ∫ y ( x) dx = ∫ y ∗ ( x) ( ∫ K ( x, s ) y ( s ) ds ) dx ;2abaabbaaΛ∗ ∫ y ( x) dx = ∫ y ( x) ( ∫ K ( x, s ) y ∗ ( s ) ds ) dx .2aПосле вычитания получаемb(Λ − Λ ) ∫ y ( x) dx = 0 ,a$!#!"∗2≠0∗из чего следует Λ = Λ , т.е. Λ - вещественное число.

Теорема доказана.Вернемся к вещественному пространству h[a, b] и рассмотрим случай, когда ядроK ( x, s ) - вырожденное.Примеры. Будем рассматривать [a, b] = [0, π ] и пространство h[0, π ] .Как было показано в курсе математического анализа, в этом пространствесуществует ортогональный базис: ϕ n ( s ) = sin ns , n=1,2,… (чтобы получить2). Эта системаπзамкнутая: из того, что непрерывная функция y(s) ортогональна всем функциямϕ n ( s ) = sin ns , n=1,2,…., следует, что y(s)≡0.ортонормированную систему, надо домножить каждую функцию на2 ∞ sin nx sin nsна [0, π ] × [0, π ] . Тогда по признаку∑ n2π n =1Вейерштрасса записанный ряд сходится равномерно, т.к. каждый член этого ряда1мажорируется 2 . Из равномерной сходимости ряда следует, что функция K(x,s)nнепрерывна посовокупностипеременных.

Очевидно,что ядро K(x,s)cимметрическое. Его собственные функции – sinns, а характеристические числа –λ n = n 2 , n=1,2,… (если бы было другое характеристическое число, то соответствующаяему собственная функция была бы ортогональна всем sinns, а такой функции нет, т.к.sinns образуют замкнутую систему). Из замкнутости системы sinns следует, что ядроK(x,s) определяет невырожденный интегральный оператор, а, следовательно, замкнутое.1) Составим ядро: K ( x, s ) =2 ∞ sin nx sin ns∑ n 2 .

Появляется собственноеπ n= 2Оператор А с таким ядром являетсязначение Λ 0 = 0 кратности, равной 1.вырожденным, а его ядро невырожденное, но и незамкнутое.2 ∞ sin 2nx sin 2ns3). Рассмотрим K ( x, s ) = ∑. Интегральный оператор с таким ядромπ n =1( 2 n) 2имеет собственное значение Λ 0 = 0 бесконечной кратности. Интегральный операторвырожденный, имеет бесконечномерное нуль-пространство, а его ядро невырожденное.2) Теперь рассмотрим ядро K ( x, s ) =.

Характеристики

Список файлов лекций