А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(9) Найдем общее решение этой системы. Из двух левых уравнений имеем 6 = О, л = — 4. Подставлян это в остальные уравнения, получаем О=а+с+7, Л= — 2а — с — 7 (10) (остальные уравнения будут следствиями написанных). Решаем систему (10), например, относительно а и 7: а= — г(, 7=4 — с. з = — Сзе -~- Сзе, д = (Сл -~- Сг1) е — 2Сзе з = (Сз — Сз — Сзг) е + 2Сзез'. Таким образом, все неизвестные выражены через с и 4. Положив с = Сл „с( = Сз, имеем а = — Сз, Ь = О, 7' = Сз — Сл, д = — Сз.
Общее решение системы (9) найдено, Подставив найденные значения а, Ь, ... в (8) и прибавив частное решение (7), умноженное на Сз, получим общее решение системы (4): 214. Линебссьсе системы с настоянными наэурсициентими 77 3. Другой способ решения системы (1).
Длн любой матрицы существует базис, в котором матрица имеет жорданову форму. Каждой клетке порядка р > 1 жордановой формы соответствует серия Ьс, Ьг, ..., Ьр векторов базиса, удовлетворяялщих уравнениям АЬс = ЛЬс,Ьс Ф О, АЬз = ЛЬг .~- Ьс, (11) АЬз = ЛЬз + Ьз, АЬр — — ЛЬр -ь Ьр л х =е Ьс, лс г лсс1 х =е с — Ьл ~1с з лссг х =е — Ьг 1,2) +Ьг) с + — Ьг+Ьз (12) 1~ — г х' =е '~ Ьс.(- Ьг-Ь ° ° .
-~- — Ьр с-~-Ьр). 1 1р — Ц! (р — 2)! 1! Общее число всех теких решений равно сумме порядков всех клеток жордановай формы, т. е. порядку матрицы. Они составляют фундаментальную систему решений системы х = Ах. Правило для запоминании формул (12). Собственному вектору Ьл., соответствует решение х = е Ьл.
Если везде лс отбросить ел', то каждая строка правой части (12) получится интегрированием па 1 предыдущей строки, причем постоянную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии. 4. В случае, когда имеются комплексные корни Л, изложенные способы дают выражение решении через комплексные функции. Если при этом коэффициенты системы (1) вещественны, та можно выразить решение только через вещественные функции. Для этого нада воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню Л = сг + Дс (лг ф О), являются линейно независимыми решениями.
Вектор Ьс называется собственным, а Ьг, Ьз, ..., Ьр — присоединенными. Каждой серии Ьс, Ьг, ..., Ьр соответствует р линейно независимых решений х', х'с ..., хэ системы х = Ах (верхний индекс указывает номер решения): 78 314. Линейные системы с постолнными коэффициентами Пример. Решить систему г, = 4х — у, у = 5х+ 2у. Составляем и решаем характеристичесное уравнение 4 — Л вЂ” 1 = О, Л вЂ” ОЛ+ 13 = О, Л = 3 ~ 2д1 о 2 — Л Пля корня Л = 3+ йд' находим собственный вектор (а, Ь): < (1 — 2д)а — Ь = О, 5а — (1+ 2г)6 = О. Можно взять а = 1, Ь = 1 — 2г.
Имеем частное решение х = ед~тмп, у = ~1 2г)едзогпд Так как данная система с вещественными коэффициентами, то решение, соответствующее корню Л = 3 — 2дд можно не искать, оно будет комплексно сопряженным с найденным решением. Чтобы получить два вещественных решения, надо взять вещественную и мнимую части найденного комплексного решения. Так как ед~~~'д' = езд (сов 21 -~- д яп 21), то < зд = Иее + * = е сов 21д дзрг*дд зд уд = Во(1 — 2д)од~~ни = ее" (сов214-2яп26), < хе=1ше + О'=е вш21, [з-~гад зд уг = 1дп(1 — 2д)ед + О = е (яп21 — 2 сов 21). Общее решение выражается через два найденных линейно незави- симых решения: х = Сдхд ж Сгхг = Сд е сов21-Ь Сге вш21, зд зд у = Сдуд 4- Сгуг = Сд е д(сов 21 4- 2яп 21) 4- Сг е (як 21 — 2 сов 21).
5. Чтобы решить систему адах 4 апх ' + ... +ад х+ ->Ьдоу' +Ьпу 4- ... 4-Ьд у=О, ОО до — Ц агах 4- агдх + ... ф огрх + Об Π— дд + Ьгоу г + Ьгду г + ... + Ьгду = О, не приведенную к нормальному виду, надо составить характерис- тическое уравнение ашЛ +аддЛ '+ ... ->адт ЬдоЛ" -сЬпЛ" '+... +Ьд„ агоЛ" + агдЛр + ... +аз„ЬгоЛо+ ЬпЛо 4- ... +6гг 314. Ланебссасе системы с аостояннмми коэуСбациентами 79 и найти его корни. После этого решение отыскивается тем же способом, как в и. 2. Аналогично решаются системы трех и более уравнений.
б. Частное решение линейной неоднородной системы с постоянными коэффициентами з, = амлг + ... + ас„л„+ 1,(С), г = 1, ..., п (13) можно искать методом неопределенных коэффициентов в том случае, когда функции 7с(С) состоят из сумм и произведений функций Ьо + ЬдС + ...
+ Ь,С., е ~, сов ССС, шв ССС. Это делается по тем же правилам, что для одного линейного уравнения с постоннными коэффициентами, см. и. 2 3 11., со следующим изменением. Если С;(С) = Р„ч(С)е~', где Р,(С) — многочлен степени гп„то частное решение системы (13) ищетсн не в виде С'С;1„(С) ет'., а в виде щ; = Ц*„,т„(С) ет, г = 1......, п,. (14) где С,С' +,(С) — многочлены степени т + а с неизвестными коэффициентами, т = шахт;, л = О, если у -- не корень характеристического уравнения (2), а если 7 — корень, то о можно взять равным кратности этого корин (или, точнее, э на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которые умножается ет в общем решении однородной системы). Неизвестные коэффициенты много- членов определяются путем подстановки выражений (14) в данную систему (13) и сравнения коэффициентов подобных членов.
Аналогично определяются степени многочленов и в случае, когда 7с(С) содержат о ' сов СЗС и е"' щиСЗС, а число т = а + С)С являетсн корнем характеристического уравнения. П р и м е р. Решить систему < э = 4х — у+о (С+щпС), у = л -Ь 2у ф Се 'сов С. (15) г:о = (Сгг -~- Сг) е, уо = (СгС -~- Сг — Сг) е В системе (13) для функций Сел', ез' эспС, Сез'созС числа а + С)С соответственно равны 3, 3+ г, 3+ г'. Поэтому надо отдельно найти частные решения систем 2 = 4а — у -1- С е ', у = л -~- 2у, (13) х = 4к — у+с з1нС, у = э+ 2у+ Се соьС. (17) Сначала для однородной системы л = 4х — у, у = л + 2у находим корни Лг = Лг = 3 и как в п. 2 отыскиваем общее решение 80 314. Линейные системы с постоянными коэффициентами Длн системы (16) сг+Дг = 3 = Лг = Лг, в = 2, пг = 1.
Согласно (14), частное решение можно искать в виде хг = (а1 + Ы + сг+ и) ем, уг = (71 + 8В -!- 81+2) е Длн системы (17) о + Дг = 3 + г' ф Льг, в = О, т = 1. Частное решение имеет вид хг = (Н -'г 1) е в!п1-'г (пМ -!- п) е' ' сов й уг = (р1 + О) е в!нг+ (гг + в) е соей Отыскав значения коэффициентов и, Ь, ..., общее решение систе- мы (15) напишем в виде в=хо-!-хг-!-хг~ у уо ! уг ! уг 7. Решение неоднородной системы хг = агг(1)хг -'г .. +аг„(1)х„-!- ~,(1), г' = 1, ..., и можно найти методом вариации постоянных, если известно обпгее решение однородной системы с теми же коэффициентами ом(1).
Для этого в формуле общего решения однородной системы надо заменить произвольные постоянные С, иа неизвестные функции С,(1). Полученные выражения для х; надо подставить в данную неоднородную систему, и из этой системы найти С,(1). 8. Показательной функцией ев матрицы А называется сумма рида Аг 4з е =Е+ — ф — + —,+ ..., 1! 2! 3! (18) где Š— единичнан матрица.
Ряд сходится для любой матрицы А. Свойства о~: а) если А = СМС ', то е" = Севг С ) езди АП П 4 то рлев рл рв ев ел в) матрица Х(1) = с' удовлетворяет уравнению в, = АХ! Х(0) = Е. Методы отыскания ев: 1) Путем решении системы дифференциальных уравнений. В силу свойства в) г-й столбец матрицы е'в есть решение системы уравнений (в векторной записи) т = Ах с начальными условиями х;(0) = 1, хв(0) = 0 при й ф г' (х; — г-я координата вектора х). 214. Линеанме системы с настоянными коэффициентами 81 2) Путем приведения матрицы к жордановой форме. Пусть известна такая матрица С., что матрица С гАС = М имеет жорданову форму, т. е. состоит из клеток К,. Каждая жорданова клетка имеет вид Л = ЛЕ+ Е, у матрицы Р все элементы нули, кроме 1-го косого ряда над диагональю. Поэтому Г'" = О. где гя — порядок матрицы Р, и е легко найти с помощью ряда (18).
Так как еще олк елЕ то е=е"+ =ее =еЕе =ее к ллек лв г х г л Р Составив из клеток е~* матрицу езг, найдем е~ с помощью свойства а). Доказательства и пример см. в [5), гл. 1, Б 12 — 14. В задачах 786 — 812 решить данные системы уравнений (х означает "†;, н т. дд для облегчения работы в некоторых задачах указаны корни характеристического уравнении). 789 791 793 795 х=х+з — у, у = х+ д — з, з = 2х — д 797 (Лг = 1,. Лз=2, Лз= — 1) (Лг=О, Лз=2, Лз=-1). 798.
( Т99. ( т. = 2х — у+э, у=х+2у — з, 1=х — у+2з у=х+у+з, л = 4х — у+4з (Лг = 1, Лз = 2, Лз = 3). (Лг = 1, Лз = 2, Лз = 5). х = 2х+у, 786. у = Зх+ 4у. 788. т, + х — 8у = О, у †х †. 790. х = х — Зу, у=Зх+у. 792. х= 2х+у, у =4у — х. 794. х = 2у — Зх, у=у — 2х. < х=х — у, у=у — 4эь < т = т. + у., у = Зу — 2х. < х+х+5у=О, д †х †. < т, = Зх — у, у = 4х — у. < т, — 5х — Зу = О, д+Зт+у=О. < х = х — 2у — з, у=у †х, 82 214. Линейные системы с ностонннввми коэффициентами х=х †у в, (Л1 = 14 Лг з = 1 ~ 22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
