А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 9
Текст из файла (страница 9)
525. у~ — 10д'и + 9у' = О. 526. уг~ + 2уи+ у = О. 527. у'н — Зун + Зу' — у = О. 528. у'н — ун — у' + у = О. 529 угу 5уи + 4у 0 530 ди + 8до~ + 16у 0 531 ут Зу~ + 2д 0 532 уга+ 4ри + Зд 0 533. ун — 2у' — Зу = еее. 534. до+ д = 4хе*. 535. уи — у = 2е — хз. 536. уи + у' — 2у = Зхе'. 537. уи — Зу' + 2у = з)их. 538.
ун + р = 4 а! и х. 539. д" — 5у'+ 4у = 4хзез . сумме найденного частного решения (17) и общего решения линей- ного однородного уравнения 56 В 11. Линеание уравнения с настоянными коэффициентами 540. ун — Зу'+ 2у = хсовх. 541. ун+ Зу' — 4у = е 4е + хе х 542. ун + 2у' — Зу = хзе*. 543. ун — 4у'+ 8д = ез" + в1п2х. 544. дн — 9у = ез сов х. 545. ун — 2у' + у = 6хе.. 546.
да+ у = хв1пх. 547. ун + 4у' + 4у = хезэ. 548. ун — 5у' = Зхз + вш 5х. В зедачах 549 — 574 дла каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить). 549. дн — 2у'+ 2у = е'+ хсовх. 550. да+ бр'+ 10у = Зте з' — 2ез'совх. 551. ун — 8д'+ 20у = 5хеэ*яп2х.
552. ун+ 7д'+ 10д = хе з сов 5х. 553. ун — 2у'+ 5у = 2хе +е'яп2х. 554. дн — 2у'+ у = 2хея+ е*яп2х. 555. ун — 8у'+ 17у = е4'(хз — Зх яп х). 556. ун'+ у' = япх+ хсовх. 557. у'н — 2ун + 4у' — 8д = ез' яп 2х -~- 2хз. 558. ун — 6у'+ 8у = Зхез'+ 2е~*япх.
559. ун+ 2у'+ у = х(е — совх). 560. у'н — ун — д'+ у = Зе'+ Зхвшх. 561. ун — 6у'+ 1Зу = хзез' — 3сов2х. 562. ун — 9у = е з*(х~ + вш Зх). 563. у'~+ у" = 7х — Зсовх. В 11. Линейные ураоненин с лостоянными ноэффиииент ми 57 564. до+ 4у = совам совЗх. ун' — 4ун + Зу' = д;з + з;ез*. 565. ун — 4у' + 5у = ез' япз т. 566. 567.
до + Зд'+ 2д = е есовз ли 568. ун — 2д'+ 2у = (к+ е*) вшои 569. д1~+ бди+ 4у = вшг, сов2йи 570. рн — Зу'+ 2у = 2*. 571. дн — у = 4вЬт,. 572. рн+ 4д'+ Зу = сЬх. 573. ун+ 4у = вйх вш2зи 574. ун+ 2д'+ 2у = сйл япт. Решить уравнения 575 — 581 способом вариации постоянных. 575. ун — 2у'+ у = — '. 576. ун + Зд'+ 2д =,.~ 578.
до + 4у = 21ях. 579. ун + 2у'+ у = Зе ~х + 1. 580. до+ у = 2весз ш 581*. хз(уи — у) = хз — 2. Найти решении уравнений 582 — 588, удовлетворякэщие указанным начальным условиям. 582. дн — 2у'+ у = 0; у(2) = 1, у'(2) = — 2. 583. ун + д = 4е*; д(0) = 4, у'(О) = — 3. 584. ун — 2у' = 2е*; д(1) = — 1, у'(1) = О.
585. ун + 2д'+ 2у = хе ", у(О) = у'(О) = О. 586. уи' — у' = 0; д(О) = 3, у'(О) = — 1, уи(0) = 1. З11. Линейные уравнения с постоянными иоэффиаиентами 58T. уи' — Зу' — 2у = 9ег, у10) О у 10) 3 уи10) = 3. 588. у~~ + уи = 2 соз х; у(О) = — 2, у'(О) = 1, уи10) = уи'10) = О. В задачах 589 — 600 решить уравнения Эйлера 589. хгуи — 4ту'+ бд = О. 590.
хгди — ху' — Зд = О. 591. хзуи'+ ху' — у = О. 592. х'ди' = 2у'. 593. хгди — ху'+ д = 8хз 594. хгуи+ ху'+ 4у = 10х. 595 хзуи — 2ху = 61пх. 596. хгуи — Зхд'+ 5д = Зхг. 597. хауи — бу = 5хз + 8хг 598. ходи — 2у = з1п 1п х. 599. (х — 2)гуи — 3(х — 2)у'+ 4у = х.
600 (2х+ 3)зри~+ 3(2х+ 3)у' — Оу = О Применяя различные методы, решить уравнения 601— 611. 601. ди+ 2у'+у = созгх. 602. уи — 2д'+ у = хее зш гх 603. уи + 2гу = 8е зшх. 604. да+ 21Лг' — д = 8созх. 605. уи' — 8гд = сов 2х. 606. уи — — ' = 31п( — х). 2д хг 60Т. у" + 2у' + у = хе + — „. Ь 11.
Линейные уравнения с постоянныпни ноэффиииентозеи 59 608. ун+ 2у'-Ь 5у = е *(созг х+18х). 609. хгун — 2у = х -Ь 1 610. х уи — ху'+ д = пх + х 1пх 611* ° у + д = У(х). 612*. Какие условия достаточно наложить на функцию Дх), чтобы все решении уравнения задачи 611 оставались ограниченными при х о +со? В задачах 613 — 618 построить линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка)., имеющие данные частные решения.
613. дг = хге'. 615. уг = х з1пх. 614. уг = ег* сов х. 616. уг = хе сов 2х. 617. уг = хе, уг = е . 618. уг = х, дг = з1пх. 619. При каких а и Ь все решения уравнения ун + ау'+ + Ьд = 0 ограничены на всей числовой оси — оо ( х ( +со? 620. При каких а и Ь все решения уравнения до + ау' + + Ьу = — О стремятся к нулю при х — г +ос? 621. При каких а и Ь уравнение до + ау'+ Ьу = 0 имеет хотя бы одно решение у(х)ф О, стремящееся к нулю при * — 1 +со? 622. При каких а и Ь каждое решение уравнения уи + + ау'+ Ьу = О, кроме решения у(х) = О, монотонно возрастает по абсолютной величине, начиная с некоторого х? 623. При каких а и Ь каждое решение уравнения ун + + ау'+ Ьу = 0 обращаетсн в нуль на бесконечном множестве точек х? 624*.
При каких а и Ь все решении уравнения ун + + ау'+ Ьу = О удовлетворяют соотношению у = о(е е) при х -о +со? 625*. Для заданного Ь > 0 подобрать такое а, при котором решение уравнения у" + ау'-1- Ьу = 0 с начальными условиями 60 З 11. Линеань~е уравнения с постоянними ноэффиииентами у(0) = 1, у'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при х — э +ос.
626. При каких й и оэ уравнение ун + йзу = э1поэ1 имеет хотя бы одно периодическое решение? 627. Найти периодическое решение уравнения х + ах + + ух = зш ыб и нарисоваты рафик зависимости его амплитуды от величины ы. 628. Найти периодическое решение уравнения х + х + + 4х = еим и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении ы от 0 до +ос. 629*. Дано уравнение ун + ау' + Ьу = 1(х), причем ~У(х)~ < т ( †< х < оо), а корни характеристического уравнения Лз < Лз < О.
Найти решение, ограниченное при — ое < х < оэ. Показать, что а) все остальные решения неограниченно приближаются к этому решению при х — э +со, б) если 11х) периодическая, то это решение тоже периодическое. Указание. Применить метод вариации постоянных. Нижние пределы полученных интегрелов взять бесконечными такого знака, чтобы интегралы сходились. В задачах 630 — 632 принять, что при отклонении груза от положения равновесия на расстояние х пружина действует на него с силой йх., направленной к положению равновесии.
630. Найти период свободных колебаний массы т, подвешенной к пружине, если движение происходит без сопротив- ления. 631. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы ят. При движении груза со скоростью о сила сопротивления равна йе. При 1 = 0 грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость ое. Исследовать движение груза в случаях йз < 4йка и йл > 4йьь 632. Решить предыдущую задачу при дополнительном условии, что к грузу приложена еще периодическая внешнян сила 1 = оз1псой Показать, что при любых начальных условиях движение груза будет приближаться к периодическому и найти это периодическое движение (вынужденные колебания).
З11. Линейные ураанения с постоянными коэффициентами 61 633. На конце упругого стержня укреплена масса яь Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент 1 равно В гйпх1. Упругая сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов. Найти амплитуду А вынужденных колебаний массы аь Может ли быть А > В? (Массой стержни и трением пренебречь.) 634. Частица массы ьц движется по оси Ох, отталкиваясь от точки х = 0 с силой Згпго и притягиваясь к точке х = 1 с силой 4гигы где го и гг — расстонния до этих точек. Определить движение частицы с начальными условиями х(0) = 2, х(0) = О.
635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоннного тока, дающего наяряженне 1', сопротивления Л, самоиндукции Е и выключателя, который включается при 1 = О. Найти зависимость силы тока от времени (при 1 > 0). 636. Решить предыдущую задачу, заменив самоиндукцию Ь конденсатором емкости С. Конденсатор до замыкании цепи не заряжен. 637. Последовательно включены сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен о. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи при 1 > О.
638. Последовательно включены самоиндукцин Е, сопротивление Л и конденсатор емкости С, заряд которого при 1 = 0 равен о. Цепь замыкается при 1 = О. Найти силу тока в цепи и частоту колебаний в том случае, когда разряд носит колебательный характер. 639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меннется по закону Е=1'з1псег, сопротивление Л и самоиндукция Ь. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).
640. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону Е = $'в1пеей, сопротивление Л, самоиндукция Е и емкость С. Найти силу тока в цепи (установившийся режим). При какой частоте иэ сила тока наибольшая? 62 312. Линейные уравнения с переменными ноэффипиентими Б 12. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Большинства задач этого параграфа решается с помощью методов общей теории линейных дифференциальных уравнений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
