А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 6
Текст из файла (страница 6)
г?. Существование и единственность решения 33 229. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости;с, д пересекаться в некоторой точке (хо, уо) а) для уравнения у' = х, + дг'? б) для уравнения ун = х + уг? 230. Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости х, у касаться друг друга в некоторой точке (хо, Ув) а) для уравнения у' =:с+ дг? б) для уравнения дн = х+ уг'? в) для уравнения ун' = х + у ? 231.
Снолько существует решений уравнения убб = х+ + уг, удовлетворяющих одновременно двум условиям: у(0) = = 1, у'(О) = 2? Рассмотреть отдельно случаи п = 1, 2, 3. 232. Сколько решений уравнения убй = Х(х, У) (г" и /„' непрерывны на всей плоскости х, у) проходит через точку (хе, уо) по заданному направлению, образующему угол сг с осью Ох? Рассмотреть случаи п = 1, п = 2 и и, > 3. 233. При каких и уравнение дрй = 1(х, д) (?' и ~„' непрерывны) может иметь среди своих решений две функции: уг = х, дг = х + х 234. При каких п, уравнение дрб =- 1(х, д, д', ..., У<в 0) с непрерывно дифференцируемой функцией ?' может иметь среди своих решений две функции: уг — — х, уг = гбпх? 235*. Пусть 1(х, у) непрерывна по х, д и при каждом х, не возрастает при возрастании д. Доказать, что если два решения уравнения у' = ? (хз у) удовлетворяют одному и тому же начальному условию у(хе) = уе, то они совпадают при х > хе.
236. Сколько производных имеют решения следующих уравнений и систем в окрестности начала координат? (Теорему о гладкости решений см. (2), 3 19 или (4), 3 6, теорема 1.4.) х + дт?з б) у' х~х~ уг в) д ~х ~ + у ?, г) д — у — х,?хь ) бх 1+ сьд +?г~?~ 41 ' ' 41 г + ь??4 у ов ' сй 34 18. Уравнения, не разрешенные относительна производной 237'. При каких о каждое решение продолжается на бесконечный интервал — ос < х < +ос а) для уравнения д' = [д[ ? б) для уравнения д' = (дз + е')'? В) дпя уранивиня у' = [у[а 1+ (Хчь уд) ? г) для системы у' = (уз + з~ + 2) ', з' = у(4+ зз)а? 238*.
Для следующих уравнений доказать, что решение с произвольным начальным условием у(хо) = уо существует при хо < х < +ею: а) у~ „з уз б) у' = ху+ е '". 239*. Пусть на всей плоскости х, д функции «(х, д) и ~„'(х., у) непрерывны и «„'(х, у) < я(х), функция н(х) непрерывна. Доказать, что решение уравнения у' = «(х, у) с любым начальным условием у(то) = уо существует при хо < х, < +ос. 240*. Дана система в векторной записи у' = «(х, у), удовлетворяющан условиям теоремы существования в окрестности каждой точки (х, д). Пусть в области [у[ ) б при всех х д «(х д) < ?(х)[у[' где д « -- скалярное произведение, а функция Й(х) непрерывна. Доказать, что решение с любым начальным условием у(ха) = уо существует при хо < х < +со. 38.
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 1. Уравнения вида Р(х, у, у') = О можно решать следующими методами. в) Разрешить уравнение относительно у', т. е. нз уравнения г"(х, у, у ) = О выразить у' через х н у. Получится одно илн несколько уравнений вида у = «(х, у). Каждое из них надо решить. б) Метод введения параметра'. гзяесь иееегеетси простейший вариант ьтага методе. Более абщий вариант см. [1[, гя. 111, З 3, п.
1. 28. Уравнения, не разрешенные относительно производной 35 Пусть уравнение Г(х, у, у~) = О можно разрешить относительно у, т. е. записать я виде у = 7(х, у ). Введя параметр ду р= =у дх получим У = 1(х, 1>). (2) Взяв полный дифференциал от обеих частей равенства (2) и замениа Йу через рдх (н силу (1)), получим уравнение вида М(х, р) дх ф Ж(х, р) др = О. Если решение этого уравнения найдено я виде х = р(р), то, эоспользоэаншись раненстнам (2), получим решение исходного уравнения и параметрической записи: х = р(р), у = ~(!о(р), р). Уравнения вида х = 7(у, у ) решаются тем же методом.
Пример. Решить уравнение у = х+ у' — 1и у~. Вводим параметр р = у: р — 1 (р — 1) Пх = др. р (4) а) Если р ф 1, то сокращаем на р — 1: г)х = —, х = 1п р + С. др р' Подставляя это я (3), получаем решение я параметрической записи: х=!пр+С, у=р+С.
В данном случае можно исключить параметр р и получить решение и явном виде. Для этого из первого из уравнений (5) выражаем р через х, т. е. р = е* ~. Подставляя это аа этарое уравнение, получаем искомое решение: у=с' -1-С. (б) б) Рассмотрим случай, когда я (4) имеем р = 1. Подставляя р = 1 э (3), получаем еще решение (7) у=и+1. у = х+ р — !пр. (3) Берем полный дифференциал от обеих частей равенства и заменяем в!у на р дх в силу (1): йу = йх+бр — -д, р Йх = Ох+бр — -д. Решаем полученное уравнение.
Переносим члены с г)х влево, с др — — вправо: 36 28. Ураанения, ие разрешенные относительно произоодноб Р(х,у,р)=0 (8) удовлетворяет также уравнению дг'(х, у, у') др! (9) Поэтому, чтобы отыскать особые решения уравнении (3), надо исключить у' из уравнений (8) и (9). Полученное уравнение ф(х, д) = = 0 называется уравнением дискриминантноб кривой.
Дли каждой ветви дискриминантной кривой надо проверить, явлнется ли зта ветвь решением уравнения (8), и если нвлнется, то будет лн зто решение особым, т. е. касаютси ли его в каждой точке другие решения. П р и м е р. Найти особое решение уравнения р=х-Ьу — !пу. Дифференцируем обе части равенства по у'. (10) 1 0 = 1 — —. р! (11) Исключаем р' из уравнений (10) и (11). Из (11) имеем р' = 1: подставляя зто в (10), получаем уравнение дискриминантной кривой (12) у=а+1. Проверим, будет ли кривая особым решением.
Для этого сначала проверяем, является ли она решением уравнения (10). Подставляя (12) в (10). получаем тождество х ф 1 = х -Ь 1. Значит, кривая (12) — решение. ьЭто определение взято из [1). Есть и другие определении, не равносильные этому. (Было бы ошибкой в равенстве р = 1 заменить р на у' и, проинтегрировав, получить у = х -Ь С.) 2. Решение у = р(х) уравнении Г(х, у, у') = 0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке ту же касательную, что и решение у = !о(х)., но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности этой точки . Если функция Г(х, у, р ) и производные о и а, непрерывны, с ог оа то любое особое решение уравнении з8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 37 Теперь проверим, нвляется ли это решение особым, т.
е. касаются ли его в каждой точке другие решении. В п. 1 было найдено, что другие решения выражаются формулой (6). Пишем условия касания кривых у = уз(х) и у = уг(х) в точке с абсциссай та.' уг(ха) = уг(ха), у',(ла) = уг(ха). (13) Ф(. „С) О ОФ(* С) ОС и проверить, будет ли полученная кривая огибающей, т, е, касают- ся ли ее в каждой точке кривые семейства. Эту проверку можно провести изложенным в конце п. 2 методом, используя условия ка- сания (13). В задачах 241 — 250 найти все решении данных уравнений; выделить особые решения (если они есть); дать чертеж. 241.
у' — уг = О. 242. Ву' = 27у. 243. (у' + 1)з = 27(х, + у)г. 245. уг(у' + 1) = 1, 245 уз 4уз О 247. ху' = у. 249 у' +уг уу(у +1) 246. у' = 4уз(1 — у). 245. уу' + х = 1. Для решений (6) и (12) эти условия принимают вид е"' с -Ь С = = ха+1, е*' ~ = 1. Из второго равенства имеем С = ха, подставляя это в первое равенство, получаем 1 + ха = ха + 1. Это равенство справедливо при всех та. Значит, при каждом ха решение (12) в точке с абсциссой ха касается одной из кривых семейства (6), а именно той кривой, для которой С = ха. Итак, в каждой точке решение (12) касается другого решения (6), не совпадающего с ним. Значит, решение (12) — — особое. Если семейство решений записано в параметрическом виде, как в (6), то выполнение условий касания проверяется аналогично.
При этом надо учесть, что у' = р. 3. Если семейство кривых Ф(х, у, С) = О, являющихся решениями уравнения Р(х. у, у') = О, имеет огибающую у = аз(х), то эта огибающая является особым решением тога же уравнения. Если функция Ф имеет непрерывные первые производные, то для отыскания огибающей надо исключить С из уравнений 38 г8. Уровнения, не розрешенньсе относительно производной 250. 4(1 — у) = (Зу — 2)гу' . 252. хд'(ху'+ у) = 2уг.
254. ху' = у(2д' — 1). 256. у' + (х + 2)е" = О. 253. хд' — 2уу' + х = О. 255. у' + т = 2у. 257. у' — 2ху' = 8хг. 258 (ту' + Зу)г 7х 259 д 2уу дг(е' — 1). 260. у'(2у — у') = дг л!и х. 261. ум+уз =у 262. х(у — ху')г = ту' — 2дд'. 263. у(ху' — д)г = у — 2ху'. 264. уу'(уд' — 2х) = хг — 2уг, 265. д' + 4ху' — дг — 2хгу = х4 — 4хг. 266.
у(у — 2хд')г = 2у'. Уравнении 267 — 286 решить методом введения параметра. 267. х = д' + у'. 268. х(д' — 1) = 2у' 269. х = у'тссу'~ + 1. 271. у = у' -!- 2у' . 270. у'(х — !пу') = 1, 272. д =!п(1+ у' ). 274. у = (у' — 1)е" . 273. (у'+ 1) = (у' — у) . 275 ут усг уг 277. у' = 2уу'+ уг. 279. 5д+ у' = х(т. + д').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
