А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(1), гл. 1г, 1 2, 3 3 или (4], гл. 2, 3' 3, 3 5) и методов качественного исследовании линейных уравнений второго порндка (см. (1), гл. 1Г1, 3 2, и. 1, п. 3). К остальным задачам даны указания нли ссылки на литературу. 2. Если известно частное решение уг линейного однородного уравнения и-го порядка, то порндок уравнения можно понизить, сохранян линейность уравнении. Для этого в уравнение надо подставить У = угг и затем понизить порядок заменой г' = и. Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порндка ав(х)Уи -~- ог(х)У' ф аг(х)У = О, у которого известно одно частное решение уг,можно понизить порядок уравнении указанным выше способом.
Однако удобнее воспользоваться формулой Остроградского Лиувилля: у уг С -1 М~в. ( ) а,(х) — С ( )— = Се р(х) = Уг Уг ао(х)' где уг и уг — любые два решения данного уравнении. Пример. Пусть известно частное решение уг = х уравнения (Ц (х + ЦУ вЂ” 2ху + 2у =- О. По формуле Остроградского — Лиувиллн получим У У -1(.Р=) в*, = Се "' э'; Угре — Угуг = С(х + Ц. Уг Уг Так как функция уг известна, то мы получили линейное уравнение первого порндка относительно уг.
Проще всего оно решается следующим способом. Разделив обе части уравнении на у,', получим слева производную от дроби уг/гуг Уг ) УгУг — Угрг С(х -~- Ц И'=''= ' Уг l Уг У,' Так как уг — — х, то / 11 — С бх-~-Сг=С х — — -~-Сг; l х) Уг = С(х — Ц + Сгх. 2 12. Линебние ураэнения с иеременнмми коэффициентами 63 Это — общее решение уравнения (1). 3. Общего метода для отыскания частного решения линейного уравненин второго порядке не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. П р и м е р. Найти частное решение уравнения (1 — 2х )у + 2у + 4у = О, (2) и~(1) = соэт ж 0 ~ — ), пэ(1) = э1пг+ 0 ~ — ); ~ -)' (,1-) ' 2) уравнение пи — (1 — Г(1))п = О имеет два таких линейно независимых решения, что при 1 -э -~-оо ,(1) = ' (1 ж о (,— „)),,(1) = ~14 о (,— )) .
В задачах 641 — 662 исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. В каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены. 642. бх+ 9, 8х+ 12. 644. 1 х, хз. 641. х+ 2, х — 2. 643. щит, совх. 645. 4 — х, 2х+ 3, 6х э'-8. нвлнюшеесн алгебраическим многочленом (если такое решение существует). Сначала найдем степень многочлена. Подставляя у = х" -~- ... в уравнение (2) и выписывая только члены с самой стершей степенью буквы х, получим: — 2тэ п(п — 1)х" э-~- ...-~- 44х" -~-... = О.
Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени х, получим: — 2п(п — 1)+4 = 0: и — и — 2 = О. Отсюда а~ = 2; корень пэ = — 1 не годен (степень многочлена — целое положительное числа). Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде у = х~ + ах+ Ь. Подставляя в уравнение (2), получим (4а+ 4)х+ + 2+ 2а+ 4Ь = О. Следоветельно, 4а+ 4 = О, 2-~-2а-~-4Ь = О. Отсюда а = -1, Ь = О.
Итак, многочлен у = хэ — х является частным решением. 4. При решении задач 738 — 750 воспользоваться следующими утверждениями, вытекающими, например, из 2 7 гл. Ъ' книги (э). Пусть ~)(1)~ <,,~ при 1э < 1 < оо; с, и = сопэс ) О. Тогда 1) уравнение иэ -~- (1 + 7(1))и = О имеет два таких линейно независимых решения, что при 1 -э жоо 64 я 12. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 646. хе+ 2, Зхз — 1, т+ 4. 647. хз — х+ 3, 2хз+ х, 2т. — 4. 648. е', ез'', ез' 649. х, е', хе . 650. 1, ейпзх, соя2х. 651.
яЬх, сЬх, 2+е . 652. 1п(хз), 1пЗх, 7. 653. х, О, е'. 654. яЬх, сЬх, 2ее — 1, Зев+ 5. 656. Мпх, соях, я1п2х. 655. 2*, 3, 6'. 657. я1пх, Мп(х+ 2), соя(х — 5). 658. згх, ъ~х+1, ъ'я+ 2. 659. агсгбх, агстййх, 1. 660. хз. х]х]. 662 х,з ],з] 661. х,, ]х], 2х+ ъ'4хз. Рис. 1 Рис. 2 664. Известно, что дан функций уг, ..., у„детерминант Вронского в точке хо равен нулю, а в точке хг не равен нулю. Можно ли что-нибудь сказать о линейной зависимости [или независимости) этих функций на отрезке [хо, хг]? 665.
Детерминант Вронского дан функций уг, ..., уи равен нулю при всех х. Могут ли быть эти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми? 663. а) Явлнютсн ли линейно зависимыми на отрезке [ае Ь] функции, графики которых изображены на рис. 1? б) Тот же вопрос дан рис. 2.
212. Пинейнаае уравнения е переменными квэффилиенпаами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ды ..., д„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы? 667. Функции да — — х, дз — — х', дз — — ~х~~ удовлетворяют уравнению хзди — 5хд' + 5д = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ. 668. Доказать, что два решения уравнения дп+ +р(х)д'+ + 4(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы.
669. Даны 4 решения уравнения д'и + хд = О, графики которых касаются друг друга в одной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670. Пользунсь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ((1), гл. У, конец у 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условиями (не решая уравнения): а) (х. + 1)ди — 2у = О, д(0) = О, д'(0) = 2; б) дп -Ь д !ах = О, д(5) = 1, д'(5) = О. 671.
Могут ли графики двух решений уравнения у!"! + + р2(х)д!и О + ... + р„(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х, д а) пересекаться, б) касаться друг друга? 672. При каких п уравнение задачи 671 может иметь частное решение д = хз? 673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: д~ = хз — 2х + 2, дз = (х — 2), д = хз + х — 1, д = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порндка), имеющее данные частные решения.
675. х, е'. 674. 1, совх. 676. Зх, х — 2, ее+ 1. 677. хз — Вх, 2хз + 9, 2х + 3. 679 х хз ех 678. е, айх, с!ах. хз ~хэ~ 66 г12. Линейные уравнения е переменными нвэффилиентажи В задачах 681 — 701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции уг = еие или алгебраического многочлена уг — — хи + ах ' + 6х" г + ... 681.
(2т+ 1)уи+ 4ху' — 4у = О. 682. хг(х+ 1)ди — 2у = О; уг = 1+ —. 683. хуи — (2х + 1)д' -~- (х + 1)у = О. 684. хуи + 2д' — хд = О; уг = — '. 685. Уи — 2(1+ 18~ х)У = О; Уг = сбх. 686.:т(х — Цди — ху' + у = О. 687. (ее + 1)уи — 2у' — е у = О; уг = е* — 1. 688. хгун 1пх — ху'+ у = О.
689. уи — у'18х+ 2у = О; уг — — ьшх. 690. (хг — 1)ун+ (х — 3)д' — у = О. 691. хун — (х+ 1)у' — 2(х — 1)у = О. 692. ун+4ту'+ (4хг+ 2)д = О: уг — — еае . 693. хуи — (2х+1)у'+ 2у = О. 694. х(2х+ 1)уи+ 2(т+ 1)у' — 2у = О. 695. х(х + 4)уи — (2х + 4)у'+ 2у = О. 696. х(хг + 6) уи — .1(хг ч- 3) у' -ь бху = О. 697. (хг -Ь 1)ун — 2у = О.
698. 2х(х+ 2)да+ (2 — х)у'+ у = О. 699. ху'и — уи — ху'+ у = О; уг = х, дг = е . 700. х'(2х — 1)дн'+ (4х — 3)хун — 2ху'+ 2у = О; уг=х уз=1! 701. (хг — 2х+ 3)уи' — (хг + 1)да + 2ху' — 2у = О; дг = х, уг = е*. г 12. Линейные уравнения с переменными неэффиииенсп ми 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения являетсн многочленом.
702. (х+ 1)хуи+ (х+ 2)у' — д = х+ —,'. 703. (2х+ 1)уи+ (2х — 1)у' — 2у = хг + х. В задачах 704, 705, зная два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, найти его общее решение. 704. (хг — 1)Уп + 4хд' + 2У = 6х, дг = х, Уг = ~~" ге~. 705. (Зхз + х)Уи + 2У' — бхд = 4 — 12хг; Уг — — 2х, Уг=(х+Ц .
В уравнениях 706 †7 линейной заменой искомой функции д = а(х)г уничтожить член с первой производной. 706 хгдп — 2ху'+ (хг + 2)у = О. 707. хгун — 4 у'+ (6 — хг)у = О. 708. (1 + хг) уи + 4ху' + 2У = О. 709. хгун+ 2хгу'+ (хг — 2)у = О. 710. хун + у'+ ху = О. В уравнениях 711 — 715 заменой независимого переменного с = иэ(х) уничтожить член с первой производной. уи у! 4гзу О 712.
(1 + хг)дн + ху' + д = О. 713. хг(1 — хг)де+ 2(х — хз)у' — 2У = О. 714. Уп — у'+ ееид = О. 715. 2хуи + у' + ху = О. 716. Зная три частных решения уг — — 1, уг = х, Уз = х линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. 68 з 12. Линейке~в уравнения е переменками квэффиииентами 717.
Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все решения уравнения уи+ р(х)у'+ д(х)у = О при х — к оо стремятся к нулю вместе со своими первыми производными'? У к а з а н и е. Воспользоваться формулой Лиувилля. 718. Доказать, что в случае д(х) < 0 решения уравнении уи + р(т)у' + д(х)9 = 0 не могут иметь положительных максимумов. 719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения ун + д(х)у = О? 720. Могут ли графики двух решений уравнения уи + + О(х)у = 0 (функцин д(х) непрерывна) располагаться так, как на рис. З,а? рис. З,б? рис. З,в? рис. З,г? г) Рис.
3 721. Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения да + р(х)у'+ т?(х) у = О (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума. 722. Доказать, что в случае д(х) > 0 для любого решенин уравнения уи + о(х)у = О отношение у'(х)/у(х) убывает при возрастании х на интервале, где у(х) ф О.
Ь 12. Пикейные уравнения е переменными квэффиниентами 69 723. Доказать, что в случае д(х) < 0 все решении уравнения уп + 9(х)у = 0 с положительными начальными условиями у(ха) > О, у'(тв) > 0 остаются положительными при всех х, > хе. 724. Доказать, что решение уравнения ди — хзу = 0 с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. 725'. Доказать, что в случае д(х) < 0 краеван задача уп + д(х)у = О, у(х1) = а, у(хз) = Ь при любых а, Ь и х1 ф хз имеет единственное решение. Доказать, что это решение — монотонная функция, если Ь = О. Т26. Найти расстояние между двумя соседними нулнми любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения уи + гпу = О, где гв = сопз1 > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке а < т < ЬТ В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи и теорему сравнения (см. (1), гл. й1, Ь' 2, и. 3), оценить сверху и снизу расстояние между двумя соседними нулнми любого (не тождественно равного нулю) решении следующих уравнений на заданном отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
