А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Интегрирующим множителем для уравнения (4) М(х, у)е(х -~-)й(х, у)е(у = О называется такая функция ят(х, у) ф О, после умножении на которую уравнение (4) превращается в уравнение в полных дифференциалах. Если функции М и )й в уравнении (4) имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания (когда общее решение уравнения (4) неизвестно). В некоторых случаях интегрирующий множитель можно найти с помощью приемов, изложенных в (1), гл.
11, 3 3, и. 3 или в [4], гл. 1, 3 5. Для решения некоторых уравнений можно применить метод выделения полных дифференциалов, использун известные формулы: с1(хр) = уе)х+ аг(д, 4(рз) = 2уг1р, П р и м е р. Решить уравнение р бх — (4хз р -> х) е(у = О. (5) Сначала выделяем группу членов, представляющую собой полный дифференциал. Так как р с(х — х бу = — х~ г((у/х), то, деля уравнение (5) на — х, имеем 6(-Р) +4рбц = О, 4(-") -ьд(2д') =О. Это — уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя непосред- ственно (приводить к виду (1) не нужно), получаем решение бб.
Ураенекил е лолньсх длфуереклиагсах 27 Кроме того, при делении на — хг было потерлио решение х = О. Замечание. Так как после делении уравнения (5) на — хг, т. е. умножения на — 1ссх, получилось уравнение в полных диффег ренциалах, то интегрирующий множитель длн уравнения (5) равен 1с, г 3. Если в уравнении (4) можно выделить полный дифференциал некоторой функции сг(хс д), то иногда уравнение упрощается, если от переменных (х, д) перейти к переменным (х, г) или (д, г), где г = х(х, д). Примеры. 1) Решить уравнение дс1х — (хзд+ х) с(д = О. Выделив полный дифференциал как в предыдущем примере, получим с1 ( — ) ф хдс1д = О.
Перейди к переменным г = д/х и д, получим уравнение с1г+ — с1д = О, д 3 которое легко решается. 2) Решить уравнение (хд + дс) с1х + (хг — хд ) с1д = О. Сгруппируем члены так, чтобы выделить полные дифференциалы х(д с1х + х с1у) + дз(д с1х — х с1д) = О, х с)(хд) + дз с1 ( — ) = О.
Разделив на х и сделав замену ху = и, хссд = е, получим уравнение г с1и+ — с1е = О, которое легко решается. и ,з В задачах 186 †1 проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах, и решить их. 186. 2хдс(х+ (хг — дг) с)д = О. 187. (2 — 9хдг)хс)х+ (4дг — бхз)дс1д = О. 188. е лс(х — (2д+ хе ") с)д = О. 189.
— ' с(х + (дз + 1п х) с1д = О. Зх' + д' 4 2х' + бд О 1с д г 6. Уравнения в ивлнасх дифференциалах 191. 2х (1 + сссхг — у) с1х — рсхг — у бус = О. 192. (1+ уг в1п2х) с1х — 2усовг х с1у = О. 193. Зхг(1 + 1п у) с1х = (2у — — ) с1у.
< (х + 1) совр дд=О. сйпд ) ' сов 2у — 1 194 195. (хг + уг + х) с1х + у с1у = О. 190. (х'+ д'+ д) с1х— 19 У. у Ор = ( бд + у 4 ) Я+ у . 198. хдг(ху' + у) = 1. 199. р' 4: — (,р+ ') Ор = О. с1у 200. у — — ) Йх+ — = О. х у 201.
(хг + 31пу)дс1х = хс1у. 202. суг с1т+ (ху+15ху) с(у = О 203. у(х + у) с1х + (ху+ 1) с1у = О. 204. д(уг + 1) с1х -~- х(у — х + 1) с1у = О. 205. (хг + 2х + у) с(х = (х — Зхгу) с(д. 206. ус1х — хс!у = 2хз15 л с(х. 207. уг с1х + (ел — у) с1у = О. 203 х, с1х — (уз + хгу + хг) с1у 209. хгу(ус1х+ хс1у) = 2уйх+ хйу. 210. (хг — уг + у) бх + х(2д — 1) с1у = О. 211. (2хгуг + у) с1х+ (хзу — х) с1у = О. 212.
(2хгдз — 1)ус1х+ (4хгуз — 1)хс1д = О. Решить уравнении 195 †2, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных. 17. Существование и единстаеккость решения 29 213. у(х + уг)г(х + хг(у — 1)с1у = О. 214. (хг — в(пг у) г(х -1- хван 2у г(у = О. 215. х(1пу+ 21пх — 1) г!у = 2ус1х. 216. (хг+ 1)(2хг)х+ совуйу) = 2хв(пуг)х. 212 (2хзуг у) г(х+ (2хгуз х) г(у О 216 хауз + у ч (г.зуг х)у' О 219. (хг — у) г)х + х(у + 1) г(у = О. уг (у йх — 2х с(у) = хз (х г(у — 2у с(х) .
9 7. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 1. Теорема существования и единственности решения уравнения у =з(х у) (1) с начальным условием у(хо) =ус. Пусть а замкнутой области и ()х — хо~ (м а, ~у — уо) (ы Ь) функции г" и гз' кепрерывньд. Тогда на некотором отрезке хо— — д < х < хо -~-д существует единственное решение уравнения (Ц, удовлетворяющее начальному условию у(ло) = уо. При этом можно взять д = пшз(а;,ь 1, где а и Ь указаны выше, а ш любое такое, что Щ < т в Л.
Последовательные приближения, определяемые формулами уо(х) = уо, уь(х) = уо -~- / У(з, уз-з(з)) дз, У = 1, 2, е равномерно сходятсн к решению на указанном отрезке. 3 а м е ч а н и е. Для существования решения достаточно только непрерывности р(х, у) в области П, но при этом решение может не быть единственным. зТребование непрерывности Р'(у) можно заменить требованием ее ограниченности или условием Липшицз; ~~(х,уз) — Г(з,уг)~ < й)уз — уг~ й = сопли 30 "37. Существование и единственность решения 2. Система уравнений У| = ф|(х| Ум ° ° ° | У )| У = ро(х: У| ...
Уь) (2) в векторных обозначениих записываетси так: у = ф( ; у) (3) где у = (у|, ..., У„) и ф = (ф|..,., 1„) — - векторы. Непрерывность вектор-функции ф означает непрерывность всех функций ф|, ..., ф, а вместо вс рассматривается матрица из частных производи|ах —,, ', |, к = 1, ...,и. о|. Оеь ~ Теорема существования и единственности решении и все утверждения и. 1 оста|отсн справедливыми и для системы, записанной в виде (3). При этом ~у~ означает длину вектора у: ~у~ = = яз" +н 3. Теорема существования и единственности решения для уравнении и;го порядка у'"' = Пх, у, у', "".
у'" "). (4) у(хо) — уо у (хо) = уо .: у |(хо) = уо уравнение (4) имеет единственное решение. Уравнение (4) можно свести к системе вида (2), если ввести новые неизвестные функции по формулам у = у|, у' = уг. у' = — || = уз| ., у " ' = у . Тогда уравнение (4) сводится к системе | | Р у| — уз уг — уз у — 1 — у у — г(х: у| у ) которая явлнется частным случаем системы (2) и к которой применимы все утверждения и. 2.
4. Продолжение решений. Во многих случаях решение уравнения (1) или системы (2) существует не только на отрезке, указанном в и. 1, но и на большем отрезке. Если уравнение (1) или система (2) удовлетворяет условиям теоремы существования в замкнутой ограниченной области, то Пусть в облас|пи лз функция 1' и ее частные производные первого порядка по у, у', ..., У|ь Н непрерывны, и точка (хо| уо| уо | уо ) лежит внутри Ю. Тогда при начальных | | -Ц условиях З7. Существование и единственность решения 31 ~У(х: уН < а(*)Ь~ + Ь(х): н функции а(а) и Ь(х) непрерывны, то всякое решение можно про- должить на весь интервал а < х < д.
221. Построить последовательные приближения до, ды уз к решению данного уравнения с данными начальными условиями: а) д' = х — д , д(0) = О. б) д' = дз + Зхх — 1. д(1) = 1. в) д' = д + е" ~, д(О) = 1. г) д' = 1+ хшпд, д(н) = 2н.
222. Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям следующих уравнений и систем: а) д'=2х+е, е'=д; д(1) =1, е(1) =О. б) — = д, †" = хз; х(0) = 1, д(0) = 2. в) дн + д' — 2д = 0; д(0) = 1, д'(О) = О. г) — х = ЗЬх; 12 х(1) =2, — * = — 1. ос с=г 223.
Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями: а) д' = х + дз, д(0) = О. б) д' = 2дз — х, д(1) = 1. в) — х =1+в*, х(1) =О. г) — х=дэ, — =хи, х(0)=1, д(0)=2. венков решение можно продолжить до выхода на границу этой области. Если прввая часть уравнения (Ц нлн системы (3) в области о < х < (1, )у~ < оо (а и Д могут быть конечными или бесконечнымн) непрерывна н удовлетворяет неравенству 32 З 7.
Существование и единственность решения У к в з в н и е. Оценить остаток ряда, сходимость которого доказывается в теореме существования решения, см. [1), гл. П, З 1; 12)з З 15. 225. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности, выделить области на плоскости т, у, в которых через каждую точку проходит единственное решение уравне- ния а) у' = 2ту+ уз, б) у' = 2+ ззсд~22 т, в) (х — 2)у' = ьсу — щ, г) у' = 1+ сд уз е) туз = у +,/у2 — тз д) (у — щ)у' = у!пщ, 226. При каких неотрицательных о нарушается единственность решений уравнении у' = ~у~' и в каких точках? 227. С помощью необходимого и достаточного условия единственности для уравнений вида у' = г(у) (см. 11), гл. П1, 2 4, п.
1,мелкий шрифт или 12), 2 4) исследовать написанные ниже уравнения. Выделив области, где г"1д) сохраняет знак, приближенно изобразить на чертеже решения. Для уравнений д) и е) правые части при д = 0 доопределяются по непрерывности. а) у' = (ссдз, в) дз сд ц Г„з д) у' = д 1п у, б) уз = у з/у + 1 г) у' = агссозд, е) у' = д1п у. 220. При каких начальных условиях существует единственное решение следующих уравнений и систем? а) ун = сну+,ззл в) (щ — у)у'ун' = 1пщу, б) (х+ 1)ув = у+ су, Г) ун уун' — ьзсдз 224*. Для уравнения у' = х — уз с начальным условием у(0) = 0 построить третье приближение к решению и оценить его ошибку при 0 < т, < 0,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
