А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 2
Текст из файла (страница 2)
у = Сх + Сз, р = 90'. гуравненнл, получаемые в задачах 37 — бп, могут быть решены методами, излагаемыми в дальнейших параграфах. В задачах 35 — 36 найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 16 3 2. Уравнения с разделяющимися переменными 62. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде у' = йх)у(у) (1) а также в виде М(х) )У(у) е)х -1- Р(х) с)(у) Йу — О.
(2) Для решения такого уравнении надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только х, в другую только у, и затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные х и у,могут быть потеряны решения, обращаюзпие это выражение в нуль. П р и м е р. Решить уравнение хгугу ж 1 = у. (3) Приводим уравнение к виду (2): г еду х у — =у — 1; г)х хе уз с1у = (у — 1) е)х.
Делим обе части уравнения на х (у — 1); г у Йх Йу= у — 1 хг Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: у /Ох уг 1 бр= х) — '; — +у+1 Ъ вЂ” й =--+С. у — 1 / хг' 2 х В задачах 51 — 65 решить данные уравнения н длн каждого из ннх построить несколько интегральных кривых. Найти При делении на хг(у — 1) могли быть потеряны решения х = О и у — 1 = О, т. е, у = 1. Очевидно., у = 1 — решение уравнения (3), а х= Π— нет. 2.
Уравнения вида у' = 1(ах+ Ьр) приводится к уравнениям с разделяющимися переменными заменой г = ах+Ьу (или г = ах+ т Ьу -Ь с, где с любое). З2. Уравнения с разделяющимися переменными 11 также решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где указаны начальные условия).
51. хубх+ (х+ 1) бу = О, 52. озуз + 1 с1х = ху 11у. 53. (хз — 1)у'+ 2хуз = 0; у(0) = 1. 54. у'стдх+ у = 2; у(х) — ~ — 1 при х — з О. 55. у' = 3 ~(ззуз; у(2) = О. 56. ху' + у = уз; у(1) = 0,5. 57. 2хзуу'+ уз = 2. 58. у' — хдз = 2хд. 59.
-'(1+ $) =1. 61. ха, +1= 1. 62. у' = соа(д — х). 63. у' — у = 2х — 3. 60. е' = 10 л' 64. (х -~- 2у)у' = 1; д(0) = — 1. ее. е' = „'ззт2з — ~ В задачах 66 — 67 найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям при х — 1 +со. 66. хзу' — сов 2у = 1; д(+ос) = 9яз14. 67. Зузу'+ 16х = 2хуз; у(х) ограничено при х — ~ +со.
68. Найти ортогональные траектории к линиям следукзщих семейств: а) у = Схз; б) у = Се'; в) Схз + уз = 1. В задачах 69* и 70' переменные разделяются, но получаемые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. Однако, исследовав их сходимость, можно дать ответ на поставленные вопросы. 69*. Показать, что каждая интегральная кривая уравнег з зп1 НИЯ У' = з',.1 ~т — +, ИМЕЕТ ДВЕ ГОРИЗОНтаЛЬНЫЕ аСИМПтатЫ. 70*. Йсследовать поведение интегральных кривых уравНЕНИя у' = зз ( и~ В ОКрЕСтНОСтИ НаЧаЛа КООрдниат. ПОКау 1и(1-~-и1 вм е зать, что из каждой точки границы первого координатного угла выходит одна интегральная кривая, проходящая внутри этого угла.
12 3 3. Геометрические и физические задачи В 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ' 1. Чтобы решить приведенные ниже геометрические задачи, надо построить чертеж, обозначить искомую кривую через р = = р(а) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через з, у и у'. Тогда данное в условии задачи соотношение превращается в дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию р( ). 2. В физических задачах недо прежде всего решить, какую из величин взнть за независимое переменное, а какую за искомую функцию. Затем надо выразить, на сколько изменится искомая функция у, когда независимое переменное ж получит приращение Ьл, т.
е, выразить разность р(з ф Ьл) — у(з) через величины,. о которых говорится в задаче. Разделив зту разность на Ьк и перейдя к пределу при Ьл — з О, получим дифференциальное уравнение, из которого можно найти искомую функцию. В большинстве задач содержатся условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения. Иногда дифференциальное уравнение можно составить более простым путем, воспользовавшись физическим смыслом производной (если независимое переменное — — время Г, то лг есть скорость изменения величины у).
В некоторых задачах прн составлении уравнения следует использовать физические законы, сформулированные в тексте перед задачей (или перед группой задач). П р и м е р. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой., и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью.
Сколько соли будет в сосуде через 5 минутр Р еще н ие. Примем за независимое переменное время 1, а за искомую функцию р(г) — количество соли в сосуде через г минут после начала опыта. Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от момента 1 до момента г + Ьй В одну минуту поступает 2 л раствора, а в Ьс минут — 2Ы литров; в этих Все зэдэчэ этого параграфа сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Задачи, прнводяшнеся к уревненкям других типов, можно найти в соответствующих параграфах. Необходимые для решения задач значения показательной функции я логарифмов можно брать нз таблицы в конце задачника.
13 3 3. Геолзетричеекие и физические задачи 2зЗг литрах содержитсн 0,3 2Ь1 = О,бг11 кг соли. С другой стороны, за времн Ы из сосуда вытекает 2г31 литров раствора. В момент 1 во всем сосуде (10 л) содержится у(г) кг соли, следовательно, в 2Ьг литрах вытекающего раствора содержалось бы 0,2Ы у(г) кг соли, если бы за время гЗг содержание соли в сосуде не менялось. Но так как оно за это времн меняется на величину, бесконечно малую при Ы вЂ” з О, то в вытекающих 2гхГ литрах содержится 0,2Ы(у(1)-го) кг соли, где о -з 0 при Ы -з О. Итак, в растворе, втекающем за промежуток времени (1, 1-Ь -Ь злг), содержится 0,6Ы кг соли, а в вытекающем — 0,2Ьг.
(у(г) + + о) кг. Приращение количества соли за это время у(1+ Ы) — у(1) равно разности найденных величин, т, е. у(1-ь гЗФ) — д(Е) = О,бзлг — 0,2гзг. (у(г) -ь о). Разделим на Ьг и перейдем к пределу при г) г — З О. В левой части получится производная у'(г), а в правой получим 0,6 — 0,2у(г), так как о -е 0 при г11 — з О. Итак, имеем дифференциальное уравнение у'(г) = 0,6 — 0,2у(1).
Решая его, получим у(г) = 3 — Се К~~. Так как при г = 0 соли в сосуде не было, то у(0) = О. Полагая в (1) г = О, нейдем у(0) = 3 — С; 0 = 3 — С; С = 3. Подстевлия это значение С в (1), получим 1з(1) = 3 — Зе е'г'. При 1 = б в сосуде будет у(5) = 3 — Зе ' '" = 3 — Зе — 1,9 кг соли.
71. Найти кривые, длн которых плошадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постояннан, равная аз. 72. Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника, построенного как в предыдущей задаче, есть величина постояннан, равная Ь. 73. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а.
74. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касании. 75. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллель- 14 З 3. Геометрические и физические задачи ные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1: 2. 76. Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полнрным радиусом и полярной осью. В задачах 77 — 79 считать, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно.
ТТ. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20еГе кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешиваетсн, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99егс азота? 78. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг сола. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час? Т9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
