А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Линейные уравнения первого нарядна к кривой до касательной к траектории отсчитываетсн в отри- цательном направлении. а) у = х1пСх; б) (х — 3у)4 = Схув. 131. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. 132. Найти кривую, у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания. 133. При каких о и Н уравнение у' = ахо+ +буй приводится к однородному с помощью замены у = г ? 134'. Пусть )ео — корень уравнения 1(й) = )е. Показать, что: 1) если Тг(но) ( 1, то ни одно решение уравнения у' = = 1'(У/х) не касаетсл пРЯмой У = нох в начале кооРдинат; 2) если 1'(йо) > 1г то этой пРЯмой касаетсЯ бесконечно много решений.
135. Начертить приближенно интегральные кривые следующих уравнений (не решая уравнений): 2уг хг б) у' = ху у(2у — х) а)у = ),з г*) ху = у+ ~/у~+ —. 2уз хгу в) у'= 2:вгу хз У к а з а н и е. Тангенс угла между лучом у = йх и пересекающей его интегральной кривой уравнения у = ((у/х) равен (Г(1г) — я) /(1+ йт(н)) (почемуу). Для приближенного построения интегральных кривых надо исследовать знак этой дроби в зависимости от й. 3 5. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1. Уравнение у + а(х)у = Ь(х) У'ж а(х)у = б (2) называется линейным.
Чтобы его решить, недо сначала решить уравнение З 5. Линейные уравнения первого порядка 21 (это делается путем разделения переменных, см. З 2) и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х). Затем выражение, полученное для у, подставить в уревнение (1) и найти функцию С(х). 2. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменнть местами искомую функцию и независимое переменное. Например, уравнение у = (2х+у )у', в котором у нвляется функцией от х, нелинейное. Запишем его в дифференциалах: удх — (2х+ + у )г1у = О.
Так как в зто уравнение х и г1х входят линейно, то уравнение будет линейным, если х считать искомой функцией, а у - — независимым переменным. Это уравнение может быть записано в виде дх 2 — — — х=у ду у и решается аналогично уравнению (1). 2. Чтобы решить уравнение Бернулли, т. е. уравнение у' -~- а(х)у = Ь(х)у", (и ф 1), надо обе его части разделить на у" и сделать замену 1/у" ' = г. После замены получается линейное уравнение, которое можно решить изложенным вьппе способом.
(Пример см. в (1), гл. 1, 2 4, п. 2, пример 10.) 4. Уравнение Риккати, т, е, уравнение у + а(х)у+ Ь(х)уг = с(х), в общем случае не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение уг(х), то заменой у = уг(х) + г уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах. Иногда частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения (члена, не содержащего у). Например, для уравнения у -Ьу = х — 2х в левой части будут члены., подобные г членам правой части, если взять у = ах+Ь. Подставляя в уравнение и приравнивая козффициенты при подобных членах, найдем а и Ь (если частное решение указанного вида существует, что вовсе не всегда бывает).
Другой пример: для уравнения у' + 2уг = О/х~ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде У = аггх. ПодставлЯЯ У = а,гх в УРавнение, найдем постопннУю а. Решить уравнения 136 — 160. 136. ху' — 2у = 2ха. 22 В 5. Линейные уравнения первого порядка 137. (2х + 1)у' = 4х + 2у. 138. у'+ д с8 х = вест,. 139. (ну+ее) Ох — хбу= О.
140. х, у'+ ху+ 1 = О. 141. д = х(у' — хсовх). 142. 2х(хг + у) Ох = Оу. 143. (ху' — 1) 1пх, = 2у. 144. ху'+ (х + 1)у = Зхве 145. (х + уг) Оу = у с(х. 146. (2е" — х)у' = 1. 147. (всп у+ хосту)у' = 1. 148. (2х+ у) с1у = у4х+ 41пуйу. 149. 150. (1 — 2ху)у' = у(у — 1). 151. у'+ 2у = угее.
152. (х+ 1)(у'+ де) = — у. 153. у' = уссовх+усйх. 154. хугу' = хе+ уй. 155. ху с(у = (д~ + х) с)х. 156. ху' — 2хг гд = 4у. 157. хд'+ 2у+ хауге* = О. 2дс е жв е зе — 1' 158. 159. у'хв вшу = ху' — 2д. 160. (2хгуйсу — х)у' = у. С помощью замены переменных илн дифференцирования привести уравнения 161 — 166 и линейным и решить их. З б. Линеянесе уравнения первого порядка 23 161. х с1х = (хз — 2у + 1) с1у.
162. (х+ 1)(уу' — 1) = уз. 163. х(е" — у') = 2. 164. (хз — 1)ус асссу+ 2х сов у = 2х — 2хз. т 165. у(х) = ) у(1) сМ+ х + 1. о 166. ) (х — С) у(1) с)1 = 2х + ) у(Ц сВ. о о В задачах 167 — 171, найдя путем подбора частное решение, привести данные уравнения Риккати к уравнениям Бернулли и решить их. 167.
тзу'+ ху+ хзуз = 4. 166. 3у'+ у'+ —.', = 0. 169. у' — (2х+ 1)у+ уз = — хз. 170. у' — 2ху+ у = о — х 171. у'+ 2уее — уз = езе +е'. 172. Найти траектории, ортогональные к линиям семейства уз = Сее + х + 1. 173. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касании, есть величина постоянная, равная Зал.
174. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касании, есть величина постоянная, равная аз. 175. В баке находится 100 я раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? 176. За время с)с~ (где сс1 очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадаетсн 0,00044 схс грамма 24 "З 5. Линейные уравнения лервого лорядна и образуется 0,00043 Ьт грамма радона. Из каждого грамма радона за время г) г распадается 70 Ы грамма. В начале опыта имелось некоторое количество хо чистого радия.
Когда количество образовавшегосн и еще не распавшегося радона будет наибольшим7 177. Даны два различных решения рг и уз линейного уравнения первого порядка. Выразить через них общее решение этого уравнения. 178. Найти то решение уравнения у'ыйп 2х = 2(у+ соя х), которое остается ограниченным при х -+ х/2. 179*. Пусть в уравнении ху' + ау = 1(х) имеем о = = сопят > Ог 1(х) †) Ь при х — Ь О. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при х — ~ О, и найти предел этого решения при х -~ О.
180'. Пусть в уравнении предыдущей задачи а = сопв$ < О, р(х) — ~ Ь при х -+ О. Показать, что все решении этого уравнения имеют один и тот же конечный предел при х в О. Найти этот предел. В задачах 181 †1 искомое решение выражаетсн через интеграл с бесконечным пределом. 181'. Показать, что уравнение ф + х = Я), где ~Х(й)~ < М при †< ~ < +ос, имеет одно решение, ограниченное прн — сс < г < +ж.
Найти это решение. Показать, что найденное решение периодическое, если функция 1(г) периодическая. 182". Показать, что только одно решение уравнения ху'— — (2хз+1) у = хз стремится к конечному пределу при х -о +ос, и найти этот предел. Выразить это решение через интеграл. 183'.
Найти периодическое решение уравнения у' = 2у сова х — эгпх. 184*. ПУсть в УРавнении йаг +а(г)х = 1(г) а(г) > с > О, Я) — ~ 0 при Ь вЂ” ~ +ос. Доказать, что каждое решение этого уравнения стремится к нулю при о — ~ +ос. Ь 6. Уравнения в полных дифференциалах 25 185'. Пусть в уравнении предыдущей задачи имеем а(Ь) > с > О и пусть хо(1) решение с начальным условием хо(О) = Ь. Показать, что длн любого е > О существует такое 5 > О, что если изменить функцию )'(1) и число Ь меньше, чем на Ь (т.
е. заменить их на такую функцию )г(1) и число Ьг, что (6(1) — ДЬ)! < Ь, (Ьг — Ь) < д), то решение хо(1) изменится при 1 > О меньше, чем на в. Это свойство решения называется устойчивостью по постоянно действующим возмущениям. 86.УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ 1. Уравнение М(х, у) бх -~- гу(х, у) с1у = О называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции Г(х, у). Это имеет место, если = —. Чтобы решить урав- дМ дгу ду дх пение (1),надо найти функцию Г(х, у), от которой полный дифференциал с1Г(х, у) = Г,'с1х -~- Г„'с1у равен левой части уравнения (1).
Тогда общее решение уравнения (1) можно написать в виде Г(х, у) = С, где С вЂ” произвольная постояннан. И р и м е р. Решить уравнение (2х ф Зх у) бх -~- (хз — Зд ) с1у = О. (2) Так как — (2х + Зх у) = Зх, —,(х — Зд ) = Зх, то уравнение (2) д г д з ду ' ' дх явлнется уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию Г(х, у), полный дифференциал которой с1Г = Г„' с1х -~- Г„' с)у был бы равен левой части уравнения (2), т.
е. такую функцию Г, что Г,' = 2х -ь Зхеу, Г„' = хэ — Зуг. (З) Интегрируем по х первое из уравнений (3), считан у постоннным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить ср(у) — неизвестную функцию от у: Г = / (2х -Г Зхеу)с1х = хе Е хэу -нег(у). 36. Уравнения в полных дируеренциалах Подставляя это выражение для 1Р во второе из уравнений (3), най- дем ео(у): (х 4-х у-Ь 1о(у)) = х — Зу: х (р)= — Зу; х(у)= — у +сонат. Следовательно, можно взять Г(х, у) = хз -~- х~р — р~, и общее ре- шение уравнения (2) будет иметь вид х фхзр — у =С. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
