А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 7
Текст из файла (страница 7)
281. у' -ь уг = хуу'. 283. у' = еио со. 276. у' — у' = уг. 278. у' — 2ху' = — 49. 280. хгу' = хуу'+ 1. 282. 2ху' — у = у'!пуд'. 284. у = ху' — хгу' . Уравнении 251 — 266 разрешить относительно у', после этого общее решение искать обычными методами (Я 2,4,5,6). Найти также особые решении, если они есть. 251.
уж -ь ху = уг + ху'. З В. Разные уравнения первого порядка 285. у = 2ху'+ узу' . 286. у(у — 2ху')з = д'~, Решить уравнения Лагранжа и Клеро (задачи 287 — 296). 287. у = ту' — у' . 288. у + ту' = 4~у'. 289. у = 2ху' — 4у' . 290. у = ху' — (2 + у') 292. у = ху' — 2у' . 291. у' = 3(ту' — д). 293. ху' — у = 1пд'. 294. ху'(у' + 2) = у. 295.
2у' (у — ху') = 1. 296. 2т,у' — у = 1п у'. 297. Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнения: а) д=Схз — С, в) у = С(х — С), б) Су = (х — С), г) ху=Сд — С . 39. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' Решить уравнения 301 — 330 и построить графики их решений. 301. ху'+ ха+ту — у = О.
302. 2ту'+ уз = 1. ЗОЗ. (2хуз — у) с1х + х е1у = О. 304. (ху'+ у) = хзу'. 305. у — у' = уз + ту'. 307. у' — д'ег = О. 306. (х+ 2уз)у' = у. Все задачи 19 решаются изложенными ранее методами. 298. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2аз. 299. Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на оснх координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1. 300. Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2.
й 9. Разные уравнения первого нарядна 334. Зу' — х у'+ 1 = О. 335. ру'+ уа с18х = соит. 336. (е" + 2ту) е!х + (е" + х) х е!у = О. ЗЗТ. ху' = у — у'. 338. т(х+ 1)(у' — 1) = у. 339. у(у — ту') =. дгхе+ уе. 340. ху'+ у =!пр'. 341. ха(е!у — е!х) = (х+ д)ус!х. 342,у' ! тзу — Зу 343. (хсову+ в!п2д)у' = 1. 344. у' — уд'+е = О. 345. р' = — *еае + у. 346. (ху' — д)з = р' — 1.
34Т. (4ху — З)р'+ уз = 1. 348. у',/х = ~/у — т+ нгх. 349. ту' = 2 гусоях — 2у. 350. Зу' = у'+ д. 351 уа(у — ху') = хзу' 352. у' = (4х + д — 3) . 353. (совх — тсЗпх)де!х+ (т,совт — 2у) е!у = О. 354. хзд' — 2хуу' = ха + Зуз. 355. -*"-+ 2ху1пх+ 1 = О. 356. ху' = х,/у — та + 2у. 35Т.
(1 — хгу) Ох + та(у — т) йу = О. 358. (2;се" + р4)д' = уе". 43 Ч 9. Разные уравнения первого нарядна 385. уу' + ху = хг. 386 х(х 1)уг р уг ху 38'Т. ху' = 2у + дР1 + у'г. 388. (2х + у -~- 5) у' = Зх + 6. 389. у'+ сад = х весу. 390. у' = 4у(ху' — 2у) . 391. у' =, 2д(х -р 1) 392. ху' = хге "+ 2, 393.
у' = Зх + иззу — хг, 394. хг1у — 2де1х+ хдг(2хйу+ убх) = О. 395. (хг — 2ху ) йх -~- Зхгу йу = х г1у — у г1х. 396 (уд~)з 27х(уг 2хг) 39Т. у' — Зх зу = хг 1 398. [2х — 1п(у + 1)] с1х — д г1у = О. у+1 399. ху' = (ха +16у) сова у. 400. хг(у — ху') = уу' . Зхг 401. д' = х +у+1 +ц г' 403. (у — 2 у') = 4уу' . 404. Охгу йх+ (уг!п у — Зте) е1у = О. 405. у' = — ~ггпу+ згу. г 406. 2ху'+ 1 = у + д — 1' 44 210. Уравнения, допускающие понижение порядка 407. Уу'+ х 2 х 408. у' = 400.
(х,Я+1+1) (д'+1) Ох =,дбд. 410. (хз + уз + 1)уу' + (хз + уз — 1) х = О. 411. уз(х — 1) с(х = х(ху + х — 2у) с(у. 412. (ху — у)з = хауз — ха. 413. тду' — хз1ссу' + 1 = (х+ 1)(дз + 1). 414. (хз — 1)у'+ дз — 2ху+ 1 = О. 415. у'сну+ 4хз сову = 2х. Р 416. (ху' — у)з = д' — — + 1. 417. (х + у) (1 — хд) с1х + (х + 2у) с1у = О.
418. (Зху+ х+ у)ус(х+ (4ху+ х+ 2у)хс1у = О. 410 (хз 1) с)х „(хауз + з.з + т) с(д 420. х(у' + ез") = — 2у'. 2 10. 'УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 1. Если в уравнение не входит искомая функция у, т. е. оно имеет вид Г(х, уСь~, дС"+Ц, ..., дС"~) = О, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т. е. сделав замену уС ~ = л. 2.
Если в уравнение не входит независимое переменное х, т. е. уравнение имеет вид Г(д, у . у, ..., дС"1) = И, то порядок уравнении можно понизить, взяв за новое независимое переменное у, а за неизвестную функцию у' = р(у). Пример. Решить уравнение 2уу" = у' + 1. Х10. Уравнения, допускающие поиигкеиие порядка 45 В уравнение не входит х. Полагаем у' = р(у).
Тогда 4(у') 4 (у) с(р ду у = р р. с(х да с!у с(х Подставляя у' = р и уо = рр' в уравнение, получим 2урр' = р -1- 1. Порядок уравнения понижен. Решив полученное уравнение, найдем р = хтУГу — Т. Следовательно, у' = +чсГу — Т. Из этого уравнения получим 4(Су — 1) = С (х+ Сг). 3. Если уравнение однородно относительно у и его производных, т. е. не меняется при одновременной замене у, у, у, ... на Йу, Йу', Йу", ..., то порядок уравнения понижается подстановкой у = уг, где г — новая неизвестная функция.
4. Порядок уравнения поиижаетсн, если оно являетсн однородным относительно х и у в обобщенном смысле, т. е, не меннется от замены х на Йх. у на Й"'у (при этом у' заменяется на Йю у', у" —- на Й™ гуо и т. д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число гп, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число Й будет входить в к а ж д ы й член уравнения после указанной выше замены. Например, в первый член уравнении 2хзуо — Зу' = х~ после этой замены число Й будет входить в степени 44-(га — 2), во второй — в степени 2т, в третий — в степени 4.
Следовательно, ги должно удовлетворять уравнениям 4 Ч- (га — 2) = 2га = 4. Отсюда га = 2. Если же полученные уравнения длн га будут несовместными, то дифференциальное уравнение не являетсн однородным в указанном смысле. После того как число гп найдено, надо сделать замену переменных х = е', у = зе ', где г = г(1) новая неизвестнан функции, а 1 — новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное!. Порндок такого уравнения понижается одним из ранее рассмотренных способов. б.
Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись полными производными по х от каких-нибудь функций. Например, пусть дано уравнение ууи = у' . Деля обе части на уу', получим (!пу')' = (1пу)'; 1пу' = !пу -~- 1пС; у = уС.
Порядок уравнейия понижен. Решить уравнения 421 †4. 421.х'уо = у". 422. 2ху'уо = у' — 1. 210. Уравнения, допуеканниие понижение порядка 47 462. ху« — У = х УУ . 461. ху« = 2уу' — У'. 463. хуу« — у' = уу'. 464. Уу« = у' + 15У~~/х. 465. (хг -~- 1)(у' — уу«) = хду', 466. хуу«+ ху' = 2уу'. г2 у у д 468. У«+ — + — = — ' х х у 469.
У(ху«+ у') = ху' (1 — х). 467. хгуу« = (у — хд')2, 470. хгуу«+ у' = О. 471. хг(у' — 2уу«) = у . 472. хуу« = у'(у+ д'). 473. 4хгузу« = хг — д~. 474 хзу«(у ху )(у хуг х) 2 ! 475. — '+ у = Зху + д,г, «2уу х2 х 476. у = ~2ху — — ~ у +4У 1', 51, 4У х/ . г' 477. хг(2уу« — у' ) = 1 — 2хуу'. 478 х2(уугг у'2) + г,ууг (2хуг Зу).охз 479. ха(у' — 2уу«) = 4хзуу'+ 1, 480.
Уд'+ хуу« — ху' = хз В задачах 481 — 500, понизив порядок данных уревнений, свести их к уравнениям первого порядка. 481. У«(3+ уу' ) = у' . 482. у« — у'у«' = (~-) ° 483. Уу'+2хгугг = ху 485. 2тдг(ху«+ у') + 1 = О. 484. у' + 2хуу« = О. В задачах 463 — 480 понизить порядок данных уравнений, пользуясь их однородностью, и решить эти уравнения. 48 З10. Уравнения, допуекаппиие понижение порядка 486. х(ун + у' ) = у' + у'.
48т. уз(у у 29") = „4. 488. у(2:гун + у') = ху' + 1. 489. дн+ 2ду' = (2х+ ~~) у'. 490. у'у'о = ун + у' д". 2 2 492. ун = у' — дд' у". 494. ун'у' = 1. 491. уун = у' + 2хуз. 493. 2удо' = д'. 495. узу'о = у' . 496. хздун + 1 = (1 — у)ху'. 492. уу'у'н+ 2у"ун = Зрдо'. 498. (д'ун' — Зун )у = у' . 499. уз(у'ун' — 2ун ) = уу' до+ 2у' . 500. з(у у'о — у' ) = 2у'д' — Зхур' . 502. 2ун' — Зу' = О; у(0) = — 3, д'(О) = 1, ун(0) = — 1.
503. ун — 3 .у' = елг — 4у; у(Ц = 1, у'(1) = 4. 504. ун' = Зду', у(О) = — 2, д'(0) = О, дн(О) = 4,5. 505. до сову+ у' ашу = у', у( — 1) = е) у'( — 1) = 2. 506. Найти кривые, у которых в любой точке радиус кривизны вдвое больше отрезка нормали, заключенного между этой точкой кривой и осью абсцисс. Рассмотреть два случая: а) кривая обращена выпуклостью к оси абсцисс; б) вогнутостью к оси абсцисс. 507. Найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пролорциоиален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. 508. Определить форму равновесии нерастнжимой нити с закрепленными концами, на которую действует нагрузка В задачах 501 — 505 найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
501. удн = 2ху'; у(2) = 2, у'(2) = 0,5. 2 11. Линейные уравнения с поетояннььни ноэффициентали 49 так, что на каждую единицу длины горизонтальной проекции нагрузка одинакова (цепи цепного моста). Весом самой нити пренебречь. 509. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити (с закрепленными концами) нод действием ее веса. 510*. Доказать, что уравнение движения маятника уо + + айну = 0 имеет частное решение у(х), стремящееся к я при х -э+со.
В 11. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Чтобы решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами аоуС"к -~-акуС" О -~- ... -~-а зу -~-а у = О, (1) надо состввнть характеристическое уравнение аоЛ з-акЛ" ж ... + а„ кЛ ф а = 0 (2) и найти все его корни Лк, ..., Л„. Общее решение уравнения (1) есть сумма, состонщан из слагаемых вида Ссе"" для каждого простого корня Л, уравнения (2) и слагаемых вида (Ссс,ок -~-Сссвкх+ Ст-~-зх -~- ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
