А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 11
Текст из файла (страница 11)
727. уи + 2ху = О, 20 < х < 45. 728. хуи+ у = О, 25 < х < 100. 729. уп — 2ху'+ (х+ 1)зу = О, 4 < х < 19. 730. уи — 2е*у'+ ел у = О, 2 < х < 6. 731'. Доказать, что любое решение уравнения ун+ху = 0 на отрезке — 25 < х < 25 имеет не менее 15 нулей. 732. Пусть хы хз, ... расположенные в порядке возрастания последовательные нули решения уравнения уп + + 9(х)у = О, где 9(х) > 0; при х1 < х < оо функция 9(х) непрерывна и возрастает.
Доказать, что х„т1 — х„ < хи — х„ (т. е. расстояние между соседними нулями убывает). ТЗЗ. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции 6(х) при х — к оо. Доказать, что Иш (хпе1 — хп) = я/Ф-'. 70 212. Линейные уравнения с аеременныэ«и нвэффициентаэ«и В задачах 738 †7 исследовать асимптотическое поведение при х » +ос решений данных уравнений, пользунсь преобразованием Лиувилля (см.
задачу ТЗТ) и утверждениями п. 4 (стр. 77). 738. да + х«у = О. 740. уи+ хгу = О. 742. хун — у = О. 744. хуи+ 2у'+ у = О. 739. ун — хгу = О. 741 «' +ег.у О 743. ун — ху = О. 745. ун — 2(х — 1)у'+ хгу = О. 746'. ун + (х«+ 1) у = О. 747*. (г:г + 1)ун — у = О. 748". хгун+ у1пг х = О. В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применяя два раза преобразование Лиувилля. 734". Пусть д и з — решения уравнений ун + 7(х)у = = О и за+ 1»(х)з = О с совпадающими начальными условинми у(хо) = г(хо) у'(хо) = г'(ха) и на интервале (хо, хг) имеем Фх) > у(х), у(х) > О, е(х) > О.
Доказать, что на этом интервале отношение з(х) / у(х) убывает. 735'. Пусть выполнены условия задачи 732 и пусть Ь„= пих (у(х)!. Доказать, что Ьг> Ьг> Ьз>... е„<е<е «1 736'. Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что Ьа — » В > О при п — ~ ж (в обозначениях задачи Т35). ТЗТ*. Заменой независимого переменного 1 = д(х) привести УРавнение аф х —,(' —,' т — — О к видУ й«г + Ь(г) ал«х У = О, затем избавиться от первой производной заменой д = а(1)и. (Это преобразование называется преобразованием Лиувилля.
Во многих случаях оно позволяет привести уравнение ун + + о(х)у = 0 к уравнению аналогичного вида, но с «почти постоннным» (слабо меннющимися на интервале (го, оо)) коэффициентом при д. Это облегчает исследование асимптотического поведения решения при х » со.) 3 13. Краевые задачи 749*. уи — 4хгу = О. 750'. хуи + у = О. 3 13.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Длн отыскания решения краевой задачи ое(х)у'->ог(х)у'-ьог(х)у = т(х), хо < х < <хг, (1) ау'(хо) Ч Гзу(хе) = О; уу (хг) ж бу(хг) = О (2) надо подставить общее решение уравнения (1) в краевые условия (2) и из этих условий определить (если это возможно) значения произвольных постоянных, входящих в формулу общего решения. В отличие от задачи с начальными условиями (задачи Коши), краевая задача не всегда имеет решение. 2. Функцией Грина краевой задачи (1), (2) называется функция С(х., в), определенная при хв < х < хг, хе < в < хг, и при каждом фиксированном в из отрезка (хо, хг] обладающая свойствами (как функция от х): 1) при х ~ в она удовлетворяет уравнению оо(х)ув -~-ог(х)у'-~- ог(т)у = О:, (3) 2) при х = хо и х = хг она удовлетворяет заданным краевым условинм (2); 3) при х = в она непрерывна по х, а ее производнан по х имеет скачок, равный 1/оо(в), т.
е. С(еж о, в) = С(в — О, в), С',~ = С','- . (4) ~г=з.~-о е= — о ое(в) Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения уг(х) и уг(х) (отличных от у(х) = О) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если уг (х) не удовлетворнет сразу обоим краевым условинм, то функция!'рина существует и ее можно искать в виде оуг(х) (хв < х < в), С(т., в) = Ьуг(х) (в < х <ы хг). Функции о и Ь зависит от в и определяются из требования, чтобы функция (Ц удовлетворила условиям (4), т. е. Ьуг(и) = уг(в) Ьуг(в) = иуг(и) +— г 1 ое(е)' 72 3 13. Лраеоые задачи 3.
Если функция Грина С(х, з) существует, то решение краевой задачи (1), (2) выражается формулой ° 1 у(х) = /'С(х, з)~(о) д *о 4. Собственным значением задачи ао(х)уи ф аз(х)у' и аз(х)у = Лу, (6) оу (хо) -~- (1у(хо) = О., Гу (хг) -~- ду(хз) = О (7) называется такое число Л, при котором уравнение (6) имеет решение у(х) фО, удовлетворяющее краевым условиям (7). Это решение у(х) называется собственной функцией. Найти решения уравнений 751 †7, удовлетворяющие указанным краевым условиям. 751.
уи — у = 2х; у(0) = О, у(1) = — 1. 752. уа+ д' = 1: у'(О) = О, д(1) = 1. 753. уи — у' = 0: у(0) = — 1., у'(1) — у(1) = 2. 754. уа + у = 1; д(0) = О, у ® = О. 755. уи + у = 1: у(0) = О, у(я) = О. 756. уи+ у = 2х — г; у(0) = О, у(зг) = О. 757. уи — у' — 2у = 0; д'(0) = 2, у(+ос) = О. 758. уа — у = 1; у(0) = О, у(х) ограничено при х -о +ос. 759. уа — 2(у = 0; у(0) = — 1, у(+со) = О. 760. хада — бу = 0; у(0) ограничено, д(1) = 2.
761. хада — 2ху'+ 2д = 0; у(х) = о(х) при х о О, у(1) = 3. 762. ходи+ 5ту'+ Зд = 0; у'(1) = 3, у(х) = 0(х з) при х о +со. 763*. При каких а краевая задача уи + ау = 1, у(0) = О, у(1) = 0 не имеет решений7 З13. Лраееые задачи 73 Для каждой из краевых задач 764 — 779 построить функцию Грина. 764.
уи = Дх); у(0) = О, у(1) = О. 765. уа + у = ~(х); у'(0) = О, у(к) = О. 766. уа + у' = Дх); у(0) = О, у'(1) = О. 767. да — у = Дх); у'(0) = О, д'(2) +д(2) = О. 768*. да+ у = ~(х); д(0) = у( г), д'(О) = у'(и). 769. хзуп+ 2ху' = ?(х); у(1) = О, у'(3) = О. ТТО. туа — у' = Дх); у'(1) = О., у(2) = 0 771. хзуа — 2у = ?(х); у(1) = О, у(2) + 2у'(2) = О.
772. уа = 1(х); у(0) = О, у(х) ограничено при х — > +ос. 773. уа+ у' = ~(х); д'(0) = О, у(+ос) = О. 774. хуа+ у' = 1(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х -ь +ос. 775. да + 4у' + Зд = 1(х); у(0) = О, у(х) = 0(е з*) при х -++ос. 776. тзуа+ ту' — д = д'(х); у(1) = О, у(х) ограничено при х — ь +ос.
777. хзуп+ 2ху' — 2д = 1(х); у(0) ограничено, д(1) = О. 778. да — у = 1(х), д(х) ограничено при х — ~ хос. ТТО. хзуа — 2у = Г(х), у(х) ограничено при х — ь 0 и при х — ь +ос. 780. При каких а, существует функция Грина краевой задачи уп + ау = 1(х), у(0) = О, у(1) = О? 781*. Оценить сверху и снизу решение задачи теда + + 2ху' — 2у = 1(х), у(х) ограничено при х — ь 0 и х — ь +ос, и его первую производную, если известно, что 0 < г(х) < тп.
Указание. Записать решение с помощью функции Грина. 74 214. Линейнъъе системы с постоянными коэффициентами В задачах 782 — 785 найти собственные значения и собственные функции. В 14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Путем исключения неизвестных систему, вообще говоря, молсно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией (см. ~1), гл. ЛГИ, З 1, п. 2 или ~4], гл. 3, З 2). Этот способ удобен для решения лишь несложных систем.
Пример. Решить систему х = д+ 1, д = 2е' — х. Исключаем д. Из первого уравнения имеем д = х — 1. Подставлнн во второе уравнение, получаем х = 2е' — х. Решив это уравнение второго порядка (методами З 11), найдем х = Съ сов1+ Сг атг+ е'. Значит, д = х — 1 = — Съ шп С + Сз соъ С + е' — 1.
2. Для решения системы (где х означает ес) Е хъ = аъсхь + ° ° ° + аъ х х =а схъ-г . э'-а ех, или, в векторной записи, х = Ах, где х — - вектор, А — матрица: надо найти корни характеристического уравнения аы — Л аш .. аъ„ ам аю — Л ...
аз„ (2) а„— Л а ъ 782. ун = Лд:, 788. дн = Лу; 784. ун = Лу; 785. хзуи = Лу; д<о) = о, д'(о) = о., у(П) = П, д(1) = О, у(Ц =о. у'<ю) = о. у'<1) = О. у1а) = 0 (а ) 1). 314. линейные систсжы с постоянными коэффициентами 75 < хс (а 4- Ьг+ + йгй — ™) е х„= (р-Руг-г ... -~-а1 )е (3) Чтобы найти коэффициенты о, Ь, ..., э, надо подставить решение (3) в систему (1). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а, Ь, ..., з. Надо найти общее решение этой системы.
Коэффициенты а, Ь, ..., з должны зависеть от й произвольных постоянных, где Й вЂ” кратность корин Л. Найдя для каждого Л решении указанного вида и сложив их, получим общее решение системы (1). П р и м е р. Решить систему х=2х+у+з, у= — 2х — з, з=2х+у+2». (4) Составляем и решаем характеристическое уравнение 2 — Л 1 — 2 — Л 2 1 (5) — 1 =О, 2 — Л Л вЂ” 4Л -~-5Л вЂ” 2 = О, Лг = 2, Лг = Лз = 1. Для простого корня Лс=2 находим собственный вектор (гс, Д, 7), решая систему Е Д-~-7=0, -2ы — 2Д вЂ” 7 = О, 2ы+,3 = О (6) гп случае Ь < 3 число Ь вЂ” 7п нельзя уменьшить, а з случае Ь > 4 иногда можно, если известна жорданова форма матрицы А. Каждому простому корню Л, характеристического уравнения соответствует решение С,е'еыс, где Сс — произвольнвя постояннан, е' — собственный вектор матрицы А, соответствующий этому Л,. Если для кратного корня Л имеется столько линейно независимьщ собственных векторов е", ..., с", какова его кратность., то ему соответствует решение Ссесем + ...
-р Сь с~с~~. Если для корня Л кратности Ь имеется только т линейно независимых собственных векторов, и т ( Ь, то решение, соответствующее этому Л, можно искать в виде произведении многочлена степени Й вЂ” ггс на е, т. е. в виде 76 814. линейные системы с постоянными коэффициентами (коэффициенты этой системы равны элементам детерминанта (5) при Л = 2).
Из (6) находим 2а = — 11 = 7. Значит, вектор (1, — 2, 2) — собственный, и к=е, у=-2е, з=2е (7) — частное решение системы (4). Для кратного корня Л = 1 сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При Л = 1 из (5) получаем матрицу — 2 — 1 — 1 Ее порядок и = 3, ранг г = 2. Число линейно незввисимых собственных векторов равно т = п — г = 1. Корень Л = 1 имеет кратность й = 2.
Так как й > гп, то решение надо искать в виде произведения многочленв степени й — т = 1 на е , т. е. в виде м ш = (а 4 61)е', у = (с-~-М)е', з = (7 484)е'. (8) Чтобы найти коэффициенты а, Ь, ..., подставляем (8) в систему (4) и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему 6+4+8=0, 6= а+с+ 7, — 26 — г) — 8= О, 4 = — 2а — с — 7', 2Ь+ 4 ф 8 = О, 8 = 2а + с -~- 7".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
