А.Ф. Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (PDF) (1118000), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При а = — 8 имеем Лг = О, Лг = — 6 и вопрос об устойчивости не решается с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Производной от функции в(й хы ... ..., х„) в силу системы (1) называется функция ае дв до де 41 00 дс дхг дх„ где ты ..., 1„правые части системы (1). Т во р ем а Л я ну н о на. Если существует дифференцируемая функция о(хы ..., хк), удовлетворяющая в области ~х~ < ео усло- виям 1) е>0 при хфО, в(0) =О, 2) —" ~< 0 при /х! < ео, С > то, сй (и то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.
Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие 3) —" < — ю(х) <О приО< (к~ <ее,с>ум сй 00 а функция го(х) непрерывна при )х/ < со, то нулевое решение сис- темы (1) асилттотически устойчиво. 99 З 15. Устойчивость Теорема Четаева.
Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некотпорой области (т пространства хт, ..., х„ существует дифференцируемая функция о(хтт ......, х„), причем 1) точка х = О принадлежитп границе области 1т, 2) о = О на границе области Н при ~х~ < го, 3) в области У при г > го имеем о > О, $ > ш(х) > О, (т! функция ш(х) непрерывна. Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво.
Не существует общего метода построения функции Лнпунова о (когда решение системы (1) неизвестна). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы о = 2 Ь,гх,хт и хи в виде сУммы квадРатичной фоРмы и интегРалов от нелинейных функций, входнщих в правую часть данной системы. 4. Условия отрица тельност и всех вещественных частей корней уравнении аоЛ" + атЛ" -!- ... +а„тЛ+ он = О, ао > О, (6) аг ао О О О О ... О аз аг аг ао О О ...
О аз ач оз аг ат ао ... О О О О О О О ... а„ На главной диагонали этой матрицы стоят числа от, аг, ..., а„. В каждой строке индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа. Числа а, с индексами г > п или г < О заменнютсн нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: ат ао О ат ао т г— Ьз = аз аг аг, ... (7) аз аг аз аь аз ты = ат, с вещественными коэффициентами.
а) Необходимое условие: есе ат > О. В случае и, < 2 это условие является и достаточным. б) Условие Ра усе — Гу рви ца: необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица 315. Устойчивость в) Условия Льенара--Ши пара. Необходимо и достаточно, чтобы все а, > 0 и чтобы бь„-з > О, гЛ„-з > О, г.'ь„з > О, ..., где г3ь гпе же, что в (7). Эти условия равносильны условинм Рауса — Гурвица, но удобнее, так как содержат меньше детерминантов.
Пример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Л + аЛ ч-|-3Л+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные части". Пишем условия Льенара--Шипара; 2 1 0 а>0, Ь>0, ьзз= 3 а 2 =ба †4Ь в>0, г1з=2>0. 0 Ь 3 Отсюда получаем условии Ь > О, Оа > 4Ь+ 9. г) Критерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 71зии), где 7(Л) левая часть (6),.
при изменении ьз от 0 до -~-ос не проходила через начало координат и сделала поворот, вокруг него на угол гьк~2 в положительном направлении. Другая (эквивалентнан) формулировка критерии Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы а„а„з > 0 и чтобы корни многочленое р(С) = о„ вЂ” а„ зС -~- а„ 2 Ч(у) = а — з — а зу -~- а„зу были все положительнььми, различными и чередующимися, начиная с корня Сы т, е. 0 < ~з < щ < (г < Ог < (Заметим, что многочлен (6) при Л = зни равен р(ю~) + зюу(ю~).) Пример.
г(Л) = Лз+2Л +7Лз+8Л +10Л+6. Здесь а = 6 > О, а„~ = 10 > О, а многочлены рЯ = 6 — 86-Ь 26~, д(й) = 10 — 70 -ь Оз имеют корни Сг = 1, (г = 3, рл = 2, уг = 5. Значит, 0 < 6г < рл < < сз < Оз. По критерию Михайлова все корни многочлена 7(Л) имеют отрицательные вещественные части. 6. Условии устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в Щ гл. 1П, 3 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определении устойчивости. 881. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения данных уравнений с указан- 92 В 15. Устойчивости ными начальными условиями а) 3(1 — 1)х = х, х(2) = О. б) т, = 4х — в~х, х(О) = О. ,) 2,,з (Ц 0 в) т = 1 — т, х(О) = 1. В задачах 882 — 888 начертить на плоскости х, у траектории данных систем вблизи точки (О, 0) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение.
882. т. = — х, у = — 2у. 884. х = -т,, у = у. 886. х = д, у = — в|их. 883. т=т, у=2у. 885. т, = — у, у = 2тз. 887. х = у, у = хз(1 + у ). 888. т = — усовх, у = вшх. 889. Траектории системы уравнений ва = Р(х, д), зла = 1аг(х, У), непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. б). Что можно сказать о поведении решений при 1 — 1 +со? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис.
5 В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид. 890. х = Са совг1 — Сг е. ', у = Сг?4 е '+2Сг. 891. х= ' г, У=(Сгвз+Сг)е ~. 1+вг 892. т = (Сг — Сгв) е, у =, + Сг. с Вгг 1п(гг и 2) 893. Доказать, что для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения в = а(1)х (где функция а(1) непре- З 15. Устойчивость рывна) необходимо и достаточно, чтобы !пп а(в) сЬ ( +со.
ь -~- а В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение ооо. ( ооо. ( оог. ( оог. (" ооо. ( 2ху — х+ у, бх~ + у + 2х — Зу. х +у — 2х, Зх — х+ Зу. е ~ "— созЗхг чгг4+ 8х — 2е".
1п(4у+ е з ), 2у †1+Я вЂ. 1п(З е" — 2 соз х), 2 ес з~сг8 + 12у 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решения атой системы. 895. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остается ограниченным при 1 -ь -~-оо, то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремится к нулю при 1 — ь +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво.
897. Доказать, что если линейнан однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при 1 -ь +ос решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы хь = аы(1)хь + аьзЯхзг хз — — азь(1)хь + азз(1)хз, если известно, что аы(1) + азз(1) -ь б > 0 при 1 -ь +осу 94 1 15. Устойчивость 904. х = 18(у — х), 7Г д = 2" — 2 соз ( — — х) . 3 18(2 — д) — 2х, и 9 +12 х — 3 е", — Зу. Ез — Е 39 42 — 3яп(х+ у), 1п(1+ з — Зт).
В задачах 907 — 912 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь асимптотически устойчиво нулевое решение. 90Т. х = ах — 2у+ хз, у = т+у+ху. 909. х=х+ау+у, у = Ьх — Зу — хз. 911. х = 2е — ь~4+ааду у = !п(1 + х + ау). т = ах+ у+х, 908.
у = х + ау+ Уз. х = у+зшт., 910. ~~ ~ ~ ~ о у = ах + Ьу. х = 1п(с+ох) — е", 912. у = Ьх+18У. 913. Исследовать, устойчиво ли решение х = — 12, у = 1 системы х, = у — 2ЬУ вЂ” 2у — х. у = 2х+ 21 + е ' 914. Исследовать, устойчиво ли решение х. = сояФ, у = = 2 я1пз системы 2 Ь У х.= 1п х+ 2яп 2( 2' В задачах 915 — 922 для данных систем найти все поло- женин равновесия и исследовать их на устойчивость. х= у — х — х, 915. у = Зх — х' — у. 916.
т, = (х — 1)(у — 1), у= ху — 2. 900. ( 909. у = (4 — т ) соз1 — 2хяп Ь вЂ” соз 2 з 95 З 15. Усулойчивосоуъ 918. + 2) у =х у 917. у = зш(х + У). )2=2 — 922* 22, ~ у = 1п(х — 3). х = е" — е*, 920. у = „/Зх + уз — 2. х = 1п(1+ у+ з9пх), 921. у=22# ~ * — 2. ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ с Х = — Зунд, 922. 2=2*+,'Г-у, — Бу. В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. з Х=Т. — Уу 923. у=х+у . х=у — х+ху, 924.
у =х.— у — х — у . 2У вЂ” х, — х — у +у*. д — Зх — х, з Вх — 2у. х = — х — ху, 929. У=У х = — Л(х) — Ь(у)2 У = 1з(х) — Гв(У). где з8п Д(з) = зйпзу 9 = 1, 2, 3, 4. В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса — Гурвица или критерием Михайлова.
922. ( 922. ( х=ху — х +у 926. у=х — у 928. — — уз у=х — 2у. 930. ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ у х=т,— у — гу у у — 2з у уз Ь 15. Устойчивость 932. у"'+ уо+ у'+ 2у = О, 933 у"'+ 2у" ч- 2у'+ Зу = О. 934 у~ч+ 2у +4у" +Зд'+ 2у = О 935 у'~~ + 2уоа + Зу" + 7у' + 2у = О. 936. у~~ + 2у'" + бд" + 5у'+ Од = О. 937. у~~+8у~а+ 14уа+ Збу~+45у = О. 938. у~~ + 13у"'+ 16у" + 55у'+ 76у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
